Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 8

a) sinx < 0 khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\).

b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.

a) Dãy \(\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\) là dãy không đổi.

b) Biểu thị \({u_n}\) qua \({u_{n - 1}}\) ta được \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\).

c) \({u_3} = 2025\).

d) \({u_{2024}} = 4044\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 4\).

b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.

c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.

d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.

a) MG cắt AC.

b) MG//AB.

c) MG//(ACD).

d) \((BGM) \cap (ACD) = MG\).

Các góc lượng giác hơn kém nhau \(k2\pi \) có cùng điểm cuối.

Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \).

Dựa vào vị trí điểm cuối của góc lượng giác để xét dấu.

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\frac{\pi }{2} < \alpha + \frac{\pi }{2} < \pi \). Khi đó \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) > 0\), \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\) suy ra \(\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) < 0\).

Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\pi < \alpha + \pi < \frac{{3\pi }}{2}\). Khi đó \(\sin \left( {\alpha + \pi } \right) < 0\), \(\cos \left( {\alpha + \pi } \right) < 0\) suy ra \(\tan \left( {\alpha + \pi } \right) > 0\).

Thay 9 vào n và tính.

\({u_9} = \frac{{{{( - 1)}^{9 - 1}}}}{{9 + 1}} = \frac{1}{{10}}\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\) thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số 1; -3; -7; -11; -15 là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d = -4.

\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

\({u_2} = {u_1}q = 4.3 = 12\).

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số.

Ta có \(\lim (2n + 5) = + \infty \) suy ra \(\lim \frac{1}{{2n + 5}} = 0\).

f(x) gián đoạn tại điểm mà hàm số không xác định.

Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \), do đó hàm số không liên tục tại \({x_0} = - 2\).

Sử dụng khái niệm, tính chất của đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.

A sai vì mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.

Dựa vào định nghĩa tứ diện.

BC, AD là hai đường chéo nhau.

Dựa vào tính chất của phép chiếu song song.

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Vì hình chữ nhật có hai cặp cạnh song song nên hình chiếu của nó cũng phải là tứ giác có hai cặp cạnh song song hoặc trở thành một đoạn thẳng.

Vì hình thang chỉ có một cặp cạnh song song nên không thể là hình chiếu của hình chữ nhật.

Sử dụng tính chất của giới hạn.

\(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3 \Leftrightarrow \lim 4 + \lim {u_n} = 3 \Leftrightarrow \lim {u_n} = 3 - \lim 4 = 3 - 4 = - 1\).

Dựa vào công thức cộng lượng giác.

B sai vì \(\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).

a) sinx < 0 khi \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\).

b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.

a) Dựa vào vị trí điểm cuối của góc lượng giác để nhận xét dấu của giá trị lượng giác.

b) Hàm số f(x) là hàm số lẻ khi thỏa mãn các điều kiện:

- Nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

- Có \(f( - x) = - f(x)\).

c) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

d) Dựa vào tập giá trị của hàm số.

a) Đúng. \( - \frac{\pi }{2} < x < 0\) nên điểm cuối của góc lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.

Khi đó sinx < 0.

b) Đúng. Tập xác định của hàm số y = sinx là \(D = \mathbb{R}\) nên \(x \in D\) thì \( - x \in D\).

Mặt khác \(f( - x) = \sin ( - x) = - \sin x = - f(x)\).

Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

c) Sai. \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

d) Sai. Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên hàm số y = sinx có chặn dưới là -1.

a) Dãy \(\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\) là dãy không đổi.

b) Biểu thị \({u_n}\) qua \({u_{n - 1}}\) ta được \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\).

c) \({u_3} = 2025\).

d) \({u_{2024}} = 4044\).

Chứng minh dãy trên là cấp số cộng thông qua tính chất của cấp số cộng rồi sử dụng công thức số hạng tổng quát.

a) Đúng. Ta có \(2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n + 2}} \Leftrightarrow {u_n} = 2{u_{n + 1}} - {u_{n + 2}}\).

Từ đó, thay n - 1 vào n ta được \({u_{n - 1}} = 2{u_{n - 1 + 1}} - {u_{n - 1 + 2}} \Leftrightarrow {u_{n - 1}} = 2{u_n} - {u_{n + 1}} \Leftrightarrow 2{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n + 1}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}\).

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng, tức \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\).

Do đó \({v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} = d\) không đổi.

b) Đúng. \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d = {u_2} - {u_1} = 2024 - 2023 = 1\).

Do đó \({u_n} = {u_{n - 1}} + d = {u_{n - 1}} + 1\).

c) Đúng. \({u_3} = {u_2} + d = 2024 + 1 = 2025\).

d) Sai. \({u_{2024}} = {u_1} + (2024 - 1).d = 2023 + (2024 - 1).1 = 4046\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 4\).

b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.

c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.

d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Hàm số f(x) liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

a) Sai \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{(x - 3)(x + 2)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} (x - 3) = - 2 - 3 = - 5\).

b) Sai. Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 5\);

\(g( - 2) = 2.( - 2) + a = a - 4\).

