Chào mừng các em học sinh đến với đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 7 của toan9.edu.vn. Đề thi này được biên soạn theo chương trình học mới, giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề thi này bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, bao phủ đầy đủ các kiến thức trọng tâm của học kì 1.
Câu 1: Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề? A. Mùa thu Hà Nội đẹp quá! B. Bạn có đi học không? C. Đề thi môn Toán khó quá! D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
1.D | 2.B | 3.D | 4.A | 5.A | 6.D | 7.B | 8.C | 9.D | 10.C |
11.B | 12.B | 13.D | 14.A | 15.D | 16.A | 17.A | 18.A | 19.D | 20.A |
21.C | 22.B | 23.B | 24.B | 25.A | 26.D | 27.D | 28.A | 29.A | 30.A |
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
Cách giải:
Phát biểu ở A, B, C là câu cảm thán và câu hỏi nên không là mệnh đề.
Chọn D.
Câu 2 (NB):
Cách giải:
Độ chính xác \(d = 101\) (hàng trăm), nên ta làm tròn số \(a = 23748023\)đến hàng nghìn, được kết quả là \(a = 23748000\).
Chọn B.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Cách giải:
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 .\)
Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 .\)
Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {MM} = \overrightarrow 0 .\)
Đáp án D. Ta có \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {PM} = - \overrightarrow {MP} .\)
Chọn D.
Câu 4 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC.\)
Cách giải:
Do ABCD là hình thoi, có \(\widehat {BAD} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {ABC} = {120^ \circ }\)
Theo định lí hàm cosin, ta có
\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos A\\ = {1^2} + {1^2} - 2.1.1.\cos {120^ \circ } = 3 \Rightarrow AC = \sqrt 3 \end{array}\)
Chọn A.
Câu 5 (NB):
Phương pháp:
Cặp số nào không thỏa mãn bất phương trình thì không là nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Thay cặp số (x;y) = (0;4) vào bất phương trình: 2.0 – 4 + 3 > 0 => Sai.
Thay cặp số (x;y) = (2;5) vào bất phương trình: 2.2 – 5 + 3 > 0 => Đúng.
Thay cặp số (x;y) = (1;3) vào bất phương trình: 2.1 – 3 + 3 > 0 => Đúng.
Thay cặp số (x;y) = (1;4) vào bất phương trình: 2.1 – 4 + 3 > 0 => Đúng.
Chọn A.
Câu 6 (TH):
Cách giải:
Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow MABC\)là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CB} .\)
Do đó D sai.
Chọn D.
Câu 7 (NB):
Phương pháp:
Áp dụng định lí cosin \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)
Cách giải:
Vì D là trung điểm của BC \( \Rightarrow A{D^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = 27 \Rightarrow AD = 3\sqrt 3 \)
Tam giác ABD có \(AB = BD = DA = 3\sqrt 3 \Rightarrow \)\(\Delta ABD\) đều.
Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}AB = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.3\sqrt 3 = 3\)
Chọn B.
Câu 8 (VD):
Cách giải:
Ta có \(|\vec a + \vec b{|^2} - |\vec a - \vec b{|^2} = {(\vec a + \vec b)^2} - {(\vec a - \vec b)^2} = 4\vec a\vec b \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \frac{1}{4}\left( {|\vec a + \vec b{|^2} - |\vec a - \vec b{|^2}} \right)\).
- A đúng, vì \(|\vec a + \vec b{|^2} = {(\vec a + \vec b)^2} = (\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2} + 2\vec a \cdot \vec b\)
\( \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \frac{1}{2}\left( {|\vec a + \vec b{|^2} - |\vec a{|^2} - |\vec b{|^2}} \right)\)
- B đúng, vì \(|\vec a - \vec b{|^2} = {(\vec a - \vec b)^2} = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2} - 2\vec a \cdot \vec b\)
\( \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \frac{1}{2}\left( {|\vec a{|^2} + |\vec b{|^2} - |\vec a - \vec b{|^2}} \right)\).
Chọn C.
Câu 9 (TH):
Cách giải:
Theo tính chất của hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, ta có:
\(C \subset A\) và \(C \subset B\) nên \(B\backslash A = C\), \(A\backslash B = C\) là các mệnh đề sai.
Vì hình vuông vừa là hình thoi và cũng là hình chữ nhật nên \(A \cap B = C\) là mệnh đề đúng và \(A \cup B = C\) là mệnh đề sai.
Chọn D.
Câu 10 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm các phép toán trên tập hợp.
Cách giải:
Gọi A là tập hợp học sinh được xếp loại học lực giỏi .
Gọi B là tập hợp học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt .
Khi đó \(A \cap B\) là tập hợp học sinh vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt .
\(A \cup B\)là tập hợp học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt .
Ta có \(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 15 + 20 - 10 = 25\).
Chọn C.
Câu 11 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos C.\)
Cách giải:
Ta có: Sau \(2h\) quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: \({S_1} = 30.2 = 60\,km.\)
Sau \(2h\) quãng đường tàu thứ hai chạy được là: \({S_2} = 40.2 = 80\,km.\)
Vậy: sau \(2h\) hai tàu cách nhau là: \(S = \sqrt {{S_1}^2 + {S_2}^2 - 2{S_1}.{S_2}.\cos {{60}^0}} = 20\sqrt {13} .\)
Chọn B.
Câu 12 (TH):
Phương pháp:
Dùng công thức \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) tính P theo \(\tan \alpha \)
Cách giải:
Vì \(\tan \alpha \) xác định nên \(\cos \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos \alpha \) ta được:
\(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }} = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{{6.( - 3) - 7}}{{6 + 7.( - 3)}} = \frac{5}{3}\)
Chọn B.
Câu 13 (TH):
Phương pháp:
Xác định tập hợp A, B trên trục số.
Cách giải:
Ta có: \(B \subset A\) khi và chỉ khi \(\forall x \in B \Rightarrow x \in A\)\( \Rightarrow m \ge 2\).
Chọn D.
Câu 14 (TH):
Cách giải:
Từ giả thiết suy ra
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được
Chọn A.
Câu 15 (TH):
Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow 0 = - A{B^2} = - 64.\)
Chọn D.
