Bạn đang tìm kiếm tài liệu ôn tập hiệu quả cho kỳ thi giữa học kì 2 môn Toán 10 chương trình Cánh diều? toan9.edu.vn xin giới thiệu Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều - Đề số 2, được biên soạn theo chuẩn cấu trúc đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Đề thi này không chỉ giúp bạn làm quen với dạng đề mà còn rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán thực tế. Hãy cùng toan9.edu.vn chinh phục kỳ thi sắp tới!
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 20 không nguyên tố cùng nhau với số 15?
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 20 không nguyên tố cùng nhau với số 15?
A. 11 số.
B. 10 số.
C. 9 số.
D. 8 số.
Câu 2: Khi chọn thực đơn để tổ chức tiệc sinh nhật, cô Yến yêu cầu nhà hàng chuẩn bị một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Biết rằng nhà hàng có 3 loại món khai vị, 5 loại món chính và 2 loại món tráng miệng. Hỏi cô Yến có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa tiệc sinh nhật?
A. 10 cách.
B. 15 cách.
C. 25 cách.
D. 30 cách.
Câu 3: Mã mở khoá của một chiếc khoá số là một dãy gồm bốn chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau như vậy?
A. \({4^9}\)mã.
B. \({9^4}\) mã.
C. \({4^{10}}\) mã.
D. \({10^4}\) mã.
Câu 4: Trên giá sách có 5 quyển sách Ngũ văn khác nhau, 7 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
A. 210 cách.
B. 107 cách.
C. 47 cách.
D. 72 cách.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(0 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
D. \(C_n^k = \frac{{(n - k)!k!}}{{n!}}\).
Câu 6: Số cách chia 5 chiếc kẹo khác nhau cho 5 bạn nhỏ (mỗi bạn một chiếc kẹo) là:
A. 5! cách.
B. 10! cách.
C. 4! cách.
D. 16 cách.
Câu 7: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đều là các chữ số lẻ?
A. 120 số.
B. 60 số.
C. 240 số.
D. 15 số.
Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách Văn phải xếp kề nhau?
A. \(12!\).
B. \(2.5!.7!\).
C. \(8!.5!\).
D. \(5!.7!\).
Câu 9: Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một tổ 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?
A. 1524.
B. 472.
C. 1414.
D. 3003.
Câu 10: Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người từ 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau.
A. 310080.
B. 930240.
C. 1860480.
D. 15505.
Câu 11: Có bao nhiêu cách để đi từ \(A\) đến \(C\) mà qua \(B\) trong hình sau đây?
A. 15 cách.
B. 20 cách.
C. 21 cách.
D. 24 cách.
Câu 12: Cuối buổi liên hoan trước khi ra về, mọi người đều bắt tay nhau, hai người bất kì chỉ bắt tay nhau một lần. Hỏi số người tham dự là bao nhiêu? Biết số cái bắt tay là 28.
A. \(14.\)
B. \(7.\)
C. 8.
D. 28.
Câu 13: Một tỉnh tổ chức giải bóng đá cho các trường THPT trong tỉnh. Có 20 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì gặp nhau 1 lần). Chi phí tối thiểu cho mỗi trận đấu (sân bãi, trọng tài, y tế,.) là 600000 đồng. Chi phí trao giải (tiền thưởng, loa đài,.) là 10 triệu đồng. Hỏi ban tổ chức phải chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu tiền để tổ chức giải?
A. 122 triệu đồng.
B. 124 triệu đồng.
C. 120 triệu đồng.
D. 123 triệu đồng.
Câu 14: Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng sao cho hai học sinh nữ bất kì không đứng cạnh nhau?
A. 3628800.
B. 86400.
C. 14400.
D. 120.
Câu 15: Khai triển của \({(x - 1)^4}\) là:
A. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
B. \({x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).
C. \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
D. \({x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).
Câu 16: Hệ số tự do trong khai triển của \({(71x + 1)^4}\) là:
A. 71.
B. 70.
C. 4.
D. 1.
Câu 17: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. \({(x - y)^4} = {y^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {x^4}\).
B. \({(x + y)^4} = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
C. \({(x - y)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
D. \({(x + y)^4} = {\left[ {{{(x + y)}^2}} \right]^2}\).
Câu 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).
B. \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b - 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} - 5a{b^4} + {b^5}\).
C. \({(a + b)^5} = {a^5} + {b^5}\).
D. \({(a - b)^5} = {a^5} - {b^5}\).
Câu 19: Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển: \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), biết tổng ba hệ số đầu của \(x\) trong khai triển bằng 33.
A. 34.
B. 8.
C. 6.
D. 12.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(4;1),B(1;3)\), \(C(5;5)\). Tọa độ điểm \(D\) là:
A. \((2;7)\).
B. \((8;3)\).
C. \((0; - 1)\).
D. \(( - 8; - 3)\).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = 2\vec i - 3\vec j\) và \(\vec b = \vec i - \vec j\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\vec a + \vec b = (2; - 3)\).
B. \(\vec a + \vec b = (1; - 1)\).
C. \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
D. \(\vec a + \vec b = ( - 1; - 2)\).
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2;t),\vec b = (1; - 5)\) và \(\vec c = (7;t)\). Với giá trị nào của \(t\) dưới đây thì \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b\)?
A. \(t = 5\).
B. \(t = 15\).
C. \(t = - 5\).
D. \(t = - \frac{5}{2}\).
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 4;2),\vec b = (2k; - k)\). Với giá trị nào của \(k\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(k = - \frac{1}{2}\).
B. \(k = 2\).
C. \(k = - 2\).
D. Không tồn tại \(k\).
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - m + 2n; - 1),\vec b = (5; - m - n)\). Với giá trị nào của \(m,n\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(m = - 1,n = 2\).
