Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes - SBT Toán 12 Cánh Diều

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh Diều tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán xác suất thực tế, đặc biệt là trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu và kỹ thuật.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, đôi một loại trừ.

Phát biểu: Giả sử A là một biến cố. Gọi B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố đôi một loại trừ và tổng xác suất của chúng bằng 1 (B₁ + B₂ + ... + B_n = Ω). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ minh họa: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết thông tin về một biến cố khác.

Phát biểu: Giả sử A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất của biến cố A khi biết biến cố B đã xảy ra được tính theo công thức:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Trong đó, P(B) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ minh họa: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để chẩn đoán một bệnh hiếm gặp. Độ chính xác của xét nghiệm là 95% (tức là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%). Tỷ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng là 1%. Một người được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự mắc bệnh.

Giải:

• Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”.
• Gọi B là biến cố “kết quả xét nghiệm dương tính”.

Ta có:

• P(A) = 0.01
• P(B|A) = 0.95
• P(B^c|A^c) = 0.95 => P(B|A^c) = 0.05

Tính P(B) bằng công thức xác suất toàn phần:

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A^c)P(A^c) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

Áp dụng công thức Bayes:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161

Vậy, xác suất người đó thực sự mắc bệnh là khoảng 16.1%.

3. Bài tập áp dụng

Các em có thể tìm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 Cánh Diều để luyện tập và củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hãy chú ý phân tích kỹ đề bài, xác định đúng các biến cố và áp dụng công thức một cách chính xác.

4. Kết luận

Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes là những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán xác suất phức tạp. Việc hiểu rõ và vận dụng linh hoạt hai công thức này sẽ giúp các em đạt kết quả tốt trong môn Toán 12 và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng.