Bài 2. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

I. Giới thiệu chung

Trong chương 6 của sách bài tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo, Bài 2 tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hai công thức này được sử dụng để tính xác suất của một sự kiện khi thông tin về sự kiện đó được chia thành các trường hợp loại trừ lẫn nhau.

II. Công thức xác suất toàn phần

1. Định nghĩa

Giả sử A là một sự kiện. Ta gọi {B₁, B₂, ..., B_n} là một hệ các sự kiện đầy đủ và xung khắc. Khi đó, công thức xác suất toàn phần cho phép tính xác suất của sự kiện A như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

2. Ví dụ minh họa

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là sự kiện sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• Gọi B₁ là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.
• Gọi B₂ là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta có: P(B₁) = 0.6, P(B₂) = 0.4, P(A|B₁) = 0.02, P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

III. Công thức Bayes

1. Định nghĩa

Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một sự kiện khi biết kết quả của một sự kiện khác. Công thức được phát biểu như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

2. Ví dụ minh họa

Sử dụng dữ liệu từ ví dụ trên, tính xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 1.

Giải:

• Gọi A là sự kiện sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• Gọi B₁ là sự kiện sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.

Ta đã tính được P(A) = 0.024, P(A|B₁) = 0.02, P(B₁) = 0.6

Áp dụng công thức Bayes:

P(B₁|A) = [P(A|B₁)P(B₁)] / P(A) = (0.02 * 0.6) / 0.024 = 0.012 / 0.024 = 0.5

Vậy xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 1 là 50%.

IV. Bài tập áp dụng

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất cả hai quả bóng đều màu đỏ.
2. Một cuộc khảo sát cho thấy 70% người dân ủng hộ chính sách A. Trong số những người ủng hộ chính sách A, 60% là nam giới. Trong số những người không ủng hộ chính sách A, 40% là nam giới. Tính xác suất một người được chọn ngẫu nhiên là nam giới và ủng hộ chính sách A.

V. Kết luận

Bài 2 đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán xác suất phức tạp trong thực tế. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.