B. \(m = 2,n = - 1\).
C. \(m = 2,n = 1\).
D. Không tồn tại \(m,n\).
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2; - 3),B( - 4;1)\) và \(C( - 1; - 1)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} \).
B. \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
D. \(\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2;3),B( - 2; - 1)\) và \(C(4;5)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
B. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
D. \(\overrightarrow {BA} = - 2\overrightarrow {CA} \).
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 2;1),\vec b = (3; - 2)\) và \(\vec c = (0;1)\). Biểu thức biểu diễn vectơ \(\vec c\) qua hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
A. \(\vec c = 3\vec a + 2\vec b\).
B. \(\vec c = - 3\vec a - 2\vec b\).
C. \(\vec c = - 3\vec a + 2\vec b\).
D. \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\).
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 6; - 1),B(3;4)\) và trọng tâm \(G(1;1)\). Tọa độ điểm \(C\) là:
A. \((6;3)\).
B. \(( - 6;3)\).
C. \((6;0)\).
D. \(( - 6;0)\).
Câu 29: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Câu 30: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Câu 31: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Câu 32: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:
A. \(x - 2y + 5 = 0\).
B. \(3x + 2y - 10 = 0\).
C. \(3x + 2y - 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 1 = 0\).
Câu 33: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Câu 34: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + m}\\{y = 5 - \sqrt 3 m}\end{array}} \right.\) (với \(t,m\) là các tham số) là:
A. \({30^0}\).
B. \({60^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({150^0}\).
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. 2.
B. 8.
C. 5.
D. \(2\frac{1}{2}\)
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5\) sao cho hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Bài 2. Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).
a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).
b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:
a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).
b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. C | Câu 2. D | Câu 3. D | Câu 4. B | Câu 5. A | Câu 6. A | Câu 7. B |
Câu 8. C | Câu 9. C | Câu 10. A | Câu 11. C | Câu 12. C | Câu 13. B | Câu 14. B |
Câu 15. C | Câu 16. D | Câu 17. C | Câu 18. A | Câu 19. B | Câu 20. B | Câu 21. D |
Câu 22. B | Câu 23. C | Câu 24. A | Câu 25. A | Câu 26. C | Câu 27. B | Câu 28. C |
Câu 29. C | Câu 30. B | Câu 31. D | Câu 32. B | Câu 33. B | Câu 34. A | Câu 35. C |
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 20 không nguyên tố cùng nhau với số 15?
A. 11 số.
B. 10 số.
C. 9 số.
D. 8 số.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 2: Khi chọn thực đơn để tổ chức tiệc sinh nhật, cô Yến yêu cầu nhà hàng chuẩn bị một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Biết rằng nhà hàng có 3 loại món khai vị, 5 loại món chính và 2 loại món tráng miệng. Hỏi cô Yến có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa tiệc sinh nhật?
A. 10 cách.
B. 15 cách.
C. 25 cách.
D. 30 cách.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 3: Mã mở khoá của một chiếc khoá số là một dãy gồm bốn chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau như vậy?
A. \({4^9}\)mã.
B. \({9^4}\) mã.
C. \({4^{10}}\) mã.
D. \({10^4}\) mã.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 4: Trên giá sách có 5 quyển sách Ngũ văn khác nhau, 7 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
A. 210 cách.
B. 107 cách.
C. 47 cách.
D. 72 cách.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(0 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
D. \(C_n^k = \frac{{(n - k)!k!}}{{n!}}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 6: Số cách chia 5 chiếc kẹo khác nhau cho 5 bạn nhỏ (mỗi bạn một chiếc kẹo) là:
A. 5! cách.
B. 10! cách.
C. 4! cách.
D. 16 cách.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 7: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đều là các chữ số lẻ?
A. 120 số.
B. 60 số.
C. 240 số.
D. 15 số.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách Văn phải xếp kề nhau?
A. \(12!\).
B. \(2.5!.7!\).
C. \(8!.5!\).
D. \(5!.7!\).
Lời giải
Ta coi 5 quyển sách Văn là một Quyển và xếp Quyển này với 7 quyển sách Toán khác nhau ta có 8! cách xếp. Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách văn cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách xếp mới, mà có 5! cách đổi vị trí các quyển sách Văn. Vậy số cách xếp là \(8!.5\)!.
Đáp án C.
Câu 9: Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một tổ 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?
A. 1524.
B. 472.
C. 1414.
D. 3003.
Lời giải
Ta có các trường hợp sau:
+ Chọn 6 nam và không có nữ có: \(C_8^6 = 28\) (cách),
+ Chọn 1 nũ̃ và 5 nam: \(C_6^1C_8^5 = 336\) (cách),
+ Chọn 2 nữ 4 nam có: \(C_6^2C_8^4 = 1050\) (cách).
Theo quy tắc cộng có: \(28 + 336 + 1050 = 1414\) cách để chọn một tổ có 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ.
Đáp án C.
Câu 10: Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người từ 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau.
A. 310080.
B. 930240.
C. 1860480.
D. 15505.
Lời giải
Có 20 cách để chọn 1 tổ trưởng từ 20 người,
Sau khi chọn 1 tổ trưởng thì có 19 cách để chọn 1 tổ phó,
Sau đó có \(C_{18}^3\) cách để chọn 3 thành viên còn lại.
Vậy có \(20 \cdot 19 \cdot C_{18}^3 = 310080\) cách chọn một nhóm 5 người thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.
Câu 11: Có bao nhiêu cách để đi từ \(A\) đến \(C\) mà qua \(B\) trong hình sau đây?
A. 15 cách.
B. 20 cách.
C. 21 cách.
D. 24 cách.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 12: Cuối buổi liên hoan trước khi ra về, mọi người đều bắt tay nhau, hai người bất kì chỉ bắt tay nhau một lần. Hỏi số người tham dự là bao nhiêu? Biết số cái bắt tay là 28.
