Chào mừng các em học sinh lớp 10 đến với đề thi giữa kì 2 môn Toán chương trình Kết nối tri thức - Đề số 3. Đề thi này được thiết kế để giúp các em ôn luyện và đánh giá kiến thức đã học trong giai đoạn giữa kì.
Toan9.edu.vn cung cấp đề thi với cấu trúc tương tự đề thi chính thức, kèm theo đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu. Đây là cơ hội tuyệt vời để các em làm quen với dạng đề và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sao đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Câu 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\), biết điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7.\) Giá trị của \({y_0}\) bằng:
A. \(7\).
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. \(3\).
Câu 4: Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là
A. \(x = - 3\).
B. \(x = \frac{3}{2}\).
C. \(x = - \frac{3}{2}\).
D. \(x = 3\).
Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) là:
Câu 6: Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 3.\) Chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Câu 7: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).
A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).
B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).
C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).
D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm
A. \( - 4 \le m \le 4\).
B. \(m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).
C. \(m \le - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).
D. \( - 2 \le m \le 2\).
Câu 9: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
A. \(m \ge 1\).
B. \(m > 1\).
C. \(m > 0\).
D. \(m < 2\).
Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {x + 2} \)là
A. \(3\).
B. \(4\).
C. \( - 1\).
D. \( - 3\).
Câu 11: Phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) có tập nghiệm là
A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).
B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).
C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).
D. \(S = \emptyset \).
Câu 12: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\) là:
A. \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
B. \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\).
C. \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\).
D. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)\).
Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. \(x + 2y + 1 = 0\).
B. \(2x - y = 0\).
C. \( - x + 2y + 1 = 0\).
D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).
Câu 15: Tìm cosin góc giữa \(2\) đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 7 = 0,{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\).
A. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
B. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{1}{5}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(A( - 3;2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - y + 1 = 0\) bằng:
A. \(\sqrt {10} .\)
B. \(\frac{{11\sqrt 5 }}{5}.\)
C. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}.\)
D. \(\frac{{11}}{{\sqrt {10} }}.\)
Câu 17: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\).
A. \(I\left( { - 1;2} \right);R = 4\).
B. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 2\).
C. \(I\left( { - 1;2} \right);R = \sqrt 5 \).
D. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 4\).
Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Câu 19: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là
A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).
B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).
C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).
D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
Câu 20: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. \({y^2} = - 6x\).
B. \({y^2} = 6x\).
C. \({x^2} = - 6y\).
D. \({x^2} = 6y\).
Câu 21: Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x} - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).
A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).
B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).
C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).
D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\)xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\)?
A. \(1 < m < 3\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
C. \(3 < m < 5\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).
Câu 23: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + a}}{{x + 5}}\)có \(f\left( { - 4} \right) = 13\). Khi đó giá trị của \(a\)là
A. \(a = 11\).
B. \(a = 21\).
C. \(a = - 3\).
D. \(a = 3\).
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 25: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(a > 0,b < 0,c < 0.\)
B. \(a > 0,b < 0,c > 0.\)
C. \(a > 0,b > 0,c < 0.\)
D. \(a < 0,b < 0,c > 0.\)
Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}}\)?
A. \(0.\)
B. \(2.\)
C. \(1.\)
D. \(3.\)
Câu 27: Định \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11\) luôn âm.
A. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
B. \(1 < m < 5\).
C. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 5\\m > - 1\end{array} \right.\).
D. \( - 5 < m < - 1\).
Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \)là
A. \(S = 7\).
B. \(S = - 7\).
C. \(S = 6\).
D. \(S = 4\).
Câu 29: Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:
A. \(3x - 2y - 7 = 0\).
B. \(2x + 3y + 4 = 0\).
C. \(x + 3y + 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 3 = 0\).
Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right)\), \(B\left( {3;2} \right)\) và \(C\left( {7;3} \right).\) Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = - 7\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho các điểm \(A\left( {1;2} \right),B\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\), sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất có phương trình là?
A. \(3x + y - 5 = 0\).
B. \(x - 3y + 5 = 0\).
C. \(3x + y - 1 = 0\).
D. \(x - 3y - 1 = 0\).
Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.
A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).
B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).
Câu 33: Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\). Viết phương trình của đường tròn \((C)\).
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\).
C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).
Câu 34: Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ \({x_M} = - 13\). Khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) lần lượt là
A. \(10\) và \(6\).
B. \(8\) và \(18\).
C. \(13\) và \( \pm \sqrt 5 \).
D. \(13\) và \( \pm \sqrt {10} \).
Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\) và hai điểm \(M\left( {0;\, - 4} \right),\,N\left( { - 6;\,4} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A \in \left( P \right)\) sao cho \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\)?
A. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
B. \({A_1}\left( {16;\,9} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
C. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{1}{3}} \right)\).
D. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{15}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\).Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Bài 3. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Bài 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(C\left( {2;\, - 3} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) cắt tia \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(OA + OB = 4\) và \(OA < OB.\)
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. A | Câu 2. C | Câu 3. D | Câu 4. C | Câu 5. A | Câu 6. D | Câu 7. B |
Câu 8. B | Câu 9. A | Câu 10. B | Câu 11. A | Câu 12. A | Câu 13. B | Câu 14. D |
Câu 15. D | Câu 16. A | Câu 17. B | Câu 18. D | Câu 19. D | Câu 20. B | Câu 21. B |
Câu 22. D | Câu 23. B | Câu 24. D | Câu 25. A | Câu 26. C | Câu 27. B | Câu 28. B |
Câu 29. B | Câu 30. C | Câu 31. A | Câu 32. C | Câu 33. D | Câu 34. B | Câu 35. A |
Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Điều kiện xác định : \(2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)
Nên tập xác định của hàm số là : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đáp án A.
Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sao đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên: khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) có mũi tên hướng lên, diễn tả hàm số đồng biến.
Đáp án C.
Câu 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\), biết điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7.\) Giá trị của \({y_0}\) bằng:
A. \(7\).
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. \(3\).
Lời giải
Điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7\)nên thay \(x = - 1\) vào \(y = 4x + 7\)ta được:
\({y_0} = 4.( - 1) + 7 = 3\). Vậy \({y_0} = 3.\)
Đáp án D.
Câu 4: Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là
A. \(x = - 3\).
B. \(x = \frac{3}{2}\).
C. \(x = - \frac{3}{2}\).
D. \(x = 3\).
Lời giải
Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là \(x = - \frac{b}{{2a}}\)\( = - \frac{{ - 6}}{{2\left( { - 2} \right)}}\)\( = - \frac{3}{2}\).
Đáp án C.
Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) là:
Lời giải
\(y = - {x^2} + 2x - 1\)
Có \(a = - 1 < 0\), nên loại C và D.
Tọa độ đỉnh \(I\left( {1;0} \right)\), nên nhận A.
Đáp án A.
Câu 6: Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 3.\) Chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Do \(a = - 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Đáp án D.
Câu 7: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).
A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).
B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).
C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).
D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Ta có: \({x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\).
Tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ { - 2;3} \right]\).
Đáp án B.
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm
A. \( - 4 \le m \le 4\).
B. \(m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).
C. \(m \le - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).
D. \( - 2 \le m \le 2\).
Lời giải
Phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\)
Đáp án B.
Câu 9: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
A. \(m \ge 1\).
B. \(m > 1\).
C. \(m > 0\).
D. \(m < 2\).
Lời giải
Ta có \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = 1 - m \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \ge 1\).
Đáp án A.
Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {x + 2} \)là
A. \(3\).
B. \(4\).
C. \( - 1\).
D. \( - 3\).
Lời giải
Ta có \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {x + 2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{{x^2} - 3x + 2 = x + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{{x^2} - 4x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {0;4} \right\}\) nên tổng các nghiệm là \(4\).
Đáp án B.
Câu 11: Phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) có tập nghiệm là
A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).
B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).
C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).
D. \(S = \emptyset \).
Lời giải
Ta có: \(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Đáp án A.
Câu 12: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\) là:
A. \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
B. \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\).
C. \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\).
D. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)\).
Lời giải
Đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
Đáp án A.
Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 9;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {3; - 1} \right).\)
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
Đáp án B.
Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. \(x + 2y + 1 = 0\).
B. \(2x - y = 0\).
C. \( - x + 2y + 1 = 0\).
D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).
Lời giải
Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng
.+) Với \(d{}_1:x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_1\).
.+) Với \(d{}_2:2x - y = 0\) có \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_2\).
.+) Với \(d{}_3: - x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{{ - 1}}{1} = \frac{2}{{ - 2}} \ne \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow d\) trùng \(d{}_3\).
.+) Với \(d{}_4: - 2x + 4y - 1 = 0\) có \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow d\) song song \(d{}_4\).
Đáp án D.
Câu 15: Tìm cosin góc giữa \(2\) đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 7 = 0,{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\).
A. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
B. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{1}{5}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Lời giải
Ta có \(vtpt{\overrightarrow n _{{d_1}}} = \left( {1;2} \right);vtpt{\overrightarrow n _{{d_2}}} = \left( {2; - 4} \right)\)
\(cos\left( {d;d'} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}}.{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 - 2.4} \right|}}{{\sqrt 5 .2\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}.\)
Đáp án D.
Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(A( - 3;2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - y + 1 = 0\) bằng:
A. \(\sqrt {10} .\)
B. \(\frac{{11\sqrt 5 }}{5}.\)
C. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}.\)
D. \(\frac{{11}}{{\sqrt {10} }}.\)
Lời giải
Ta có \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 3} \right) - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} .\)
Đáp án A.
Câu 17: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\).
A. \(I\left( { - 1;2} \right);R = 4\).
B. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 2\).
C. \(I\left( { - 1;2} \right);R = \sqrt 5 \).
D. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 4\).
Lời giải
\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 1} = 2\).
Đáp án B.
Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Lời giải
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Đáp án D.
Câu 19: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là
A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).
B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).
C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).
D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
Lời giải
Gọi \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\).
Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\), ta có: \({a^2} = 4\) và \({b^2} = 3\) suy ra \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 ,\left( {c > 0} \right)\).
Vậy tọa độ các tiêu điểm của \(\left( H \right)\)là \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
Đáp án D.
Câu 20: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. \({y^2} = - 6x\).
B. \({y^2} = 6x\).
C. \({x^2} = - 6y\).
D. \({x^2} = 6y\).
Lời giải
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\) nên chỉ có trường hợp B là phương trình chính tắc của đường parabol.
Đáp án B.
Câu 21: Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x} - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).
A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).
B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).
C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).
D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > - 4\end{array} \right..\)
Vậy \(D = \left( { - 4;2} \right]\).
Đáp án B.
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\)?
A. \(1 < m < 3\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
C. \(3 < m < 5\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).
Lời giải
Hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\) xác định khi \(x - m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m - 1\).
Hàm số xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m - 1 \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).
Đáp án D.
Câu 23: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + a}}{{x + 5}}\) có \(f\left( { - 4} \right) = 13\). Khi đó giá trị của \(a\)là
A. \(a = 11\).
B. \(a = 21\).
C. \(a = - 3\).
D. \(a = 3\).
Lời giải
Ta có \(f\left( { - 4} \right) = \frac{{2.\left( { - 4} \right) + a}}{{ - 4 + 5}} = 13 \Leftrightarrow a = 21\).
Đáp án B.
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải
Hàm số có \(a = 1 > 0,\frac{{ - b}}{{2a}} = m + 1\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {m + 1; + \infty } \right)\).
Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\) thì ta phải có
\(\left( {4;2018} \right) \subset \left( {m + 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m + 1 \le 4 \Leftrightarrow m \le 3\).
Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3.
Đáp án D.
Câu 25: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(a > 0,b < 0,c < 0.\)
B. \(a > 0,b < 0,c > 0.\)
C. \(a > 0,b > 0,c < 0.\)
D. \(a < 0,b < 0,c > 0.\)
Lời giải
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(\left( { = c} \right)\) âm nên \(c < 0\). Suy ra loại B, D.
Đồ thị hướng bề lõm lên trên nên \(a > 0\), hoành độ đỉnh \(\left( { = \frac{{ - b}}{{2a}}} \right)\) dương nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} > 0,a > 0 \Rightarrow b < 0\).
Đáp án A.
Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}}\)?
A. \(0.\)
B. \(2.\)
C. \(1.\)
D. \(3.\)
Lời giải
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ne 0\\x + 2 \ne 0\\2x - {x^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm \,2\end{array} \right..\) Bất phương trình:
\(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0.\)
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(\frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \frac{9}{2}} \right) \cup \left( { - \,2;2} \right).\)
Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của \(x\) \(\left( {x = 1} \right)\) thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án C.
Câu 27: Định \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11\) luôn âm.
A. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
B. \(1 < m < 5\).
C. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 5\\m > - 1\end{array} \right.\).
D. \( - 5 < m < - 1\).
Lời giải
Ta có \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11 < 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta ' = {\left( {m - 4} \right)^2} + 2m - 11 < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5\).
Đáp án B.
Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \) là
A. \(S = 7\).
B. \(S = - 7\).
C. \(S = 6\).
D. \(S = 4\).
Lời giải
\(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15 - 5x \ge 0\\{x^2} + 2x - 3 = 15 - 5x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\{x^2} + 7x - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = 2 \vee x = - 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 9\)
Vậy \(S = 2 - 9 = - 7\).
Đáp án B.
Câu 29: Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:
A. \(3x - 2y - 7 = 0\).
B. \(2x + 3y + 4 = 0\).
C. \(x + 3y + 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 3 = 0\).
Lời giải
Do \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} \left( {2;3} \right)\)
Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có phương trình: \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d:2x + 3y + 4 = 0\).
Đáp án B.
Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right)\), \(B\left( {3;2} \right)\) và \(C\left( {7;3} \right).\) Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = - 7\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)
Lời giải
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;4} \right)\\B\left( {3;2} \right)\end{array} \right. \to M\left( {2;3} \right) \to \overrightarrow {MC} = \left( {5;0} \right) = 5\left( {1;0} \right) \to CM:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
Đáp án C.
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho các điểm \(A\left( {1;2} \right),B\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\), sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất có phương trình là?
A. \(3x + y - 5 = 0\).
B. \(x - 3y + 5 = 0\).
C. \(3x + y - 1 = 0\).
D. \(x - 3y - 1 = 0\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3} \right)\).
Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\Delta \) đi qua \(B\), suy ra véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) là véc-tơ chỉ phương của \(\Delta ,\) do đó đường thẳng \(\Delta \) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} \left( {3;1} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0.\)
Đáp án A.
Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.
A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).
B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).
Lời giải
Gọi \(\left( C \right)\) là phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\) với tâm \(I\left( {a;b} \right)\)
\( \Rightarrow \left( C \right)\)có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Vì đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua qua ba điểm \(A,B,C\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c = - 5\\ - 10a - 4b + c = - 29\\ - 2a + 6b + c = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\\c = - 1\end{array} \right.\).
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
Đáp án C.
Câu 33: Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\). Viết phương trình của đường tròn \((C)\).
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\).
C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).
Lời giải
Vì đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\) nên bán kính của đường tròn là \(R = d(I,\Delta ) = \frac{{\left| {3.( - 3) + 4.2 - 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\)
Vậy phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
Đáp án D.
Câu 34: Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ \({x_M} = - 13\). Khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) lần lượt là
A. \(10\) và \(6\).
B. \(8\) và \(18\).
C. \(13\) và \( \pm \sqrt 5 \).
D. \(13\) và \( \pm \sqrt {10} \).
Lời giải
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = - 13\\M \in \left( E \right)\end{array} \right. \Rightarrow {y_M} = 0 \Rightarrow M\left( { - 13;0} \right)\).
Ta có \({a^2} = 169\); \({b^2} = 144\) \( \Rightarrow {c^2} = 25 \Rightarrow c = 5\).
Các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\), \({F_2}\left( {5;0} \right)\), suy ra \(M{F_1} = 8\), \(M{F_2} = 18\).
Đáp án B.
Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\) và hai điểm \(M\left( {0;\, - 4} \right),\,N\left( { - 6;\,4} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A \in \left( P \right)\) sao cho \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\)?
A. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
B. \({A_1}\left( {16;\,9} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
C. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{1}{3}} \right)\).
D. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{15}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
Lời giải
Gọi \(A\left( {\frac{{{t^2}}}{4};\,t} \right) \in \left( P \right)\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( { - 6;\,8} \right)\), \(\overrightarrow {MA} = \left( {\frac{{{t^2}}}{4};\,t + 4} \right)\).
\(\Delta AMN\) vuông tại \(M \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MA} = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{2}{t^2} + 8t + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Vậy có hai điểm cần tìm là \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
Đáp án A.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.
Lời giải
Gắn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia là chiều dương của trục hoành.
Parabol có phương trình , đi qua các điểm: và nên ta có hệ
Suy ra chiều cao của cổng là m.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\).Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Lời giải
+) Gọi \(AH\) và \(AD\) lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\).
+) Tọa độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).
+) \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 3\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right)\).
+) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {3; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(AH\):\(6x - y - 4 = 0\) nên có phương trình \(x--3 + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0\).
+) \(D\) là giao điểm của \(BC\) và \(AN\) nên tọa độ \(D\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow D\left( {0;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\) mà D là trung điểm của BC suy ra \(C\left( { - 3; - 1} \right)\)
+) Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\)và \(C\left( { - 3; - 1} \right)\) có phương trình là \(3x - 4y + 5 = 0\).
Bài 3. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Lời giải
*Gọi \(D\)là tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\).
*\(x \in {\rm{D}}\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2m + 3 \ge 0\\x - m\not = 0\\ - x + m + 5 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2m - 3\\x\not = m\\x < m + 5\end{array} \right.\).
*Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 2m + 3} }}{{x - m}} + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\)xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left( {0;1} \right) \subset D\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \le 0\\m + 5 \ge 1\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{3}{2}\\m \ge - 4\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4;0} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\).
Bài 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(C\left( {2;\, - 3} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) cắt tia \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(OA + OB = 4\) và \(OA < OB.\)
Lời giải
Gọi \(A\left( {a;\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,b} \right)\) với \(a > 0,\,\,b > 0.\)
\(OA < OB\)\( \Leftrightarrow 0 < a < b\,\,\,\,\,(1).\)
Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A,\,B\) có phương trình: \(\Delta :\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) \( \Leftrightarrow \frac{2}{a} + \frac{{ - 3}}{b} = 1\,\,\,\,(*).\)
\(OA + OB = 4 \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a\) thay vào, ta có:\(\frac{2}{a} + \frac{{ - 3}}{{4 - a}} = 1\,\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 9a + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 3\\a = 8 \Rightarrow b = - 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(2).\)
Từ và, suy ra \(a = 1,\,\,b = 3\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{3} = 1\) hay \(3x + y - 3 = 0.\)
Tải về
Phần trắc nghiệm (7 điểm)
Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sao đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Câu 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\), biết điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7.\) Giá trị của \({y_0}\) bằng:
A. \(7\).
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. \(3\).
Câu 4: Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là
A. \(x = - 3\).
B. \(x = \frac{3}{2}\).
C. \(x = - \frac{3}{2}\).
D. \(x = 3\).
Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) là:
Câu 6: Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 3.\) Chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Câu 7: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).
A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).
B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).
C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).