Câu 16 (TH):
Cách giải:
Ta có \(AB = \sqrt 2 \Rightarrow AC = CB = 1.\)
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Khi đó
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AI} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = 2.\frac{{\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 .\)
Chọn A.
Câu 17 (NB):
Cách giải:
Tiền thưởng 4 triệu đồng được thưởng cho 15 người \( \Rightarrow {M_0} = 4\)
Chọn A.
Câu 18 (NB):
Phương pháp:
Cho mẫu số liệu có kích thước \(N\) là \(\left\{ {{x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \ldots ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_N}} \right\}\). Phương sai của mẫu số liệu này bằng trung bình của tổng các bình phương độ lệch giữa các giá trị với số trung bình.
Cách giải:
Dựa theo lý thuyết, ta có:
Dãy số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}, \ldots ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_N}\) có kích thước mẫu \(N\), phương sai được tính theo công thức:
\({s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \) trong đó \(\bar x = \) trung bình cộng của mẫu số liệu
Chọn A.
Câu 19 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng hệ quả của định lí cosin \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)
Cách giải:
Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)\( = \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2.4.9}} = \frac{2}{3}\).
Chọn D.
Câu 20 (TH):
Phương pháp:
+ Số trung bình cộng: \(\bar x = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + \ldots + {c_k}{n_k}}}{N}\)
Cách giải:
Số trung bình cộng tiền lương hàng tháng của công nhân là:
\(\overline x = \frac{1}{{30}}(300.3 + 500.5 + 700.6 + 800.5 + 900.6 + 1000.5) \approx 733,3\) (nghìn đồng)
Bảng phân bố đã cho có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của những giá trị khác là 700 và 900. Trong trường hợp này ta xem rằng có hai mốt là \({M_0}^{(1)} = 700\) và \({M_0}^{(2)} = 900\)
Chọn A.
Câu 21 (NB):
Cách giải:
Ta có \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\, \Leftrightarrow \, - x + 3y - 1 > 0\).
Vì \( - 2 + 3.1 - 1 > 0\) là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ \(B\).
Chọn C.
Câu 22 (VD):
Phương pháp:
Xác định các đường thẳng và bất phương trình tương ứng, kết hợp loại nghiệm.
Cách giải:
Kí hiệu hai đường thẳng trên hình lần lượt là \({d_1},{d_2}\)
\({d_1}\) đi qua \(O(0;0)\) và \(A(3; - 1)\), suy ra \({d_1}:x + 3y = 0\) (Loại D)
\({d_2}\) đi qua \((3;0)\) và \((0; - 2)\), suy ra \({d_2}:2x - 3y = 6\) (Loại C)
Điểm \((0,1)\) thuộc miền nghiệm, mà 2.0 – 3.1= -3BPT \(2x - 3y < 6\) (Loại A)
Chọn B.
Câu 23 (NB):
Cách giải:
Theo định lý cosin trong tam giác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Chọn B.
Câu 24 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = BM.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right).\)
Cách giải:
Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
\(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
\(\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3A{B^2} + 8\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - 3A{D^2}} \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3{a^2} + 8.0 - 3{a^2}} \right) = 0\end{array}\) .
Chọn B.
Câu 25 (NB):
Phương pháp:
Xác định số gần đúng a và độ chính xác d.
Tính số đúng \(\bar a = a \pm d \Rightarrow a - d \le \bar a \le a + d\).
Cách giải:
Gọi \(\bar a\) là chiều dài đúng của chiếc bàn \( \Rightarrow \bar a = 120cm \pm 0,5cm\).
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 120 - 0,5 \le \bar a \le 120 + 0,5}\\{ \Leftrightarrow 119,5 \le \bar a \le 120,5}\end{array}\)
Vậy chiều dài đúng của chiếc bàn là một số nằm trong khoảng 119,5cm đến 120,5cm.
Chọn A.
Câu 26 (TH):
Cách giải:
Diện tích của thửa ruộng là
\(S = xy = \left( {23 \pm 0,01} \right).\left( {15 \pm 0,01} \right)\)
\( = 23.15 \pm \left( {23.0,01 + 15.0,01 + 0,{{01}^2}} \right) = 345 \pm 0,3801.\)
Chọn D.
Câu 27 (TH):
Cách giải:
+ Trung bình cộng của dãy là \(\overline x = 7\)
+ Phương sai của dãy số liệu thống kê là:
\({S^2} = \frac{{1{{\left( {5 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {6 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {7 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {8 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {9 - 7} \right)}^2}}}{5}\) \({S^2} = \frac{{10}}{5} = 2\)
Chọn D.
Câu 28 (TH):
Cách giải:
Số học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Nhật của lớp 10A là \(31 + 27 - 51 = 7\) bạn.
Chọn A.
Câu 29 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng tính chất trung điểm.
Cách giải:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AH \bot BC.\)
Suy ra \(AH = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Ta lại có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AH} } \right| = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)
Chọn A.
Câu 30 (TH):
Cách giải:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MI} \)\( \Rightarrow MI//AB,MI = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra M là trung điểm \(AC.\)
Chọn A.
Phần 2: Tự luận (4 điểm)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm.
Cách giải:
a) Theo quy tắc ba điểm ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} \)
Tương tự, ta có \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} \)
Mà I, J lần lượt là trun điểm của AB và CD nên \(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {CJ} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CJ} + \overrightarrow {JD} } \right) + 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {IJ} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \), \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} \) (Do I, J là trung điểm AB, CD)
và \(\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0 \) (do O là trung điểm IJ)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} + 2\overrightarrow {OI} = 2\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) = \overrightarrow 0 \)
c) Theo câu b) ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right)\\ = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} \end{array}\)
Câu 2 (VD): Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình
111 | 112 | 112 | 113 | 114 | 114 | 115 | 114 | 115 | 116 |
112 | 113 | 113 | 114 | 115 | 114 | 116 | 117 | 113 | 115 |
a) Tính số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Phương pháp:
a)
* Số trung bình của mẫu số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ....,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_n}\) kí hiệu là \(\bar x\), được tính bằng công thức:
\(\bar x = \frac{{{x_2} + {x_2} + ... + {x_k}}}{n}\)
* Tìm trung vị của mẫu số liệu.