A. \(14.\)
B. \(7.\)
C. 8.
D. 28.
Lời giải
Gọi số người tham dự trong buổi liên hoan là \(n,(n \ge 2,n \in \mathbb{N})\).
Số cái bắt tay của \(n\) người là \(C_n^2\). Ta có \(C_n^2 = 28 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} = 28\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - n - 56 = 0\). Suy ra \(n = - 7\) (loại); \(n = 8\) (thoả mãn).
Vậy số người tham dự trong buổi liên hoan là 8.
Đáp án C.
Câu 13: Một tỉnh tổ chức giải bóng đá cho các trường THPT trong tỉnh. Có 20 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì gặp nhau 1 lần). Chi phí tối thiểu cho mỗi trận đấu (sân bãi, trọng tài, y tế,.) là 600000 đồng. Chi phí trao giải (tiền thưởng, loa đài,.) là 10 triệu đồng. Hỏi ban tổ chức phải chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu tiền để tổ chức giải?
A. 122 triệu đồng.
B. 124 triệu đồng.
C. 120 triệu đồng.
D. 123 triệu đồng.
Lời giải
Cứ hai đội bất kì thì được một trận đấu nên số trận đấu là: \(C_{20}^2 = 190\) trận.
Vậy chi phí tối thiểu ban tổ chức phải chuẩn bị là:
\(190 \cdot 600000 + 10000000 = 124000000\) (đồng).
Đáp án B.
Câu 14: Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng sao cho hai học sinh nữ bất kì không đứng cạnh nhau?
A. 3628800.
B. 86400.
C. 14400.
D. 120.
Lời giải
Xếp 5 học sinh nam vào các vị trí: N1, N2, N3, N4, N5 (như hình dưới đây) thành một hàng có: \(5! = 120\).
Để các học sinh cùng giới không đứng cạnh nhau thì 5 học sinh nữ được xếp vào 6 vị trí còn trống, số cách xếp 5 học sinh nữ là: \(A_6^5 = 720\).
Vậy số cách xếp 10 học sinh thoả mãn yêu cầu bài toán là: \(120 \cdot 720 = 86400\) cách.
Đáp án B.
Câu 15: Khai triển của \({(x - 1)^4}\) là:
A. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
B. \({x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).
C. \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
D. \({x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 16: Hệ số tự do trong khai triển của \({(71x + 1)^4}\) là:
A. 71.
B. 70.
C. 4.
D. 1.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 17: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. \({(x - y)^4} = {y^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {x^4}\).
B. \({(x + y)^4} = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
C. \({(x - y)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
D. \({(x + y)^4} = {\left[ {{{(x + y)}^2}} \right]^2}\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).
B. \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b - 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} - 5a{b^4} + {b^5}\).
C. \({(a + b)^5} = {a^5} + {b^5}\).
D. \({(a - b)^5} = {a^5} - {b^5}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 19: Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển: \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), biết tổng ba hệ số đầu của \(x\) trong khai triển bằng 33.
A. 34.
B. 8.
C. 6.
D. 12.
Lời giải
\(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 = 33 \Rightarrow n = 4\); Số hạng tổng quát của khai triển \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^4}\) là: \({T_{k + 1}} = C_4^k{\left( {{x^3}} \right)^{4 - k}}{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = {2^k}C_4^k{x^{12 - 5k}}\).
Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển ứng với số mũ của \(x\) là: \(12 - 5k = 7 \Leftrightarrow k = 1\).
Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là: \({2^2}C_4^2 = 24\).
Đáp án B.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(4;1),B(1;3)\), \(C(5;5)\). Tọa độ điểm \(D\) là:
A. \((2;7)\).
B. \((8;3)\).
C. \((0; - 1)\).
D. \(( - 8; - 3)\).
Lời giải
Giả sử \(D(a;b)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 3;2)\) và \(\overrightarrow {DC} = (5 - a;5 - b)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 5 - a}\\{2 = 5 - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(D(8;3)\).
Đáp án B.
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = 2\vec i - 3\vec j\) và \(\vec b = \vec i - \vec j\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\vec a + \vec b = (2; - 3)\).
B. \(\vec a + \vec b = (1; - 1)\).
C. \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
D. \(\vec a + \vec b = ( - 1; - 2)\).
Lời giải
Ta có: \(\vec a = (2; - 3),\vec b = (1; - 1)\). Suy ra \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
Đáp án D.
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2;t),\vec b = (1; - 5)\) và \(\vec c = (7;t)\). Với giá trị nào của \(t\) dưới đây thì \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b\)?
A. \(t = 5\).
B. \(t = 15\).
C. \(t = - 5\).
D. \(t = - \frac{5}{2}\).
Lời giải
Ta có: \(2\vec a = (4;2t),3\vec b = (3; - 15)\) và \(\vec c = (7;t)\).
Khi đó \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7 = 4 + 3}\\{t = 2t - 15}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(t = 15\).
Đáp án B.
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 4;2),\vec b = (2k; - k)\). Với giá trị nào của \(k\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(k = - \frac{1}{2}\).
B. \(k = 2\).
C. \(k = - 2\).
D. Không tồn tại \(k\).
Lời giải
Ta có: \(\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4 = 2k}\\{2 = - k}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(k = - 2\).
Đáp án C.
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - m + 2n; - 1),\vec b = (5; - m - n)\). Với giá trị nào của \(m,n\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(m = - 1,n = 2\).
B. \(m = 2,n = - 1\).
C. \(m = 2,n = 1\).
D. Không tồn tại \(m,n\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2; - 3),B( - 4;1)\) và \(C( - 1; - 1)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} \).
B. \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
D. \(\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 6;4)\) và \(\overrightarrow {AC} = ( - 3;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} \).
Đáp án A.
