Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng - SBT Toán 10 - Cánh diều

1. Định nghĩa hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực và a ≠ 0. Hàm số bậc hai còn được gọi là parabol.

• a: Hệ số quyết định độ lồi hoặc lõm của parabol. Nếu a > 0, parabol hướng lên trên; nếu a < 0, parabol hướng xuống dưới.
• b: Ảnh hưởng đến vị trí của đỉnh parabol.
• c: Giao điểm của parabol với trục Oy.

2. Đồ thị hàm số bậc hai

Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Để vẽ đồ thị, ta cần xác định các yếu tố sau:

2.1. Đỉnh của parabol

Tọa độ đỉnh của parabol là I(x₀; y₀), với:

• x₀ = -b / 2a
• y₀ = f(x₀) = a(x₀)² + bx₀ + c

2.2. Trục đối xứng của parabol

Trục đối xứng của parabol là đường thẳng có phương trình x = x₀.

2.3. Giao điểm với trục Oy

Giao điểm của parabol với trục Oy là điểm có tọa độ (0; c).

2.4. Giao điểm với trục Ox

Để tìm giao điểm của parabol với trục Ox, ta giải phương trình ax² + bx + c = 0. Số nghiệm của phương trình này quyết định số giao điểm của parabol với trục Ox:

• Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt, parabol cắt trục Ox tại hai điểm.
• Nếu phương trình có nghiệm kép, parabol tiếp xúc với trục Ox tại một điểm.
• Nếu phương trình vô nghiệm, parabol không cắt trục Ox.

3. Ứng dụng của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Tính quỹ đạo của vật được ném lên cao: Quỹ đạo của vật ném lên cao thường được mô tả bằng một hàm số bậc hai.
• Thiết kế các công trình kiến trúc: Các công trình kiến trúc như cầu, vòm, và mái vòm thường sử dụng các đường cong parabol.
• Giải các bài toán tối ưu hóa: Hàm số bậc hai có thể được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số.

4. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Xác định đỉnh, trục đối xứng và giao điểm với trục Oy của hàm số y = 2x² - 8x + 6.

Giải:

• a = 2, b = -8, c = 6
• x₀ = -b / 2a = -(-8) / (2 * 2) = 2
• y₀ = 2(2)² - 8(2) + 6 = -2
• Đỉnh của parabol là I(2; -2)
• Trục đối xứng là x = 2
• Giao điểm với trục Oy là (0; 6)

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của parabol y = x² - 4x + 3 với trục Ox.

Giải:

Giải phương trình x² - 4x + 3 = 0. Ta có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 3. Vậy giao điểm của parabol với trục Ox là (1; 0) và (3; 0).

5. Kết luận

Bài học về hàm số bậc hai cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này và áp dụng nó vào các bài toán thực tế.