D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm
A. \( - 4 \le m \le 4\).
B. \(m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).
C. \(m \le - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).
D. \( - 2 \le m \le 2\).
Câu 9: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
A. \(m \ge 1\).
B. \(m > 1\).
C. \(m > 0\).
D. \(m < 2\).
Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {x + 2} \)là
A. \(3\).
B. \(4\).
C. \( - 1\).
D. \( - 3\).
Câu 11: Phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) có tập nghiệm là
A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).
B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).
C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).
D. \(S = \emptyset \).
Câu 12: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\) là:
A. \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
B. \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\).
C. \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\).
D. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)\).
Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. \(x + 2y + 1 = 0\).
B. \(2x - y = 0\).
C. \( - x + 2y + 1 = 0\).
D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).
Câu 15: Tìm cosin góc giữa \(2\) đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 7 = 0,{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\).
A. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
B. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{1}{5}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(A( - 3;2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - y + 1 = 0\) bằng:
A. \(\sqrt {10} .\)
B. \(\frac{{11\sqrt 5 }}{5}.\)
C. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}.\)
D. \(\frac{{11}}{{\sqrt {10} }}.\)
Câu 17: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\).
A. \(I\left( { - 1;2} \right);R = 4\).
B. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 2\).
C. \(I\left( { - 1;2} \right);R = \sqrt 5 \).
D. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 4\).
Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Câu 19: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là
A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).
B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).
C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).
D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
Câu 20: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. \({y^2} = - 6x\).
B. \({y^2} = 6x\).
C. \({x^2} = - 6y\).
D. \({x^2} = 6y\).
Câu 21: Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x} - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).
A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).
B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).
C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).
D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\)xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\)?
A. \(1 < m < 3\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
C. \(3 < m < 5\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).
Câu 23: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + a}}{{x + 5}}\)có \(f\left( { - 4} \right) = 13\). Khi đó giá trị của \(a\)là
A. \(a = 11\).
B. \(a = 21\).
C. \(a = - 3\).
D. \(a = 3\).
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 25: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(a > 0,b < 0,c < 0.\)
B. \(a > 0,b < 0,c > 0.\)
C. \(a > 0,b > 0,c < 0.\)
D. \(a < 0,b < 0,c > 0.\)
Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}}\)?
A. \(0.\)
B. \(2.\)
C. \(1.\)
D. \(3.\)
Câu 27: Định \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11\) luôn âm.
A. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
B. \(1 < m < 5\).
C. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 5\\m > - 1\end{array} \right.\).
D. \( - 5 < m < - 1\).
Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \)là
A. \(S = 7\).
B. \(S = - 7\).
C. \(S = 6\).
D. \(S = 4\).
Câu 29: Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:
A. \(3x - 2y - 7 = 0\).
B. \(2x + 3y + 4 = 0\).
C. \(x + 3y + 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 3 = 0\).
Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right)\), \(B\left( {3;2} \right)\) và \(C\left( {7;3} \right).\) Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = - 7\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho các điểm \(A\left( {1;2} \right),B\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\), sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất có phương trình là?
A. \(3x + y - 5 = 0\).
B. \(x - 3y + 5 = 0\).
C. \(3x + y - 1 = 0\).
D. \(x - 3y - 1 = 0\).
Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.
A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).
B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).
Câu 33: Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\). Viết phương trình của đường tròn \((C)\).
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\).
C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).
Câu 34: Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ \({x_M} = - 13\). Khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) lần lượt là
A. \(10\) và \(6\).
B. \(8\) và \(18\).
C. \(13\) và \( \pm \sqrt 5 \).
D. \(13\) và \( \pm \sqrt {10} \).
Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\) và hai điểm \(M\left( {0;\, - 4} \right),\,N\left( { - 6;\,4} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A \in \left( P \right)\) sao cho \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\)?
A. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
B. \({A_1}\left( {16;\,9} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
C. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{1}{3}} \right)\).
D. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{15}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\).Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Bài 3. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Bài 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(C\left( {2;\, - 3} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) cắt tia \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(OA + OB = 4\) và \(OA < OB.\)
-------- Hết --------
Phần trắc nghiệm
Câu 1. A | Câu 2. C | Câu 3. D | Câu 4. C | Câu 5. A | Câu 6. D | Câu 7. B |
Câu 8. B | Câu 9. A | Câu 10. B | Câu 11. A | Câu 12. A | Câu 13. B | Câu 14. D |
Câu 15. D | Câu 16. A | Câu 17. B | Câu 18. D | Câu 19. D | Câu 20. B | Câu 21. B |
Câu 22. D | Câu 23. B | Câu 24. D | Câu 25. A | Câu 26. C | Câu 27. B | Câu 28. B |
Câu 29. B | Câu 30. C | Câu 31. A | Câu 32. C | Câu 33. D | Câu 34. B | Câu 35. A |
Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là
A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Điều kiện xác định : \(2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)
Nên tập xác định của hàm số là : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Đáp án A.
Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sao đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên: khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) có mũi tên hướng lên, diễn tả hàm số đồng biến.
Đáp án C.
