Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình

Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

I. Giới thiệu chung về phép biến hình

Trong hình học, phép biến hình là một sự biến đổi các điểm trong không gian. Phép biến hình có thể thay đổi vị trí, hình dạng hoặc kích thước của một hình. Tuy nhiên, trong chương trình Toán 11, chúng ta tập trung vào các phép biến hình bảo toàn khoảng cách, tức là khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ không thay đổi sau khi thực hiện phép biến hình.

II. Định nghĩa phép biến hình

Một phép biến hình f là một ứng dụng từ tập hợp các điểm trên mặt phẳng đến chính nó, ký hiệu là f: (P) → (P), sao cho với mọi cặp điểm M, N thuộc (P), ta có:

• f(M) và f(N) cũng là các điểm thuộc (P)
• Khoảng cách giữa f(M) và f(N) bằng khoảng cách giữa M và N.

Ký hiệu f(M) là ảnh của điểm M qua phép biến hình f.

III. Định nghĩa phép dời hình

Một phép biến hình f được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Tức là, với mọi cặp điểm M, N thuộc (P), ta có:

MN = M'N', trong đó M' = f(M) và N' = f(N).

IV. Các loại phép dời hình thường gặp

1. Phép tịnh tiến: Phép biến hình di chuyển mỗi điểm một khoảng không đổi theo một hướng xác định.
2. Phép quay: Phép biến hình quay mỗi điểm một góc không đổi quanh một điểm cố định (tâm quay).
3. Phép đối xứng trục: Phép biến hình đối xứng mỗi điểm qua một đường thẳng cố định (trục đối xứng).
4. Phép đối xứng tâm: Phép biến hình đối xứng mỗi điểm qua một điểm cố định (tâm đối xứng).

V. Tính chất của phép dời hình

• Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép dời hình bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

VI. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm ảnh A' của điểm A qua phép tịnh tiến này.

Giải: A' = A + v = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1).

Ví dụ 2: Cho điểm B(2; -3) và phép quay tâm O(0; 0) góc 90 độ. Tìm ảnh B' của điểm B qua phép quay này.

Giải: B' = (-3; 2).

VII. Bài tập vận dụng

1. Cho điểm C(-1; 4) và phép đối xứng trục Ox. Tìm ảnh C' của điểm C qua phép đối xứng này.

2. Cho điểm D(0; -2) và phép đối xứng tâm I(1; 1). Tìm ảnh D' của điểm D qua phép đối xứng này.

3. Chứng minh rằng phép tịnh tiến và phép quay là các phép dời hình.

VIII. Kết luận

Bài học này đã cung cấp những kiến thức cơ bản về phép biến hình và phép dời hình. Việc nắm vững những khái niệm này là rất quan trọng để hiểu sâu hơn về hình học và giải quyết các bài toán liên quan. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.