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2;3),B( - 2; - 1)\) và \(C(4;5)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
B. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
D. \(\overrightarrow {BA} = - 2\overrightarrow {CA} \).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 2;1),\vec b = (3; - 2)\) và \(\vec c = (0;1)\). Biểu thức biểu diễn vectơ \(\vec c\) qua hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
A. \(\vec c = 3\vec a + 2\vec b\).
B. \(\vec c = - 3\vec a - 2\vec b\).
C. \(\vec c = - 3\vec a + 2\vec b\).
D. \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\).
Lời giải
Giả sử \(\vec c = x\vec a + y\vec b\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = - 2x + 3y}\\{1 = x - 2y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3}\\{y = - 2}\end{array}} \right.} \right.\) Suy ra \(\vec c = - 3\vec a - 2\vec b\).
Đáp án B.
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 6; - 1),B(3;4)\) và trọng tâm \(G(1;1)\). Tọa độ điểm \(C\) là:
A. \((6;3)\).
B. \(( - 6;3)\).
C. \((6;0)\).
D. \(( - 6;0)\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 29: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 30: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 31: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 32: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:
A. \(x - 2y + 5 = 0\).
B. \(3x + 2y - 10 = 0\).
C. \(3x + 2y - 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 1 = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 33: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 34: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + m}\\{y = 5 - \sqrt 3 m}\end{array}} \right.\) (với \(t,m\) là các tham số) là:
A. \({30^0}\).
B. \({60^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({150^0}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. 2.
B. 8.
C. 5.
D. \(2\frac{1}{2}\)
Lời giải
Đáp án C.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5\) sao cho hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Lời giải
Xét số có hình thức \(\overline {{\bf{0bcdef}}} \).
Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.
Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(1,2,5\) là: 4!
Vậy số các số được lập theo hình thức này là \(2.4! = 48\).
Xét số có hình thức \(\overline {abcdef} \) trong đó \(a\) được phép bằng 0.
Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.
Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(0,1,2,5\) là: 5!.
Số các số được lập theo hình thức này là \(2.5! = 240\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(240 - 48 = 192\).
Bài 2. Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\).
Lời giải
Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},x \ge 10\).
Ta có: \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{(x - 8)!}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{(x - 10)!}} + \frac{1}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{1}{{(x - 8)!}} \Leftrightarrow \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 8)!}}\\ \Leftrightarrow (x - 8)(x - 9) + (x - 8) = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11}\\{x = 5}\end{array}} \right.{\rm{ (tm)}}{\rm{. }}\end{array}\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ 5;11\} \).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).
a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).
b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).
Lời giải
a) Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 6}} \Rightarrow \vec a,\vec b\) không cùng phương.
Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{1( - 2) + ( - 2)( - 6)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 45^\circ \).
b) \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m + n}}{1} = \frac{{ - m - 4n}}{{ - 2}}}\\{\sqrt {{{(m + n)}^2} + {{( - m - 4n)}^2}} = 3\sqrt 5 }\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 2m - 2n = - m - 4n\\{(m + n)^2} + {(m + 4n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\45{n^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = - 2\\n = - 1\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\end{array}\)
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:
a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).
b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.
Lời giải
a) \(\Delta \) có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\) hay \(x + 2y + 4 = 0\).
b) Gọi \(M(m;0) = \Delta \cap Ox,N(0;n) = \Delta \cap Oy\) với \(m,n > 0\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OM = m}\\{ON = n}\end{array}} \right.\).
Phương trình \(\Delta \) được viết theo đoạn chắn \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\). Vì \(E(2;3) \in \Delta \) nên \(\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 1 \Rightarrow \frac{2}{m} = \frac{{n - 3}}{n} \Rightarrow m = \frac{{2n}}{{n - 3}}\). Vì \(m,n > 0\) nên \(n - 3 > 0 \Rightarrow n > 3\).
Ta có: \(OM + ON = m + n = \frac{{2n}}{{n - 3}} + n = 2 + \frac{6}{{n - 3}} + n = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3)\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 2\sqrt {\frac{6}{{n - 3}} \cdot (n - 3)} = 2\sqrt 6 \).
Suy ra: \(OM + ON = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 5 + 2\sqrt 6 \).
Khi tổng \(OM + ON\) đạt giá trị nhỏ nhất (bằng \(5 + 2\sqrt 6 \)) thì dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra: \(\frac{6}{{n - 3}} = n - 3 \Rightarrow {(n - 3)^2} = 6 \Rightarrow n = \sqrt 6 + 3(n > 3)\). Suy ra \(m = \frac{{2(\sqrt 6 + 3)}}{{(\sqrt 6 + 3) - 3}} = \frac{{2\sqrt 6 + 6}}{{\sqrt 6 }} = 2 + \sqrt 6 \).
Phương trình tổng quát \(\Delta :\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\) hay \(\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} - 1 = 0\).
Tải về
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 20 không nguyên tố cùng nhau với số 15?
A. 11 số.
B. 10 số.
C. 9 số.
D. 8 số.
Câu 2: Khi chọn thực đơn để tổ chức tiệc sinh nhật, cô Yến yêu cầu nhà hàng chuẩn bị một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Biết rằng nhà hàng có 3 loại món khai vị, 5 loại món chính và 2 loại món tráng miệng. Hỏi cô Yến có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa tiệc sinh nhật?
A. 10 cách.
B. 15 cách.
C. 25 cách.
D. 30 cách.
Câu 3: Mã mở khoá của một chiếc khoá số là một dãy gồm bốn chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau như vậy?
A. \({4^9}\)mã.
B. \({9^4}\) mã.
C. \({4^{10}}\) mã.
D. \({10^4}\) mã.
Câu 4: Trên giá sách có 5 quyển sách Ngũ văn khác nhau, 7 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
A. 210 cách.
B. 107 cách.
C. 47 cách.
D. 72 cách.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(0 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
D. \(C_n^k = \frac{{(n - k)!k!}}{{n!}}\).
Câu 6: Số cách chia 5 chiếc kẹo khác nhau cho 5 bạn nhỏ (mỗi bạn một chiếc kẹo) là:
A. 5! cách.
B. 10! cách.
C. 4! cách.
D. 16 cách.
Câu 7: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đều là các chữ số lẻ?