Câu 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\), biết điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7.\) Giá trị của \({y_0}\) bằng:
A. \(7\).
B. \( - 1\).
C. \( - 2\).
D. \(3\).
Lời giải
Điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7\)nên thay \(x = - 1\) vào \(y = 4x + 7\)ta được:
\({y_0} = 4.( - 1) + 7 = 3\). Vậy \({y_0} = 3.\)
Đáp án D.
Câu 4: Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là
A. \(x = - 3\).
B. \(x = \frac{3}{2}\).
C. \(x = - \frac{3}{2}\).
D. \(x = 3\).
Lời giải
Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là \(x = - \frac{b}{{2a}}\)\( = - \frac{{ - 6}}{{2\left( { - 2} \right)}}\)\( = - \frac{3}{2}\).
Đáp án C.
Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\) là:
Lời giải
\(y = - {x^2} + 2x - 1\)
Có \(a = - 1 < 0\), nên loại C và D.
Tọa độ đỉnh \(I\left( {1;0} \right)\), nên nhận A.
Đáp án A.
Câu 6: Cho hàm số \(y = - {x^2} + 4x + 3.\) Chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Do \(a = - 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Đáp án D.
Câu 7: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).
A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).
B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).
C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).
D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Lời giải
Ta có: \({x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\).
Tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ { - 2;3} \right]\).
Đáp án B.
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm
A. \( - 4 \le m \le 4\).
B. \(m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).
C. \(m \le - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).
D. \( - 2 \le m \le 2\).
Lời giải
Phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\)
Đáp án B.
Câu 9: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
A. \(m \ge 1\).
B. \(m > 1\).
C. \(m > 0\).
D. \(m < 2\).
Lời giải
Ta có \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = 1 - m \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \ge 1\).
Đáp án A.
Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {x + 2} \)là
A. \(3\).
B. \(4\).
C. \( - 1\).
D. \( - 3\).
Lời giải
Ta có \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2} = \sqrt {x + 2} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{{x^2} - 3x + 2 = x + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{{x^2} - 4x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {0;4} \right\}\) nên tổng các nghiệm là \(4\).
Đáp án B.
Câu 11: Phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) có tập nghiệm là
A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).
B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).
C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).
D. \(S = \emptyset \).
Lời giải
Ta có: \(\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Đáp án A.
Câu 12: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\) là:
A. \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
B. \(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\).
C. \(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\).
D. \(\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)\).
Lời giải
Đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
Đáp án A.
Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 9;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {3; - 1} \right).\)
Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
Đáp án B.
Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
A. \(x + 2y + 1 = 0\).
B. \(2x - y = 0\).
C. \( - x + 2y + 1 = 0\).
D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).
Lời giải
Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng
.+) Với \(d{}_1:x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_1\).
.+) Với \(d{}_2:2x - y = 0\) có \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_2\).
.+) Với \(d{}_3: - x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{{ - 1}}{1} = \frac{2}{{ - 2}} \ne \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow d\) trùng \(d{}_3\).
.+) Với \(d{}_4: - 2x + 4y - 1 = 0\) có \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow d\) song song \(d{}_4\).
Đáp án D.
Câu 15: Tìm cosin góc giữa \(2\) đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 7 = 0,{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\).
A. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
B. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{1}{5}\).
D. \(\frac{3}{5}\).
Lời giải
Ta có \(vtpt{\overrightarrow n _{{d_1}}} = \left( {1;2} \right);vtpt{\overrightarrow n _{{d_2}}} = \left( {2; - 4} \right)\)
\(cos\left( {d;d'} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}}.{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 - 2.4} \right|}}{{\sqrt 5 .2\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}.\)
Đáp án D.
Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(A( - 3;2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - y + 1 = 0\) bằng:
A. \(\sqrt {10} .\)
B. \(\frac{{11\sqrt 5 }}{5}.\)
C. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}.\)
D. \(\frac{{11}}{{\sqrt {10} }}.\)
Lời giải
Ta có \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 3} \right) - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} .\)
Đáp án A.
Câu 17: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\).
A. \(I\left( { - 1;2} \right);R = 4\).
B. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 2\).
C. \(I\left( { - 1;2} \right);R = \sqrt 5 \).
D. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 4\).
Lời giải
\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 1} = 2\).
Đáp án B.
Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?
A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).
C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Lời giải
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Đáp án D.
Câu 19: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là
A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).
B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).
C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).
D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
Lời giải
Gọi \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\).
Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\), ta có: \({a^2} = 4\) và \({b^2} = 3\) suy ra \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 ,\left( {c > 0} \right)\).
Vậy tọa độ các tiêu điểm của \(\left( H \right)\)là \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).
Đáp án D.
Câu 20: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?
A. \({y^2} = - 6x\).
B. \({y^2} = 6x\).
C. \({x^2} = - 6y\).
D. \({x^2} = 6y\).
Lời giải
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\) nên chỉ có trường hợp B là phương trình chính tắc của đường parabol.
Đáp án B.
Câu 21: Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x} - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).
A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).
B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).
C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).
D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).
Lời giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x > - 4\end{array} \right..\)
Vậy \(D = \left( { - 4;2} \right]\).