Để tìm trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
- Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
- Nếu giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
b) Phương sai \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}x_1^2 + {n_2}x_2^2 + ... + {n_k}x_k^2} \right) - {\overline x ^2}\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Cách giải:
Bảng tần số
Giá trị | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 |
Tần số | 1 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 | 1 |
a)
* Số trung bình của mẫu số liệu trên là:
\(\bar x{\rm{ \;}} = \frac{{111.1 + 112.3 + 113.4 + 114.5 + 115.4 + 116.2 + 117.1}}{{20}} = 113,9\).
* Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
111 112 112 112 113 113 113 113 114 114 114 114 114 115 115 115 115 116 116 117
Cỡ mẫu là n = 20 chẵn nên số trung vị là \({M_e} = \frac{1}{2}(114 + 114) = 114\).
b) Phương sai \({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {{{1.111}^2} + {{3.112}^2} + ... + {{1.117}^2}} \right) - 113,{9^2} = 2,29\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {2,29} \approx 1,513\)
Câu 3 (VD):
Cách giải:
Ta có: \(\widehat {DAB} = {180^ \circ } - \alpha = {180^ \circ } - {72^ \circ }12' = {107^ \circ }48'\); \(\widehat {ADB} = \widehat {DAC} - \widehat {DBA} = \alpha - \beta = {72^ \circ }12' - {34^ \circ }26' = {37^ \circ }46'\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác DAB ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin D}} = \frac{{DB}}{{\sin A}} \Leftrightarrow \frac{{91}}{{\sin {{37}^ \circ }46'}} = \frac{{DB}}{{\sin {{107}^ \circ }48'}}\\ \Rightarrow DB = \sin {107^ \circ }48'.\frac{{91}}{{\sin {{37}^ \circ }46'}}\end{array}\)
Lại có: tam giác DCB vuông tại C, suy ra \(CD = \sin B.DB\)
\( \Rightarrow CD = \sin {34^ \circ }26'.DB = \sin {34^ \circ }26'.\sin {107^ \circ }48'.\frac{{91}}{{\sin {{37}^ \circ }46'}} \approx 80\)
Vậy tháp đó cao khoảng 80m.
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
Câu 1: Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?
A. Mùa thu Hà Nội đẹp quá! B. Bạn có đi học không?
C. Đề thi môn Toán khó quá! D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
Câu 2: Cho số gần đúng \(a = 23748023\) với độ chính xác \(d = 101\). Hãy viết số quy tròn của số \(a.\)
A. \(23749000.\) B. \(23748000.\) C. \(23746000.\) D. \(23747000.\)
Câu 3: Cho tam giác \(ABC\) với \(M,\;N,\;P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\;CA,\;AB\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 .\) B. \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 .\)
C. \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow 0 .\) D. \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MP} .\)
Câu 4: Cho hình thoi \(ABCD\) cạnh bằng \(1\;cm\) và có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(AC\).
A. \(AC = \sqrt 3 .\) B. \(AC = \sqrt 2 .\) C. \(AC = 2\sqrt 3 .\) D. \(AC = 2.\)
Câu 5: Cặp số (x;y) nào là sau đây không là nghiệm của bất phương trình \(2x - y + 3 > 0\).
A. (x;y) = (0;4). B. (x;y) = (2;5). C. (x;y) = (1;3). D. (x;y) = (1;4).
Câu 6: Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(MABC\) là hình bình hành. B. \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\)
C. \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} .\) D. \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BC} .\)
Câu 7: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3\sqrt 3 ,{\rm{ }}BC = 6\sqrt 3 \) và \(CA = 9\). Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD.\)
A. \(R = \frac{9}{6}\). B. \(R = 3\). C. \(R = 3\sqrt 3 \). D. \(R = \frac{9}{2}\).
Câu 8: Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \). Đẳng thức nào sau đây sai?
A. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a} \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\) B. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\)
C. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\) D. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\)
Câu 9: Cho \(A\) là tập hợp các hình thoi, \(B\) là tập hợp các hình chữ nhật và \(C\) là tập hợp các hình vuông. Khi đó
A. \(B\backslash A = C\). B. \(A \cup B = C\). C. \(A\backslash B = C\). D. \(A \cap B = C\).
Câu 10: Lớp 10A có \(45\) học sinh, trong đó có \(15\) học sinh được xếp loại học lực giỏi, \(20\) học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, \(10\) em vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt?
A. \(10\). B. \(35\). C. \(25\). D. \(45\).
Câu 11: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc \({60^0}\). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(30\,km/h\), tàu thứ hai chạy với tốc độ \(40\,km/h\). Hỏi sau \(2\) giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu \(km\)?
A. \(13.\)B. \(20\sqrt {13} .\)C. \(10\sqrt {13} .\)D. \(15.\)
Câu 12: Cho biết \(\tan \alpha = - 3.\) Giá trị của \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
A. \(P = \frac{4}{3}.\) B. \(P = \frac{5}{3}.\) C. \(P = - \frac{4}{3}.\) D. \(P = - \frac{5}{3}.\)
Câu 13: Cho \(A = \left( {2; + \infty } \right)\), \(B = \left( {m; + \infty } \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) sao cho \(B\) là tập con của \(A\) là
A. \(m \le 2\). B. \(m = 2\). C. \(m > 2\). D. \(m \ge 2\).
Câu 14: Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có góc \(\widehat B = {30^0}.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\cos B = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\) B. \(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\cos C = \frac{1}{2}.\) D. \(\sin B = \frac{1}{2}.\)
Câu 15: Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 8,{\rm{ }}AD = 5.\) Tích \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} .\)
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = 62.\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = 64.\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = - 62.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = - 64.\)
Câu 16: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(AB = \sqrt 2 .\) Tính độ dài của \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)
A. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 5 .\) B. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 5 .\)
C. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 3 .\) D. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 3 .\)
Câu 17: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và nhân viên trong một công ty được cho ở bảng dưới đây:
Tiền thưởng | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Cộng |
Tần số | 10 | 12 | 11 | 15 | 2 | 50 |
Tìm Mốt \({M_0}\)?