A. 120 số.
B. 60 số.
C. 240 số.
D. 15 số.
Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách Văn phải xếp kề nhau?
A. \(12!\).
B. \(2.5!.7!\).
C. \(8!.5!\).
D. \(5!.7!\).
Câu 9: Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một tổ 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?
A. 1524.
B. 472.
C. 1414.
D. 3003.
Câu 10: Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người từ 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau.
A. 310080.
B. 930240.
C. 1860480.
D. 15505.
Câu 11: Có bao nhiêu cách để đi từ \(A\) đến \(C\) mà qua \(B\) trong hình sau đây?
A. 15 cách.
B. 20 cách.
C. 21 cách.
D. 24 cách.
Câu 12: Cuối buổi liên hoan trước khi ra về, mọi người đều bắt tay nhau, hai người bất kì chỉ bắt tay nhau một lần. Hỏi số người tham dự là bao nhiêu? Biết số cái bắt tay là 28.
A. \(14.\)
B. \(7.\)
C. 8.
D. 28.
Câu 13: Một tỉnh tổ chức giải bóng đá cho các trường THPT trong tỉnh. Có 20 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì gặp nhau 1 lần). Chi phí tối thiểu cho mỗi trận đấu (sân bãi, trọng tài, y tế,.) là 600000 đồng. Chi phí trao giải (tiền thưởng, loa đài,.) là 10 triệu đồng. Hỏi ban tổ chức phải chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu tiền để tổ chức giải?
A. 122 triệu đồng.
B. 124 triệu đồng.
C. 120 triệu đồng.
D. 123 triệu đồng.
Câu 14: Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng sao cho hai học sinh nữ bất kì không đứng cạnh nhau?
A. 3628800.
B. 86400.
C. 14400.
D. 120.
Câu 15: Khai triển của \({(x - 1)^4}\) là:
A. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
B. \({x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).
C. \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
D. \({x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).
Câu 16: Hệ số tự do trong khai triển của \({(71x + 1)^4}\) là:
A. 71.
B. 70.
C. 4.
D. 1.
Câu 17: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. \({(x - y)^4} = {y^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {x^4}\).
B. \({(x + y)^4} = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
C. \({(x - y)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
D. \({(x + y)^4} = {\left[ {{{(x + y)}^2}} \right]^2}\).
Câu 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).
B. \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b - 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} - 5a{b^4} + {b^5}\).
C. \({(a + b)^5} = {a^5} + {b^5}\).
D. \({(a - b)^5} = {a^5} - {b^5}\).
Câu 19: Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển: \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), biết tổng ba hệ số đầu của \(x\) trong khai triển bằng 33.
A. 34.
B. 8.
C. 6.
D. 12.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(4;1),B(1;3)\), \(C(5;5)\). Tọa độ điểm \(D\) là:
A. \((2;7)\).
B. \((8;3)\).
C. \((0; - 1)\).
D. \(( - 8; - 3)\).
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = 2\vec i - 3\vec j\) và \(\vec b = \vec i - \vec j\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\vec a + \vec b = (2; - 3)\).
B. \(\vec a + \vec b = (1; - 1)\).
C. \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
D. \(\vec a + \vec b = ( - 1; - 2)\).
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2;t),\vec b = (1; - 5)\) và \(\vec c = (7;t)\). Với giá trị nào của \(t\) dưới đây thì \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b\)?
A. \(t = 5\).
B. \(t = 15\).
C. \(t = - 5\).
D. \(t = - \frac{5}{2}\).
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 4;2),\vec b = (2k; - k)\). Với giá trị nào của \(k\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(k = - \frac{1}{2}\).
B. \(k = 2\).
C. \(k = - 2\).
D. Không tồn tại \(k\).
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - m + 2n; - 1),\vec b = (5; - m - n)\). Với giá trị nào của \(m,n\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(m = - 1,n = 2\).
B. \(m = 2,n = - 1\).
C. \(m = 2,n = 1\).
D. Không tồn tại \(m,n\).
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2; - 3),B( - 4;1)\) và \(C( - 1; - 1)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} \).
B. \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
D. \(\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2;3),B( - 2; - 1)\) và \(C(4;5)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
B. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
D. \(\overrightarrow {BA} = - 2\overrightarrow {CA} \).
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 2;1),\vec b = (3; - 2)\) và \(\vec c = (0;1)\). Biểu thức biểu diễn vectơ \(\vec c\) qua hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
A. \(\vec c = 3\vec a + 2\vec b\).
B. \(\vec c = - 3\vec a - 2\vec b\).
C. \(\vec c = - 3\vec a + 2\vec b\).
D. \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\).
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 6; - 1),B(3;4)\) và trọng tâm \(G(1;1)\). Tọa độ điểm \(C\) là:
A. \((6;3)\).
B. \(( - 6;3)\).
C. \((6;0)\).
D. \(( - 6;0)\).
Câu 29: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Câu 30: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Câu 31: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Câu 32: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:
A. \(x - 2y + 5 = 0\).
B. \(3x + 2y - 10 = 0\).
C. \(3x + 2y - 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 1 = 0\).
Câu 33: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Câu 34: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + m}\\{y = 5 - \sqrt 3 m}\end{array}} \right.\) (với \(t,m\) là các tham số) là:
A. \({30^0}\).
B. \({60^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({150^0}\).
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. 2.