Đáp án B.
Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\)?
A. \(1 < m < 3\).
B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
C. \(3 < m < 5\).
D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).
Lời giải
Hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\) xác định khi \(x - m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m - 1\).
Hàm số xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m - 1 \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).
Đáp án D.
Câu 23: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + a}}{{x + 5}}\) có \(f\left( { - 4} \right) = 13\). Khi đó giá trị của \(a\)là
A. \(a = 11\).
B. \(a = 21\).
C. \(a = - 3\).
D. \(a = 3\).
Lời giải
Ta có \(f\left( { - 4} \right) = \frac{{2.\left( { - 4} \right) + a}}{{ - 4 + 5}} = 13 \Leftrightarrow a = 21\).
Đáp án B.
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải
Hàm số có \(a = 1 > 0,\frac{{ - b}}{{2a}} = m + 1\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {m + 1; + \infty } \right)\).
Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\) thì ta phải có
\(\left( {4;2018} \right) \subset \left( {m + 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m + 1 \le 4 \Leftrightarrow m \le 3\).
Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3.
Đáp án D.
Câu 25: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(a > 0,b < 0,c < 0.\)
B. \(a > 0,b < 0,c > 0.\)
C. \(a > 0,b > 0,c < 0.\)
D. \(a < 0,b < 0,c > 0.\)
Lời giải
Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(\left( { = c} \right)\) âm nên \(c < 0\). Suy ra loại B, D.
Đồ thị hướng bề lõm lên trên nên \(a > 0\), hoành độ đỉnh \(\left( { = \frac{{ - b}}{{2a}}} \right)\) dương nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} > 0,a > 0 \Rightarrow b < 0\).
Đáp án A.
Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}}\)?
A. \(0.\)
B. \(2.\)
C. \(1.\)
D. \(3.\)
Lời giải
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ne 0\\x + 2 \ne 0\\2x - {x^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \pm \,2\end{array} \right..\) Bất phương trình:
\(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0.\)
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(\frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \frac{9}{2}} \right) \cup \left( { - \,2;2} \right).\)
Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của \(x\) \(\left( {x = 1} \right)\) thỏa mãn yêu cầu.
Đáp án C.
Câu 27: Định \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11\) luôn âm.
A. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).
B. \(1 < m < 5\).
C. \(\left[ \begin{array}{l}m < - 5\\m > - 1\end{array} \right.\).
D. \( - 5 < m < - 1\).
Lời giải
Ta có \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11 < 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta ' = {\left( {m - 4} \right)^2} + 2m - 11 < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5\).
Đáp án B.
Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \) là
A. \(S = 7\).
B. \(S = - 7\).
C. \(S = 6\).
D. \(S = 4\).
Lời giải
\(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15 - 5x \ge 0\\{x^2} + 2x - 3 = 15 - 5x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\{x^2} + 7x - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = 2 \vee x = - 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow x = 2 \vee x = - 9\)
Vậy \(S = 2 - 9 = - 7\).
Đáp án B.
Câu 29: Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:
A. \(3x - 2y - 7 = 0\).
B. \(2x + 3y + 4 = 0\).
C. \(x + 3y + 5 = 0\).
D. \(2x + 3y - 3 = 0\).
Lời giải
Do \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} \left( {2;3} \right)\)
Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có phương trình: \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d:2x + 3y + 4 = 0\).
Đáp án B.
Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right)\), \(B\left( {3;2} \right)\) và \(C\left( {7;3} \right).\) Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = - 7\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)
Lời giải
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;4} \right)\\B\left( {3;2} \right)\end{array} \right. \to M\left( {2;3} \right) \to \overrightarrow {MC} = \left( {5;0} \right) = 5\left( {1;0} \right) \to CM:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
Đáp án C.
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho các điểm \(A\left( {1;2} \right),B\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\), sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất có phương trình là?
A. \(3x + y - 5 = 0\).
B. \(x - 3y + 5 = 0\).
C. \(3x + y - 1 = 0\).
D. \(x - 3y - 1 = 0\).
Lời giải
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3} \right)\).
Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\Delta \) đi qua \(B\), suy ra véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) là véc-tơ chỉ phương của \(\Delta ,\) do đó đường thẳng \(\Delta \) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} \left( {3;1} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0.\)
Đáp án A.
Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.
A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).
B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).
C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).
Lời giải
Gọi \(\left( C \right)\) là phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\) với tâm \(I\left( {a;b} \right)\)
\( \Rightarrow \left( C \right)\)có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Vì đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua qua ba điểm \(A,B,C\) nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c = - 5\\ - 10a - 4b + c = - 29\\ - 2a + 6b + c = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\\c = - 1\end{array} \right.\).
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
Đáp án C.
Câu 33: Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\). Viết phương trình của đường tròn \((C)\).
A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).
B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\).
C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).
Lời giải
Vì đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\) nên bán kính của đường tròn là \(R = d(I,\Delta ) = \frac{{\left| {3.( - 3) + 4.2 - 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\)
Vậy phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
Đáp án D.