A. \({M_0} = 4\) B. \({M_0} = 15\)
C. \({M_0} = 5\) D. \({M_0} = 11\)
Câu 18: Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước \(N\) là \(\left\{ {{x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \ldots ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_N}} \right\}\). Khi đó, phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là \({s^2}\) được tính bởi công thức nào sau đây?
A. \({s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \) B. \({s^2} = \frac{1}{N}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{x_i} - \bar x} \right)} } \right)^2}\) C. \({s^2} = N\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \) D. \({s^2} = N{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{x_i} - \bar x} \right)} } \right)^2}\)
Câu 19: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\)cm, \(BC = 7\) cm, \(AC = 9\)cm. Tính \(\cos A\).
A.\(\cos A = - \frac{2}{3}\). B. \(\cos A = \frac{1}{2}\). C. \(\cos A = \frac{1}{3}\). D. \(\cos A = \frac{2}{3}\).
Câu 20:Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số như sau:
Số trung bình cộng và số trung bình cộng, mốt của bảng phân bố trên.
A. 733,3 và 900 B. 700 và 900 C. 835 và 900 D. 700 và 700
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình: \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A. \(\left( {3;0} \right).\)B. \(\left( {3;1} \right).\)C. \(\left( {2;1} \right).\)D. \(\left( {0;0} \right).\)
Câu 22: Phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây (không kể biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y > 6\\x + 3y < 0\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y < 6\\x + 3y > 0\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y < 6\\x + 3y < 0\end{array} \right.\)D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y > 6\\x - 3y > 0\end{array} \right.\)
Câu 23: Cho tam giác \(ABC\), có độ dài ba cạnh là \(BC = a,AC = b,AB = c\). Gọi \({m_a}\) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\), \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và \(S\) là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.\(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\). B. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).
C.\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).D.\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Câu 24: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2.\) Điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC.\) Tính \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} .\)
A. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = - 4.\)B. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = 0.\)C. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = 4.\)D. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = 16.\)
Câu 25: Kết quả đo chiều dài của một chiếc bàn được ghi là \(120cm \pm 0,5cm\), điều đó có nghĩa là:
A. Chiều dài đúng của chiếc bàn là một số nằm trong khoảng 119,5cm đến 120,5cm.
B. Chiều dài đúng của chiếc bàn là một số lớn hơn 120cm.
C. Chiều dài đúng của chiếc bàn là một số nhỏ hơn 120cm.
D. Chiều dài đúng của chiếc bàn là 119,5m hoặc là 120,5cm.
Câu 26: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là \(x = 23{\rm{m}} \pm 0,01{\rm{m}}\) và chiều rộng là \(y = 15{\rm{m}} \pm 0,01{\rm{m}}\). Tính diện tích \(S\) của thửa ruộng đã cho.
A. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,001{\rm{m}}{\rm{.}}\) B. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,38{\rm{m}}{\rm{.}}\)
C. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,01{\rm{m}}{\rm{.}}\) D. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,3801{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Câu 27: Cho dãy số liệu thống kê: 5; 6; 7; 8; 9. Phương sai của dãy số liệu thống kê trên là:
A. 10 B. 7 C. 6 D. 2
Câu 28: Lớp 10A có 51 bạn học sinh trong đó có 31 bạn học tiếng Anh và 27 bạn học tiếng Nhật. Lớp 10A có bao nhiêu bạn học cả tiếng Anh và tiếng Nhật?
A. \(7\). B. \(9\). C. \(5\). D. \(12\).
Câu 29: Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|.\)
A. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 .\)B. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
C. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a.\)D. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3 .\)
Câu 30: Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} \). Tìm vị trí điểm \(M.\)
A. \(M\) là trung điểm của \(AC.\)B. \(M\) là trung điểm của \(AB.\)
C. \(M\)là trung điểm của \(BC.\) D. \(M\)là điểm thứ tư của hình bình hành \(ABCM.\)
Phần 2: Tự luận (4 điểm)
Câu 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {IJ} \).
b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \) với M là điểm bất kỳ.
Câu 32: Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình
111 | 112 | 112 | 113 | 114 | 114 | 115 | 114 | 115 | 116 |
112 | 113 | 113 | 114 | 115 | 114 | 116 | 117 | 113 | 115 |
a) Tính số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Câu 33: Từ một đỉnh tháp người ta nhìn hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất dưới các góc nhìn là \(\alpha = {72^0}12'\) và \(\beta = {34^0}26'\). Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng trong đó C là điểm chính giữa chân tháp. Tính chiều cao CD của tháp biết \(AB = 91m\).
----- HẾT -----
Tải về
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
Câu 1: Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề?
A. Mùa thu Hà Nội đẹp quá! B. Bạn có đi học không?
C. Đề thi môn Toán khó quá! D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
Câu 2: Cho số gần đúng \(a = 23748023\) với độ chính xác \(d = 101\). Hãy viết số quy tròn của số \(a.\)
A. \(23749000.\) B. \(23748000.\) C. \(23746000.\) D. \(23747000.\)
Câu 3: Cho tam giác \(ABC\) với \(M,\;N,\;P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\;CA,\;AB\). Khẳng định nào sau đây sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 .\) B. \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \overrightarrow 0 .\)
C. \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow 0 .\) D. \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MP} .\)
Câu 4: Cho hình thoi \(ABCD\) cạnh bằng \(1\;cm\) và có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \). Tính độ dài cạnh \(AC\).
A. \(AC = \sqrt 3 .\) B. \(AC = \sqrt 2 .\) C. \(AC = 2\sqrt 3 .\) D. \(AC = 2.\)
Câu 5: Cặp số (x;y) nào là sau đây không là nghiệm của bất phương trình \(2x - y + 3 > 0\).
A. (x;y) = (0;4). B. (x;y) = (2;5). C. (x;y) = (1;3). D. (x;y) = (1;4).
Câu 6: Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Mệnh đề nào sau đây sai?
