Bài 6. Phép vị tự

I. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho M' nằm trên tia OM và OM' = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự, O là tâm vị tự.

Kí hiệu: V_O(k)(M) = M'.

1. Tâm vị tự O

Tâm vị tự là điểm cố định O trong phép vị tự. Vị trí của tâm vị tự ảnh hưởng đến tính chất của phép vị tự.

2. Tỉ số vị tự k

Tỉ số vị tự k xác định độ lớn của phép biến hình. Nếu k > 1, phép vị tự là phép phóng to. Nếu 0 < k < 1, phép vị tự là phép thu nhỏ. Nếu k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất (không biến đổi hình).

II. Tính chất của phép vị tự

1. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

Nếu A, B, C thẳng hàng thì A', B', C' cũng thẳng hàng.

2. Bảo toàn khoảng cách

A'B' = k.AB

3. Bảo toàn góc

∠A'B'C' = ∠ABC

4. Biến đường tròn thành đường tròn

Một đường tròn (O, R) qua phép vị tự V_O'(k) trở thành một đường tròn (O', kR).

III. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y) và tâm vị tự O(x₀; y₀). Khi đó, tọa độ điểm M'(x'; y') là:

• x' = x₀ + k(x - x₀)
• y' = y₀ + k(y - y₀)

IV. Ứng dụng của phép vị tự

1. Giải bài toán chứng minh sự đồng dạng của hai tam giác

Phép vị tự có thể được sử dụng để chứng minh hai tam giác đồng dạng bằng cách biến một tam giác thành tam giác kia.

2. Giải bài toán tìm điểm

Phép vị tự có thể được sử dụng để tìm các điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.

3. Trong thiết kế và kiến trúc

Phép vị tự được ứng dụng trong việc tạo ra các hình ảnh và mô hình có kích thước khác nhau.

V. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC và điểm O. Dựng tam giác A'B'C' sao cho A' là ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2.

Bài 2: Cho đường tròn (O, R) và điểm I. Dựng đường tròn (O', R') là ảnh của đường tròn (O, R) qua phép vị tự tâm I tỉ số k = 0.5.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 2) và tâm vị tự O(3; 4). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -1.

VI. Kết luận

Bài học về phép vị tự đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ và ứng dụng của phép biến hình này. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và sáng tạo.

Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình. Chúc bạn học tốt!