Câu 34: Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ \({x_M} = - 13\). Khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) lần lượt là
A. \(10\) và \(6\).
B. \(8\) và \(18\).
C. \(13\) và \( \pm \sqrt 5 \).
D. \(13\) và \( \pm \sqrt {10} \).
Lời giải
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = - 13\\M \in \left( E \right)\end{array} \right. \Rightarrow {y_M} = 0 \Rightarrow M\left( { - 13;0} \right)\).
Ta có \({a^2} = 169\); \({b^2} = 144\) \( \Rightarrow {c^2} = 25 \Rightarrow c = 5\).
Các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\), \({F_2}\left( {5;0} \right)\), suy ra \(M{F_1} = 8\), \(M{F_2} = 18\).
Đáp án B.
Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\) và hai điểm \(M\left( {0;\, - 4} \right),\,N\left( { - 6;\,4} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A \in \left( P \right)\) sao cho \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\)?
A. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
B. \({A_1}\left( {16;\,9} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
C. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{1}{3}} \right)\).
D. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{15}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
Lời giải
Gọi \(A\left( {\frac{{{t^2}}}{4};\,t} \right) \in \left( P \right)\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( { - 6;\,8} \right)\), \(\overrightarrow {MA} = \left( {\frac{{{t^2}}}{4};\,t + 4} \right)\).
\(\Delta AMN\) vuông tại \(M \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MA} = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{2}{t^2} + 8t + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\)
Vậy có hai điểm cần tìm là \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).
Đáp án A.
Phần tự luận (3 điểm)
Bài 1. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.
Lời giải
Gắn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia là chiều dương của trục hoành.
Parabol có phương trình , đi qua các điểm: và nên ta có hệ
Suy ra chiều cao của cổng là m.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\).Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).
Lời giải
+) Gọi \(AH\) và \(AD\) lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\).
+) Tọa độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).
+) \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 3\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right)\).
+) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {3; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(AH\):\(6x - y - 4 = 0\) nên có phương trình \(x--3 + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0\).
+) \(D\) là giao điểm của \(BC\) và \(AN\) nên tọa độ \(D\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow D\left( {0;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\) mà D là trung điểm của BC suy ra \(C\left( { - 3; - 1} \right)\)
+) Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\)và \(C\left( { - 3; - 1} \right)\) có phương trình là \(3x - 4y + 5 = 0\).
Bài 3. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Lời giải
*Gọi \(D\)là tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\).
*\(x \in {\rm{D}}\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2m + 3 \ge 0\\x - m\not = 0\\ - x + m + 5 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2m - 3\\x\not = m\\x < m + 5\end{array} \right.\).
*Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 2m + 3} }}{{x - m}} + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\)xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left( {0;1} \right) \subset D\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \le 0\\m + 5 \ge 1\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{3}{2}\\m \ge - 4\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4;0} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\).
Bài 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(C\left( {2;\, - 3} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) cắt tia \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(OA + OB = 4\) và \(OA < OB.\)
Lời giải
Gọi \(A\left( {a;\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,b} \right)\) với \(a > 0,\,\,b > 0.\)
\(OA < OB\)\( \Leftrightarrow 0 < a < b\,\,\,\,\,(1).\)
Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A,\,B\) có phương trình: \(\Delta :\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) \( \Leftrightarrow \frac{2}{a} + \frac{{ - 3}}{b} = 1\,\,\,\,(*).\)
\(OA + OB = 4 \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a\) thay vào, ta có:\(\frac{2}{a} + \frac{{ - 3}}{{4 - a}} = 1\,\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 9a + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 3\\a = 8 \Rightarrow b = - 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(2).\)
Từ và, suy ra \(a = 1,\,\,b = 3\).
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{3} = 1\) hay \(3x + y - 3 = 0.\)
Kì thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá quá trình học tập của học sinh. Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 3 là một công cụ hữu ích để học sinh tự đánh giá năng lực và xác định những kiến thức cần củng cố thêm. Bài viết này sẽ cung cấp thông tin chi tiết về cấu trúc đề thi, các dạng bài tập thường gặp, và hướng dẫn giải chi tiết một số bài toán tiêu biểu.
Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 3 thường bao gồm các phần sau:
Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp trong đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 3:
Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - 5x + 6 = 0
Lời giải:
Phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với a = 1, b = -5, c = 6. Tính delta: Δ = b2 - 4ac = (-5)2 - 4 * 1 * 6 = 1. Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = (-b + √Δ) / 2a = (5 + 1) / 2 = 3
x2 = (-b - √Δ) / 2a = (5 - 1) / 2 = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = 2.
Ví dụ 2: Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4)
Lời giải:
Vectơ AB = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2). Phương trình đường thẳng đi qua A(1; 2) và có vectơ chỉ phương AB là:
(x - 1) / 2 = (y - 2) / 2
Suy ra x - 1 = y - 2, hay x - y + 1 = 0.
Chúc các em học sinh ôn tập tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