B. 8.
C. 5.
D. \(2\frac{1}{2}\)
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5\) sao cho hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Bài 2. Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).
a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).
b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:
a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).
b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. C | Câu 2. D | Câu 3. D | Câu 4. B | Câu 5. A | Câu 6. A | Câu 7. B |
Câu 8. C | Câu 9. C | Câu 10. A | Câu 11. C | Câu 12. C | Câu 13. B | Câu 14. B |
Câu 15. C | Câu 16. D | Câu 17. C | Câu 18. A | Câu 19. B | Câu 20. B | Câu 21. D |
Câu 22. B | Câu 23. C | Câu 24. A | Câu 25. A | Câu 26. C | Câu 27. B | Câu 28. C |
Câu 29. C | Câu 30. B | Câu 31. D | Câu 32. B | Câu 33. B | Câu 34. A | Câu 35. C |
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 20 không nguyên tố cùng nhau với số 15?
A. 11 số.
B. 10 số.
C. 9 số.
D. 8 số.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 2: Khi chọn thực đơn để tổ chức tiệc sinh nhật, cô Yến yêu cầu nhà hàng chuẩn bị một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Biết rằng nhà hàng có 3 loại món khai vị, 5 loại món chính và 2 loại món tráng miệng. Hỏi cô Yến có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa tiệc sinh nhật?
A. 10 cách.
B. 15 cách.
C. 25 cách.
D. 30 cách.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 3: Mã mở khoá của một chiếc khoá số là một dãy gồm bốn chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau như vậy?
A. \({4^9}\)mã.
B. \({9^4}\) mã.
C. \({4^{10}}\) mã.
D. \({10^4}\) mã.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 4: Trên giá sách có 5 quyển sách Ngũ văn khác nhau, 7 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
A. 210 cách.
B. 107 cách.
C. 47 cách.
D. 72 cách.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(0 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
D. \(C_n^k = \frac{{(n - k)!k!}}{{n!}}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 6: Số cách chia 5 chiếc kẹo khác nhau cho 5 bạn nhỏ (mỗi bạn một chiếc kẹo) là:
A. 5! cách.
B. 10! cách.
C. 4! cách.
D. 16 cách.
Lời giải
Đáp án A.
Câu 7: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đều là các chữ số lẻ?
A. 120 số.
B. 60 số.
C. 240 số.
D. 15 số.
Lời giải
Đáp án B.
Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách Văn phải xếp kề nhau?
A. \(12!\).
B. \(2.5!.7!\).
C. \(8!.5!\).
D. \(5!.7!\).
Lời giải
Ta coi 5 quyển sách Văn là một Quyển và xếp Quyển này với 7 quyển sách Toán khác nhau ta có 8! cách xếp. Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách văn cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách xếp mới, mà có 5! cách đổi vị trí các quyển sách Văn. Vậy số cách xếp là \(8!.5\)!.
Đáp án C.
Câu 9: Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một tổ 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?
A. 1524.
B. 472.
C. 1414.
D. 3003.
Lời giải
Ta có các trường hợp sau:
+ Chọn 6 nam và không có nữ có: \(C_8^6 = 28\) (cách),
+ Chọn 1 nũ̃ và 5 nam: \(C_6^1C_8^5 = 336\) (cách),
+ Chọn 2 nữ 4 nam có: \(C_6^2C_8^4 = 1050\) (cách).
Theo quy tắc cộng có: \(28 + 336 + 1050 = 1414\) cách để chọn một tổ có 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ.
Đáp án C.
Câu 10: Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người từ 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau.
A. 310080.
B. 930240.
C. 1860480.
D. 15505.
Lời giải
Có 20 cách để chọn 1 tổ trưởng từ 20 người,
Sau khi chọn 1 tổ trưởng thì có 19 cách để chọn 1 tổ phó,
Sau đó có \(C_{18}^3\) cách để chọn 3 thành viên còn lại.
Vậy có \(20 \cdot 19 \cdot C_{18}^3 = 310080\) cách chọn một nhóm 5 người thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.
Câu 11: Có bao nhiêu cách để đi từ \(A\) đến \(C\) mà qua \(B\) trong hình sau đây?
A. 15 cách.
B. 20 cách.
C. 21 cách.
D. 24 cách.
Lời giải
Đáp án C.
Câu 12: Cuối buổi liên hoan trước khi ra về, mọi người đều bắt tay nhau, hai người bất kì chỉ bắt tay nhau một lần. Hỏi số người tham dự là bao nhiêu? Biết số cái bắt tay là 28.
A. \(14.\)
B. \(7.\)
C. 8.
D. 28.
Lời giải
Gọi số người tham dự trong buổi liên hoan là \(n,(n \ge 2,n \in \mathbb{N})\).
Số cái bắt tay của \(n\) người là \(C_n^2\). Ta có \(C_n^2 = 28 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} = 28\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - n - 56 = 0\). Suy ra \(n = - 7\) (loại); \(n = 8\) (thoả mãn).
Vậy số người tham dự trong buổi liên hoan là 8.
Đáp án C.
Câu 13: Một tỉnh tổ chức giải bóng đá cho các trường THPT trong tỉnh. Có 20 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì gặp nhau 1 lần). Chi phí tối thiểu cho mỗi trận đấu (sân bãi, trọng tài, y tế,.) là 600000 đồng. Chi phí trao giải (tiền thưởng, loa đài,.) là 10 triệu đồng. Hỏi ban tổ chức phải chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu tiền để tổ chức giải?
A. 122 triệu đồng.
B. 124 triệu đồng.
C. 120 triệu đồng.
D. 123 triệu đồng.
Lời giải
Cứ hai đội bất kì thì được một trận đấu nên số trận đấu là: \(C_{20}^2 = 190\) trận.
Vậy chi phí tối thiểu ban tổ chức phải chuẩn bị là:
\(190 \cdot 600000 + 10000000 = 124000000\) (đồng).
Đáp án B.
Câu 14: Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng sao cho hai học sinh nữ bất kì không đứng cạnh nhau?
