Bài 2. Phương trình đường thẳng

Bài 2. Phương trình đường thẳng - SBT Toán 12 - Cánh diều: Tổng quan

Bài 2 trong SBT Toán 12 Cánh diều tập trung vào việc nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình Hình học giải tích, giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao hơn.

1. Các khái niệm cơ bản

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Một vectơ song song với đường thẳng.
• Điểm thuộc đường thẳng: Một điểm nằm trên đường thẳng.
• Phương trình tham số của đường thẳng: Dạng biểu diễn đường thẳng thông qua một điểm và một vectơ chỉ phương.
• Phương trình chính tắc của đường thẳng: Dạng biểu diễn đường thẳng thông qua một điểm và các tỉ số giữa các tọa độ của vectơ chỉ phương.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) thì phương trình tham số của (d) là:

\begin{cases} x = x_0 + a_1t \ y = y_0 + a_2t \ z = z_0 + a_3t \ \end{cases}

Trong đó, t là tham số thực.

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) (với a₁, a₂, a₃ khác 0) thì phương trình chính tắc của (d) là:

\frac{x - x_0}{a_1} = \frac{y - y_0}{a_2} = \frac{z - z_0}{a_3}

4. Các dạng bài tập thường gặp

a. Xác định phương trình đường thẳng khi biết các yếu tố

Dạng bài này yêu cầu học sinh xác định phương trình đường thẳng dựa trên các thông tin đã cho, như điểm đi qua và vectơ chỉ phương, hoặc hai điểm thuộc đường thẳng.

b. Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng

Để tìm giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P), ta giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng (d) và phương trình của mặt phẳng (P).

c. Tìm giao điểm của hai đường thẳng

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng (d₁) và (d₂), ta giải hệ phương trình gồm phương trình của (d₁) và phương trình của (d₂). Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất, thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm đó. Nếu hệ phương trình vô nghiệm, thì hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ chỉ phương \vec{a} = (4, 5, 6).

Giải: Phương trình tham số của đường thẳng là:

\begin{cases} x = 1 + 4t \ y = 2 + 5t \ z = 3 + 6t \ \end{cases}

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của đường thẳng \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{1} và mặt phẳng x + y + z = 6.

Giải: Từ phương trình đường thẳng, ta có x = 1 + 2t, y = -1 + 3t, z = 2 + t. Thay vào phương trình mặt phẳng, ta được:

(1 + 2t) + (-1 + 3t) + (2 + t) = 6

6t + 2 = 6

6t = 4

t = 2/3

Vậy, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là:

x = 1 + 2(2/3) = 7/3

y = -1 + 3(2/3) = 1

z = 2 + 2/3 = 8/3

Giao điểm là (7/3, 1, 8/3).

6. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập và các đề thi thử. Chúc bạn học tốt!