A. \(MABC\) là hình bình hành. B. \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\)
C. \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BM} .\) D. \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BC} .\)
Câu 7: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3\sqrt 3 ,{\rm{ }}BC = 6\sqrt 3 \) và \(CA = 9\). Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD.\)
A. \(R = \frac{9}{6}\). B. \(R = 3\). C. \(R = 3\sqrt 3 \). D. \(R = \frac{9}{2}\).
Câu 8: Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\overrightarrow b \). Đẳng thức nào sau đây sai?
A. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a} \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\) B. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\)
C. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\) D. \(\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\vec a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right).\)
Câu 9: Cho \(A\) là tập hợp các hình thoi, \(B\) là tập hợp các hình chữ nhật và \(C\) là tập hợp các hình vuông. Khi đó
A. \(B\backslash A = C\). B. \(A \cup B = C\). C. \(A\backslash B = C\). D. \(A \cap B = C\).
Câu 10: Lớp 10A có \(45\) học sinh, trong đó có \(15\) học sinh được xếp loại học lực giỏi, \(20\) học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt, \(10\) em vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi có bao nhiêu học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt?
A. \(10\). B. \(35\). C. \(25\). D. \(45\).
Câu 11: Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc \({60^0}\). Tàu thứ nhất chạy với tốc độ \(30\,km/h\), tàu thứ hai chạy với tốc độ \(40\,km/h\). Hỏi sau \(2\) giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu \(km\)?
A. \(13.\)B. \(20\sqrt {13} .\)C. \(10\sqrt {13} .\)D. \(15.\)
Câu 12: Cho biết \(\tan \alpha = - 3.\) Giá trị của \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
A. \(P = \frac{4}{3}.\) B. \(P = \frac{5}{3}.\) C. \(P = - \frac{4}{3}.\) D. \(P = - \frac{5}{3}.\)
Câu 13: Cho \(A = \left( {2; + \infty } \right)\), \(B = \left( {m; + \infty } \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) sao cho \(B\) là tập con của \(A\) là
A. \(m \le 2\). B. \(m = 2\). C. \(m > 2\). D. \(m \ge 2\).
Câu 14: Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) có góc \(\widehat B = {30^0}.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\cos B = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\) B. \(\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\cos C = \frac{1}{2}.\) D. \(\sin B = \frac{1}{2}.\)
Câu 15: Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 8,{\rm{ }}AD = 5.\) Tích \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} .\)
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = 62.\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = 64.\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = - 62.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = - 64.\)
Câu 16: Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(AB = \sqrt 2 .\) Tính độ dài của \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\)
A. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 5 .\) B. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 5 .\)
C. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 3 .\) D. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 3 .\)
Câu 17: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và nhân viên trong một công ty được cho ở bảng dưới đây:
Tiền thưởng | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Cộng |
Tần số | 10 | 12 | 11 | 15 | 2 | 50 |
Tìm Mốt \({M_0}\)?
A. \({M_0} = 4\) B. \({M_0} = 15\)
C. \({M_0} = 5\) D. \({M_0} = 11\)
Câu 18: Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước \(N\) là \(\left\{ {{x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \ldots ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_N}} \right\}\). Khi đó, phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là \({s^2}\) được tính bởi công thức nào sau đây?
A. \({s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \) B. \({s^2} = \frac{1}{N}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{x_i} - \bar x} \right)} } \right)^2}\) C. \({s^2} = N\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \) D. \({s^2} = N{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{x_i} - \bar x} \right)} } \right)^2}\)
Câu 19: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 4\)cm, \(BC = 7\) cm, \(AC = 9\)cm. Tính \(\cos A\).
A.\(\cos A = - \frac{2}{3}\). B. \(\cos A = \frac{1}{2}\). C. \(\cos A = \frac{1}{3}\). D. \(\cos A = \frac{2}{3}\).
Câu 20:Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số như sau:
Số trung bình cộng và số trung bình cộng, mốt của bảng phân bố trên.
A. 733,3 và 900 B. 700 và 900 C. 835 và 900 D. 700 và 700
Câu 21: Miền nghiệm của bất phương trình: \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A. \(\left( {3;0} \right).\)B. \(\left( {3;1} \right).\)C. \(\left( {2;1} \right).\)D. \(\left( {0;0} \right).\)
Câu 22: Phần không bị gạch trong hình vẽ dưới đây (không kể biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y > 6\\x + 3y < 0\end{array} \right.\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y < 6\\x + 3y > 0\end{array} \right.\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y < 6\\x + 3y < 0\end{array} \right.\)D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y > 6\\x - 3y > 0\end{array} \right.\)
Câu 23: Cho tam giác \(ABC\), có độ dài ba cạnh là \(BC = a,AC = b,AB = c\). Gọi \({m_a}\) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\), \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và \(S\) là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.\(m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\). B. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\).
C.\(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).D.\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Câu 24: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2.\) Điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC.\) Tính \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} .\)
A. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = - 4.\)B. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = 0.\)C. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = 4.\)D. \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = 16.\)
Câu 25: Kết quả đo chiều dài của một chiếc bàn được ghi là \(120cm \pm 0,5cm\), điều đó có nghĩa là:
A. Chiều dài đúng của chiếc bàn là một số nằm trong khoảng 119,5cm đến 120,5cm.
B. Chiều dài đúng của chiếc bàn là một số lớn hơn 120cm.
C. Chiều dài đúng của chiếc bàn là một số nhỏ hơn 120cm.
D. Chiều dài đúng của chiếc bàn là 119,5m hoặc là 120,5cm.
Câu 26: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là \(x = 23{\rm{m}} \pm 0,01{\rm{m}}\) và chiều rộng là \(y = 15{\rm{m}} \pm 0,01{\rm{m}}\). Tính diện tích \(S\) của thửa ruộng đã cho.
A. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,001{\rm{m}}{\rm{.}}\) B. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,38{\rm{m}}{\rm{.}}\)
C. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,01{\rm{m}}{\rm{.}}\) D. \(S = 345{\rm{m}} \pm 0,3801{\rm{m}}{\rm{.}}\)
Câu 27: Cho dãy số liệu thống kê: 5; 6; 7; 8; 9. Phương sai của dãy số liệu thống kê trên là:
A. 10 B. 7 C. 6 D. 2
Câu 28: Lớp 10A có 51 bạn học sinh trong đó có 31 bạn học tiếng Anh và 27 bạn học tiếng Nhật. Lớp 10A có bao nhiêu bạn học cả tiếng Anh và tiếng Nhật?