A. 3628800.
B. 86400.
C. 14400.
D. 120.
Lời giải
Xếp 5 học sinh nam vào các vị trí: N1, N2, N3, N4, N5 (như hình dưới đây) thành một hàng có: \(5! = 120\).
Để các học sinh cùng giới không đứng cạnh nhau thì 5 học sinh nữ được xếp vào 6 vị trí còn trống, số cách xếp 5 học sinh nữ là: \(A_6^5 = 720\).
Vậy số cách xếp 10 học sinh thoả mãn yêu cầu bài toán là: \(120 \cdot 720 = 86400\) cách.
Đáp án B.
Câu 15: Khai triển của \({(x - 1)^4}\) là:
A. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
B. \({x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).
C. \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
D. \({x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 16: Hệ số tự do trong khai triển của \({(71x + 1)^4}\) là:
A. 71.
B. 70.
C. 4.
D. 1.
Lời giải
Đáp án D.
Câu 17: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
A. \({(x - y)^4} = {y^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {x^4}\).
B. \({(x + y)^4} = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
C. \({(x - y)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).
D. \({(x + y)^4} = {\left[ {{{(x + y)}^2}} \right]^2}\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
A. \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).
B. \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b - 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} - 5a{b^4} + {b^5}\).
C. \({(a + b)^5} = {a^5} + {b^5}\).
D. \({(a - b)^5} = {a^5} - {b^5}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 19: Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển: \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), biết tổng ba hệ số đầu của \(x\) trong khai triển bằng 33.
A. 34.
B. 8.
C. 6.
D. 12.
Lời giải
\(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 = 33 \Rightarrow n = 4\); Số hạng tổng quát của khai triển \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^4}\) là: \({T_{k + 1}} = C_4^k{\left( {{x^3}} \right)^{4 - k}}{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = {2^k}C_4^k{x^{12 - 5k}}\).
Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển ứng với số mũ của \(x\) là: \(12 - 5k = 7 \Leftrightarrow k = 1\).
Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là: \({2^2}C_4^2 = 24\).
Đáp án B.
Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(4;1),B(1;3)\), \(C(5;5)\). Tọa độ điểm \(D\) là:
A. \((2;7)\).
B. \((8;3)\).
C. \((0; - 1)\).
D. \(( - 8; - 3)\).
Lời giải
Giả sử \(D(a;b)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 3;2)\) và \(\overrightarrow {DC} = (5 - a;5 - b)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 5 - a}\\{2 = 5 - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(D(8;3)\).
Đáp án B.
Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = 2\vec i - 3\vec j\) và \(\vec b = \vec i - \vec j\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\vec a + \vec b = (2; - 3)\).
B. \(\vec a + \vec b = (1; - 1)\).
C. \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
D. \(\vec a + \vec b = ( - 1; - 2)\).
Lời giải
Ta có: \(\vec a = (2; - 3),\vec b = (1; - 1)\). Suy ra \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).
Đáp án D.
Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2;t),\vec b = (1; - 5)\) và \(\vec c = (7;t)\). Với giá trị nào của \(t\) dưới đây thì \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b\)?
A. \(t = 5\).
B. \(t = 15\).
C. \(t = - 5\).
D. \(t = - \frac{5}{2}\).
Lời giải
Ta có: \(2\vec a = (4;2t),3\vec b = (3; - 15)\) và \(\vec c = (7;t)\).
Khi đó \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7 = 4 + 3}\\{t = 2t - 15}\end{array}} \right.\).
Suy ra \(t = 15\).
Đáp án B.
Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 4;2),\vec b = (2k; - k)\). Với giá trị nào của \(k\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(k = - \frac{1}{2}\).
B. \(k = 2\).
C. \(k = - 2\).
D. Không tồn tại \(k\).
Lời giải
Ta có: \(\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4 = 2k}\\{2 = - k}\end{array}} \right.\)
Suy ra \(k = - 2\).
Đáp án C.
Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - m + 2n; - 1),\vec b = (5; - m - n)\). Với giá trị nào của \(m,n\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?
A. \(m = - 1,n = 2\).
B. \(m = 2,n = - 1\).
C. \(m = 2,n = 1\).
D. Không tồn tại \(m,n\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2; - 3),B( - 4;1)\) và \(C( - 1; - 1)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} \).
B. \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
D. \(\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 6;4)\) và \(\overrightarrow {AC} = ( - 3;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} \).
Đáp án A.
Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2;3),B( - 2; - 1)\) và \(C(4;5)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
B. \(\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {AC} \).
C. \(\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} = \vec 0\).
D. \(\overrightarrow {BA} = - 2\overrightarrow {CA} \).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 2;1),\vec b = (3; - 2)\) và \(\vec c = (0;1)\). Biểu thức biểu diễn vectơ \(\vec c\) qua hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:
A. \(\vec c = 3\vec a + 2\vec b\).
B. \(\vec c = - 3\vec a - 2\vec b\).
C. \(\vec c = - 3\vec a + 2\vec b\).
D. \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\).
Lời giải
Giả sử \(\vec c = x\vec a + y\vec b\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = - 2x + 3y}\\{1 = x - 2y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3}\\{y = - 2}\end{array}} \right.} \right.\) Suy ra \(\vec c = - 3\vec a - 2\vec b\).
Đáp án B.
Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 6; - 1),B(3;4)\) và trọng tâm \(G(1;1)\). Tọa độ điểm \(C\) là:
A. \((6;3)\).
B. \(( - 6;3)\).
C. \((6;0)\).
D. \(( - 6;0)\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 29: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:
A. \(5x + 4y + 7 = 0\).
B. \(5x + 4y - 7 = 0\).
C. \(11x - 12y - 7 = 0\).
D. \(11x - 12y + 7 = 0\).
Lời giải
Đáp án C.