Để g(x) liên tục tại x = -2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} g(x) = g( - 2) \Leftrightarrow - 5 = a - 4 \Leftrightarrow a = - 1\).

c) Đúng. Bộ ba số -1; 2; 5 tạo thành cấp số cộng với công sai d = 3.

d) Đúng. Bộ ba số 1; -1; 1 tạo thành một cấp số nhân với công bội q = -1.

a) MG cắt AC.

b) MG//AB.

c) MG//(ACD).

d) \((BGM) \cap (ACD) = MG\).

Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

Gọi I là trung điểm của AD. Khi đó BI là đường trung tuyến tam giác ABD.

Suy ra \(\frac{{BG}}{{BI}} = \frac{2}{3}\).

Vì MB = 2MC suy ra \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác BCI có \(\frac{{BG}}{{BI}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\) suy ra MG//CI (định lí Thales đảo).

Mà \(MG\not{ \subset }(ACD)\), \(CI \subset (ACD)\) nên MG//(ACD).

a) Sai. Có MG//(ACD) mà \(AC \subset (ACD)\) nên MG không cắt AC.

b) Sai. MG và AB là hai đường thẳng chéo nhau.

c) Đúng. MG//(ACD).

d) Sai. Ta có:

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}C \in BM \subset (BMG)\\C \in (ACD)\end{array} \right.\) nên \(C \in (BGM) \cap (ACD)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BG \subset (BMG)\\I \in AD \subset (ACD)\end{array} \right.\) nên \(I \in (BGM) \cap (ACD)\).

Vậy \((BGM) \cap (ACD) = CI\).

Giải phương trình \(30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40\) và tìm nghiệm t dương nhỏ nhất.

\(30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 40 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{{25}}t + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + k50\\t = \frac{{25}}{2} + k50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + k50\\t = \frac{{25}}{2} + k50\end{array} \right.\)\((k \in \mathbb{Z})\).

Ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất là \(t = \frac{{25}}{2} = 12,5\) (giây) khi k = 0.

Vậy sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên.

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\).

Số tiền khoan mỗi mét lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 100\) và d = 30 (nghìn đồng).

Tổng số tiền cần để khoan 20m giếng là:

\({S_{20}} = \frac{{20.\left[ {2.100 + (20 - 1).30} \right]}}{2} = 7700\).

Vậy số tiền cần thanh toán là 7700 nghìn đồng.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + {q^4}) = 51\\{u_1}q(1 + {q^4}) = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow q = \frac{{102}}{{51}} = 2\).

Suy ra \({u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3\).

Vậy \({u_3} = {u_1}{q^2} = {3.2^2} = 12\).

Hàm số liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = f({x_0})\).

Ta có:

\(f(1) = {m^2}.1 = {m^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt 1 + 1} \right)\left( {1 + 1} \right)}} = \frac{1}{4}\).

Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}\).

Vậy không có giá trị nguyên m nào để f(x) liên tục tại \({x_0} = 1\).

Sử dụng tính chất đường trung bình, định lí Thales.

Vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ//CD và \(IJ = \frac{1}{2}CD\).

Để IJNM là hình thoi thì IJNM phải là hình bình hành và có NM = MI.

Để IJNM là hình bình hành thì cần MN//IJ và MN = IJ, hay MN//CD và \(MN = \frac{1}{2}CD\).

Khi đó, MN là đường trung bình tam giác ACD, tức M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD.

Do đó AC = 2AM nên k = 2.

Ta cũng có MI là đường trung bình tam giác ABC nên \(MI = \frac{1}{2}AB\).

Để MN = MI thì AB = CD, suy ra m = 1.

Vậy k + m = 2 + 1 = 3.

Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.

Sử dụng định lý Thales.

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua BD, cắt AC tại K nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cũng là mặt phẳng (BKD).

Giả sử AC giao BD tại O. Khi đó O là trung điểm của AC, hay \(\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

Vì \(O \in BD \subset (BKD)\) nên \(OK \subset (BKD)\).

Vì SA//(BKD) nên SA không cắt OK (1)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset (SAC)\\K \in SC \subset (SAC)\end{array} \right.\) suy ra \(OK \subset (SAC)\) (2)

Lại có \(SA \subset (SAC)\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra SA//OK.

Xét tam giác SAC có OK//SA: \(\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{CK}}{{SC}} = \frac{1}{2}\) (định lí Thales).

Suy ra SK = KC, do đó m = 1.

Vậy \({m^2} + 2 = {1^2} + 2 = 3\).