A. \(7\). B. \(9\). C. \(5\). D. \(12\).
Câu 29: Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\). Tính \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|.\)
A. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3 .\)B. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
C. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a.\)D. \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3 .\)
Câu 30: Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} \). Tìm vị trí điểm \(M.\)
A. \(M\) là trung điểm của \(AC.\)B. \(M\) là trung điểm của \(AB.\)
C. \(M\)là trung điểm của \(BC.\) D. \(M\)là điểm thứ tư của hình bình hành \(ABCM.\)
Phần 2: Tự luận (4 điểm)
Câu 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {IJ} \).
b) \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \) với M là điểm bất kỳ.
Câu 32: Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình
111 | 112 | 112 | 113 | 114 | 114 | 115 | 114 | 115 | 116 |
112 | 113 | 113 | 114 | 115 | 114 | 116 | 117 | 113 | 115 |
a) Tính số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Câu 33: Từ một đỉnh tháp người ta nhìn hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất dưới các góc nhìn là \(\alpha = {72^0}12'\) và \(\beta = {34^0}26'\). Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng trong đó C là điểm chính giữa chân tháp. Tính chiều cao CD của tháp biết \(AB = 91m\).
----- HẾT -----
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
1.D | 2.B | 3.D | 4.A | 5.A | 6.D | 7.B | 8.C | 9.D | 10.C |
11.B | 12.B | 13.D | 14.A | 15.D | 16.A | 17.A | 18.A | 19.D | 20.A |
21.C | 22.B | 23.B | 24.B | 25.A | 26.D | 27.D | 28.A | 29.A | 30.A |
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
Cách giải:
Phát biểu ở A, B, C là câu cảm thán và câu hỏi nên không là mệnh đề.
Chọn D.
Câu 2 (NB):
Cách giải:
Độ chính xác \(d = 101\) (hàng trăm), nên ta làm tròn số \(a = 23748023\)đến hàng nghìn, được kết quả là \(a = 23748000\).
Chọn B.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm.
Cách giải:
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 .\)
Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {AP} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 .\)
Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {MM} = \overrightarrow 0 .\)
Đáp án D. Ta có \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {PM} = - \overrightarrow {MP} .\)
Chọn D.
Câu 4 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle BAC.\)
Cách giải:
Do ABCD là hình thoi, có \(\widehat {BAD} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {ABC} = {120^ \circ }\)
Theo định lí hàm cosin, ta có
\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos A\\ = {1^2} + {1^2} - 2.1.1.\cos {120^ \circ } = 3 \Rightarrow AC = \sqrt 3 \end{array}\)
Chọn A.
Câu 5 (NB):
Phương pháp:
Cặp số nào không thỏa mãn bất phương trình thì không là nghiệm của bất phương trình.
Cách giải:
Thay cặp số (x;y) = (0;4) vào bất phương trình: 2.0 – 4 + 3 > 0 => Sai.
Thay cặp số (x;y) = (2;5) vào bất phương trình: 2.2 – 5 + 3 > 0 => Đúng.
Thay cặp số (x;y) = (1;3) vào bất phương trình: 2.1 – 3 + 3 > 0 => Đúng.
Thay cặp số (x;y) = (1;4) vào bất phương trình: 2.1 – 4 + 3 > 0 => Đúng.
Chọn A.
Câu 6 (TH):
Cách giải:
Ta có \(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AB} \)
\( \Rightarrow MABC\)là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {CB} .\)
Do đó D sai.
Chọn D.
Câu 7 (NB):
Phương pháp:
Áp dụng định lí cosin \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}\)
Cách giải:
Vì D là trung điểm của BC \( \Rightarrow A{D^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = 27 \Rightarrow AD = 3\sqrt 3 \)
Tam giác ABD có \(AB = BD = DA = 3\sqrt 3 \Rightarrow \)\(\Delta ABD\) đều.
Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}AB = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.3\sqrt 3 = 3\)
Chọn B.
Câu 8 (VD):
Cách giải:
Ta có \(|\vec a + \vec b{|^2} - |\vec a - \vec b{|^2} = {(\vec a + \vec b)^2} - {(\vec a - \vec b)^2} = 4\vec a\vec b \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \frac{1}{4}\left( {|\vec a + \vec b{|^2} - |\vec a - \vec b{|^2}} \right)\).
- A đúng, vì \(|\vec a + \vec b{|^2} = {(\vec a + \vec b)^2} = (\vec a + \vec b) \cdot (\vec a + \vec b) = \vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2} + 2\vec a \cdot \vec b\)
\( \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \frac{1}{2}\left( {|\vec a + \vec b{|^2} - |\vec a{|^2} - |\vec b{|^2}} \right)\)
- B đúng, vì \(|\vec a - \vec b{|^2} = {(\vec a - \vec b)^2} = (\vec a - \vec b) \cdot (\vec a - \vec b) = \vec a \cdot \vec a - \vec a \cdot \vec b - \vec b \cdot \vec a + \vec b \cdot \vec b = |\vec a{|^2} + |\vec b{|^2} - 2\vec a \cdot \vec b\)
\( \Rightarrow \vec a \cdot \vec b = \frac{1}{2}\left( {|\vec a{|^2} + |\vec b{|^2} - |\vec a - \vec b{|^2}} \right)\).
Chọn C.
Câu 9 (TH):
Cách giải:
Theo tính chất của hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông, ta có:
\(C \subset A\) và \(C \subset B\) nên \(B\backslash A = C\), \(A\backslash B = C\) là các mệnh đề sai.
Vì hình vuông vừa là hình thoi và cũng là hình chữ nhật nên \(A \cap B = C\) là mệnh đề đúng và \(A \cup B = C\) là mệnh đề sai.
Chọn D.
Câu 10 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng khái niệm các phép toán trên tập hợp.
Cách giải:
Gọi A là tập hợp học sinh được xếp loại học lực giỏi .