Câu 30: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:
A. \(x - 2y + 3 = 0\).
B. \(2x + y - 14 = 0\).
C. \(x + 2y - 13 = 0\).
D. \(2x + y = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 31: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Lời giải
Đáp án D.
Câu 32: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:
A. \(x - 2y + 5 = 0\).
B. \(3x + 2y - 10 = 0\).
C. \(3x + 2y - 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 1 = 0\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 33: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:
A. \({0^0}\).
B. \({45^0}\).
C. \({60^0}\).
D. \({90^0}\).
Lời giải
Đáp án B.
Câu 34: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + m}\\{y = 5 - \sqrt 3 m}\end{array}} \right.\) (với \(t,m\) là các tham số) là:
A. \({30^0}\).
B. \({60^0}\).
C. \({90^0}\).
D. \({150^0}\).
Lời giải
Đáp án A.
Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
A. 2.
B. 8.
C. 5.
D. \(2\frac{1}{2}\)
Lời giải
Đáp án C.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5\) sao cho hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.
Lời giải
Xét số có hình thức \(\overline {{\bf{0bcdef}}} \).
Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.
Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(1,2,5\) là: 4!
Vậy số các số được lập theo hình thức này là \(2.4! = 48\).
Xét số có hình thức \(\overline {abcdef} \) trong đó \(a\) được phép bằng 0.
Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.
Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(0,1,2,5\) là: 5!.
Số các số được lập theo hình thức này là \(2.5! = 240\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(240 - 48 = 192\).
Bài 2. Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\).
Lời giải
Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},x \ge 10\).
Ta có: \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{(x - 8)!}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{(x - 10)!}} + \frac{1}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{1}{{(x - 8)!}} \Leftrightarrow \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 8)!}}\\ \Leftrightarrow (x - 8)(x - 9) + (x - 8) = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11}\\{x = 5}\end{array}} \right.{\rm{ (tm)}}{\rm{. }}\end{array}\)
Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ 5;11\} \).
Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).
a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).
b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).
Lời giải
a) Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 6}} \Rightarrow \vec a,\vec b\) không cùng phương.
Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{1( - 2) + ( - 2)( - 6)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}} \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 45^\circ \).
b) \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m + n}}{1} = \frac{{ - m - 4n}}{{ - 2}}}\\{\sqrt {{{(m + n)}^2} + {{( - m - 4n)}^2}} = 3\sqrt 5 }\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 2m - 2n = - m - 4n\\{(m + n)^2} + {(m + 4n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\45{n^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = - 2\\n = - 1\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\end{array}\)
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:
a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).
b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.
Lời giải
a) \(\Delta \) có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\) hay \(x + 2y + 4 = 0\).
b) Gọi \(M(m;0) = \Delta \cap Ox,N(0;n) = \Delta \cap Oy\) với \(m,n > 0\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OM = m}\\{ON = n}\end{array}} \right.\).
Phương trình \(\Delta \) được viết theo đoạn chắn \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\). Vì \(E(2;3) \in \Delta \) nên \(\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 1 \Rightarrow \frac{2}{m} = \frac{{n - 3}}{n} \Rightarrow m = \frac{{2n}}{{n - 3}}\). Vì \(m,n > 0\) nên \(n - 3 > 0 \Rightarrow n > 3\).
Ta có: \(OM + ON = m + n = \frac{{2n}}{{n - 3}} + n = 2 + \frac{6}{{n - 3}} + n = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3)\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 2\sqrt {\frac{6}{{n - 3}} \cdot (n - 3)} = 2\sqrt 6 \).
Suy ra: \(OM + ON = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 5 + 2\sqrt 6 \).
Khi tổng \(OM + ON\) đạt giá trị nhỏ nhất (bằng \(5 + 2\sqrt 6 \)) thì dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra: \(\frac{6}{{n - 3}} = n - 3 \Rightarrow {(n - 3)^2} = 6 \Rightarrow n = \sqrt 6 + 3(n > 3)\). Suy ra \(m = \frac{{2(\sqrt 6 + 3)}}{{(\sqrt 6 + 3) - 3}} = \frac{{2\sqrt 6 + 6}}{{\sqrt 6 }} = 2 + \sqrt 6 \).
Phương trình tổng quát \(\Delta :\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\) hay \(\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} - 1 = 0\).
Kỳ thi giữa học kì 2 môn Toán 10 đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá năng lực học tập của học sinh. Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều - Đề số 2 được thiết kế với mục tiêu kiểm tra kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của học sinh sau khi học xong các chương trình đại số và hình học cơ bản.
Đề thi thường bao gồm các phần sau:
Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi, học sinh cần:
Bài 1: Giải phương trình bậc hai 2x2 - 5x + 3 = 0
Lời giải:
Phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với a = 2, b = -5, c = 3.
Tính delta: Δ = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 * 2 * 3 = 25 - 24 = 1
Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = (-b + √Δ) / 2a = (5 + 1) / (2 * 2) = 3/2
x2 = (-b - √Δ) / 2a = (5 - 1) / (2 * 2) = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 3/2 và x2 = 1.
Luyện đề là một bước quan trọng trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi. Việc giải các đề thi thử giúp học sinh làm quen với cấu trúc đề thi, rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề và đánh giá được trình độ hiện tại của mình.
Ngoài đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều - Đề số 2, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu ôn tập sau:
Hãy dành thời gian ôn tập kỹ lưỡng kiến thức lý thuyết và luyện tập giải nhiều bài tập. Đừng ngần ngại hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. Chúc các bạn đạt kết quả tốt trong kỳ thi giữa học kì 2!
| Dạng bài tập | Chủ đề | Mức độ khó |
|---|---|---|
| Giải phương trình bậc hai | Đại số | Trung bình |
| Chứng minh bất đẳng thức | Đại số | Khó |
| Tính góc giữa hai vectơ | Hình học | Trung bình |
| Xác định phương trình đường thẳng | Hình học | Trung bình |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