Gọi B là tập hợp học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt .
Khi đó \(A \cap B\) là tập hợp học sinh vừa được xếp loại học lực giỏi , vừa có hạnh kiểm tốt .
\(A \cup B\)là tập hợp học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc xếp loại hạnh kiểm tốt .
Ta có \(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 15 + 20 - 10 = 25\).
Chọn C.
Câu 11 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.\cos C.\)
Cách giải:
Ta có: Sau \(2h\) quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: \({S_1} = 30.2 = 60\,km.\)
Sau \(2h\) quãng đường tàu thứ hai chạy được là: \({S_2} = 40.2 = 80\,km.\)
Vậy: sau \(2h\) hai tàu cách nhau là: \(S = \sqrt {{S_1}^2 + {S_2}^2 - 2{S_1}.{S_2}.\cos {{60}^0}} = 20\sqrt {13} .\)
Chọn B.
Câu 12 (TH):
Phương pháp:
Dùng công thức \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) tính P theo \(\tan \alpha \)
Cách giải:
Vì \(\tan \alpha \) xác định nên \(\cos \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của P cho \(\cos \alpha \) ta được:
\(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }} = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{{6.( - 3) - 7}}{{6 + 7.( - 3)}} = \frac{5}{3}\)
Chọn B.
Câu 13 (TH):
Phương pháp:
Xác định tập hợp A, B trên trục số.
Cách giải:
Ta có: \(B \subset A\) khi và chỉ khi \(\forall x \in B \Rightarrow x \in A\)\( \Rightarrow m \ge 2\).
Chọn D.
Câu 14 (TH):
Cách giải:
Từ giả thiết suy ra
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được
Chọn A.
Câu 15 (TH):
Cách giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow 0 = - A{B^2} = - 64.\)
Chọn D.
Câu 16 (TH):
Cách giải:
Ta có \(AB = \sqrt 2 \Rightarrow AC = CB = 1.\)
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Khi đó
\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AI} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = 2.\frac{{\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 .\)
Chọn A.
Câu 17 (NB):
Cách giải:
Tiền thưởng 4 triệu đồng được thưởng cho 15 người \( \Rightarrow {M_0} = 4\)
Chọn A.
Câu 18 (NB):
Phương pháp:
Cho mẫu số liệu có kích thước \(N\) là \(\left\{ {{x_1};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \ldots ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_N}} \right\}\). Phương sai của mẫu số liệu này bằng trung bình của tổng các bình phương độ lệch giữa các giá trị với số trung bình.
Cách giải:
Dựa theo lý thuyết, ta có:
Dãy số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}, \ldots ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_N}\) có kích thước mẫu \(N\), phương sai được tính theo công thức:
\({s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} \) trong đó \(\bar x = \) trung bình cộng của mẫu số liệu
Chọn A.
Câu 19 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng hệ quả của định lí cosin \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)
Cách giải:
Ta có \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)\( = \frac{{{4^2} + {9^2} - {7^2}}}{{2.4.9}} = \frac{2}{3}\).
Chọn D.
Câu 20 (TH):
Phương pháp:
+ Số trung bình cộng: \(\bar x = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + \ldots + {c_k}{n_k}}}{N}\)
Cách giải:
Số trung bình cộng tiền lương hàng tháng của công nhân là:
\(\overline x = \frac{1}{{30}}(300.3 + 500.5 + 700.6 + 800.5 + 900.6 + 1000.5) \approx 733,3\) (nghìn đồng)
Bảng phân bố đã cho có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số của những giá trị khác là 700 và 900. Trong trường hợp này ta xem rằng có hai mốt là \({M_0}^{(1)} = 700\) và \({M_0}^{(2)} = 900\)
Chọn A.
Câu 21 (NB):
Cách giải:
Ta có \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\, \Leftrightarrow \, - x + 3y - 1 > 0\).
Vì \( - 2 + 3.1 - 1 > 0\) là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ \(B\).
Chọn C.
Câu 22 (VD):
Phương pháp:
Xác định các đường thẳng và bất phương trình tương ứng, kết hợp loại nghiệm.
Cách giải:
Kí hiệu hai đường thẳng trên hình lần lượt là \({d_1},{d_2}\)
\({d_1}\) đi qua \(O(0;0)\) và \(A(3; - 1)\), suy ra \({d_1}:x + 3y = 0\) (Loại D)
\({d_2}\) đi qua \((3;0)\) và \((0; - 2)\), suy ra \({d_2}:2x - 3y = 6\) (Loại C)
Điểm \((0,1)\) thuộc miền nghiệm, mà 2.0 – 3.1= -3BPT \(2x - 3y < 6\) (Loại A)
Chọn B.
Câu 23 (NB):
Cách giải:
Theo định lý cosin trong tam giác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)
Chọn B.
Câu 24 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng công thức \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {BA} {\rm{ \;}} = BM.BA.\cos \left( {\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {BA} } \right).\)
Cách giải:
Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
\(\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \)
\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
\(\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} \).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AD} } \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3A{B^2} + 8\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - 3A{D^2}} \right)\\ = \frac{1}{{16}}\left( {3{a^2} + 8.0 - 3{a^2}} \right) = 0\end{array}\) .
Chọn B.
Câu 25 (NB):
Phương pháp:
Xác định số gần đúng a và độ chính xác d.
Tính số đúng \(\bar a = a \pm d \Rightarrow a - d \le \bar a \le a + d\).
Cách giải:
Gọi \(\bar a\) là chiều dài đúng của chiếc bàn \( \Rightarrow \bar a = 120cm \pm 0,5cm\).
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 120 - 0,5 \le \bar a \le 120 + 0,5}\\{ \Leftrightarrow 119,5 \le \bar a \le 120,5}\end{array}\)
Vậy chiều dài đúng của chiếc bàn là một số nằm trong khoảng 119,5cm đến 120,5cm.
Chọn A.
Câu 26 (TH):
Cách giải:
Diện tích của thửa ruộng là
\(S = xy = \left( {23 \pm 0,01} \right).\left( {15 \pm 0,01} \right)\)
\( = 23.15 \pm \left( {23.0,01 + 15.0,01 + 0,{{01}^2}} \right) = 345 \pm 0,3801.\)
Chọn D.
Câu 27 (TH):
Cách giải:
+ Trung bình cộng của dãy là \(\overline x = 7\)
+ Phương sai của dãy số liệu thống kê là:
\({S^2} = \frac{{1{{\left( {5 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {6 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {7 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {8 - 7} \right)}^2} + 1.{{\left( {9 - 7} \right)}^2}}}{5}\) \({S^2} = \frac{{10}}{5} = 2\)
Chọn D.
Câu 28 (TH):
Cách giải:
Số học sinh học cả tiếng Anh và tiếng Nhật của lớp 10A là \(31 + 27 - 51 = 7\) bạn.
Chọn A.
Câu 29 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng tính chất trung điểm.
Cách giải:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AH \bot BC.\)
Suy ra \(AH = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Ta lại có \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AH} } \right| = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)
Chọn A.
Câu 30 (TH):
Cách giải:
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {MI} \)\( \Rightarrow MI//AB,MI = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra M là trung điểm \(AC.\)
Chọn A.
Phần 2: Tự luận (4 điểm)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm.
Cách giải:
a) Theo quy tắc ba điểm ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} \)
Tương tự, ta có \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} \)
Mà I, J lần lượt là trun điểm của AB và CD nên \(\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {CJ} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CJ} + \overrightarrow {JD} } \right) + 2\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {IJ} = 2\overrightarrow {IJ} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \), \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} \) (Do I, J là trung điểm AB, CD)
và \(\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0 \) (do O là trung điểm IJ)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ} + 2\overrightarrow {OI} = 2\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) = \overrightarrow 0 \)
c) Theo câu b) ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right)\\ = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} \end{array}\)
Câu 2 (VD): Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1 năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình
111 | 112 | 112 | 113 | 114 | 114 | 115 | 114 | 115 | 116 |
112 | 113 | 113 | 114 | 115 | 114 | 116 | 117 | 113 | 115 |
a) Tính số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Phương pháp:
a)
* Số trung bình của mẫu số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ....,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_n}\) kí hiệu là \(\bar x\), được tính bằng công thức:
\(\bar x = \frac{{{x_2} + {x_2} + ... + {x_k}}}{n}\)
* Tìm trung vị của mẫu số liệu.
Để tìm trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:
- Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
- Nếu giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.
b) Phương sai \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}x_1^2 + {n_2}x_2^2 + ... + {n_k}x_k^2} \right) - {\overline x ^2}\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Cách giải:
Bảng tần số
Giá trị | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 |
Tần số | 1 | 3 | 4 | 5 | 4 | 2 | 1 |
a)
* Số trung bình của mẫu số liệu trên là:
\(\bar x{\rm{ \;}} = \frac{{111.1 + 112.3 + 113.4 + 114.5 + 115.4 + 116.2 + 117.1}}{{20}} = 113,9\).
* Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
111 112 112 112 113 113 113 113 114 114 114 114 114 115 115 115 115 116 116 117
Cỡ mẫu là n = 20 chẵn nên số trung vị là \({M_e} = \frac{1}{2}(114 + 114) = 114\).
b) Phương sai \({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {{{1.111}^2} + {{3.112}^2} + ... + {{1.117}^2}} \right) - 113,{9^2} = 2,29\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {2,29} \approx 1,513\)
Câu 3 (VD):
Cách giải:
Ta có: \(\widehat {DAB} = {180^ \circ } - \alpha = {180^ \circ } - {72^ \circ }12' = {107^ \circ }48'\); \(\widehat {ADB} = \widehat {DAC} - \widehat {DBA} = \alpha - \beta = {72^ \circ }12' - {34^ \circ }26' = {37^ \circ }46'\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác DAB ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{\sin D}} = \frac{{DB}}{{\sin A}} \Leftrightarrow \frac{{91}}{{\sin {{37}^ \circ }46'}} = \frac{{DB}}{{\sin {{107}^ \circ }48'}}\\ \Rightarrow DB = \sin {107^ \circ }48'.\frac{{91}}{{\sin {{37}^ \circ }46'}}\end{array}\)
Lại có: tam giác DCB vuông tại C, suy ra \(CD = \sin B.DB\)
\( \Rightarrow CD = \sin {34^ \circ }26'.DB = \sin {34^ \circ }26'.\sin {107^ \circ }48'.\frac{{91}}{{\sin {{37}^ \circ }46'}} \approx 80\)
Vậy tháp đó cao khoảng 80m.
Học kì 1 môn Toán 10 là nền tảng quan trọng cho những kiến thức nâng cao hơn trong các học kì tiếp theo. Việc ôn tập và làm quen với các dạng đề thi là vô cùng cần thiết để đạt kết quả tốt nhất. Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 7 của toan9.edu.vn được thiết kế để đáp ứng nhu cầu này, cung cấp một công cụ ôn tập hiệu quả cho học sinh.
Đề thi này bao gồm các phần chính sau:
Các câu hỏi trong đề thi được phân bố đều các chủ đề quan trọng như:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về các bài toán trong đề thi, toan9.edu.vn cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi. Hướng dẫn này không chỉ cung cấp đáp án đúng mà còn giải thích rõ ràng các bước giải, giúp học sinh nắm vững phương pháp và kỹ năng giải toán.
Việc luyện tập với đề thi này mang lại nhiều lợi ích cho học sinh:
Để đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi học kì 1, học sinh nên lưu ý những mẹo sau:
Ngoài đề thi này, toan9.edu.vn còn cung cấp nhiều tài liệu ôn tập bổ sung khác, bao gồm:
Học sinh có thể truy cập website toan9.edu.vn để tìm hiểu thêm và tải về các tài liệu này.
Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 7 là một công cụ ôn tập hữu ích giúp học sinh chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng những mẹo làm bài hiệu quả để đạt kết quả cao nhất!
| Chủ đề | Mức độ quan trọng |
|---|---|
| Hàm số | Cao |
| Bất phương trình | Trung bình |
| Hệ phương trình | Trung bình |
| Vectơ | Cao |
| Nguồn: toan9.edu.vn | |
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
