Trắc nghiệm Bài 7: Tam giác cân Toán 7 Cánh diều

• A.

  cân

• B.

  vuông cân

• C.

   đều

• D.

  vuông

• A.

  \(45^\circ \)

• B.

  \(30^\circ \)

• C.

  \(90^\circ \)

• D.

  \(60^\circ \)

- Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BD.\)

- Chứng minh \(\Delta BDE\) đều, suy ra \(BD = BE = DE = DA.\)

- Chứng minh \(\Delta CAE\) cân tại \(C\), suy ra \(AC = EC.\)

- Biểu diễn \(AD;\,BD;\,AB\) theo \(a,\,b.\) Từ đó tính chu vi của \(\Delta ABD\).

Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BD.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{100}^o}}}{2} = {40^o}.\)

\(\Delta ABD\) cân tại \(D\) nên \(\widehat {DBA} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ADB}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{140}^o}}}{2} = {20^o}\).

Ta có: \(\widehat {DBE} = \widehat {DBA} + \widehat {ABC} = {20^o} + {40^o} = {60^o}.\)

Xét \(\Delta BDE\) có: \(\widehat {DBE} = {60^o}\) nên \(\Delta BDE\) đều, suy ra \(BD = BE = DE = DA.\)

\(\widehat {EDA} = \widehat {BDA} - \widehat {BDE} = {140^o} - {60^o} = {80^o}\)

\(\Delta DAE\) cân tại \(D\) (vì \(DA = DE\,(cmt)\)) nên \(\widehat {DEA} = \widehat {DAE} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {EDA}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{80}^o}}}{2} = {50^o}.\)

\(\widehat {EAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} - \widehat {DAE} = {20^o} + {100^o} - {50^o} = {70^o}.\)

\(\widehat {AEC} = {180^o} - \widehat {DEA} - \widehat {DEB} = {180^o} - {50^o} - {60^o} = {70^o}.\)

\(\Delta CAE\) có \(\widehat {EAC} = \widehat {AEC} = {70^o}\) nên \(\Delta CAE\) cân tại \(C\), suy ra \(AC = EC.\)

Do đó: \(AD = BD = BE = BC - EC = BC - AC = a - b.\)

\(AB = AC = b.\)

Vậy chu vi của \(\Delta ABD\) là:

\(AD + BD + AB = a - b + a - b + b = 2a - b.\)

- Chứng minh \(\Delta ADC\) cân tại \(D\), suy ra \(DC = DA\) (1)

- Trên cạnh \(BD\) lấy \(E\) sao cho \(\widehat {BAE} = {30^o}\), chứng minh \(\Delta AEB\) cân tại \(E\), suy ra \(AE = EB\) (2)

- Chứng minh \(\Delta ADE\) là tam giác đều, suy ra \(DA = DE = AE\) (3)

- Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(DC = DE = EB = \dfrac{1}{3}BC\), từ đó ta tính được độ dài \(BD.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(\widehat A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}.\)

Ta có: \(\widehat {CAD} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = {120^o} - {90^o} = {30^o}\)

\(\Delta ADC\) có: \(\widehat C = \widehat {CAD} = {30^o}\) nên \(\Delta ADC\) cân tại \(D\), suy ra \(DC = DA\) (1)

Ta có: \(\widehat {ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta ADC\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat C + \widehat {CAD} = {30^o} + {30^o} = {60^o}.\)

Trên cạnh \(BD\) lấy \(E\) sao cho \(\widehat {BAE} = {30^o}\) thì \(E\) nằm giữa \(B\) và \(D.\)

\(\Delta AEB\) có: \(\widehat B = \widehat {BAE} = {30^o}\) nên \(\Delta AEB\) cân tại \(E\), suy ra \(AE = EB\) (2)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {BAD} - \widehat {BAE} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

\(\Delta ADE\) có: \(\widehat {DAE} = \widehat {ADE} = {60^o}\) nên \(\Delta ADE\) là tam giác đều, suy ra \(DA = DE = AE\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(DC = DE = EB = \dfrac{1}{3}BC.\)

Do đó \(BD = DE + EB = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,\left( {cm} \right).\)

Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(\widehat {BAM} = {30^o}.\) Chứng minh \(\Delta AMB\) cân và \(\Delta AMC\) đều suy ra \(MA = MB = MC = AC\), từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(\widehat {BAM} = {30^o}.\)

\(\Delta AMB\) có \(\widehat {BAM} = \widehat B = {30^o}\) nên là tam giác cân, suy ra \(MA = MB\) (1)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = {90^o}\) \( \Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BAM} + \widehat {MAC}\)

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAM} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

\(\Delta AMC\) có: \(\widehat {MAC} = \widehat C = {60^o}\) nên là tam giác đều, suy ra \(AC = AM = MC\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(AC = MB = MC\) hay \(AC = \dfrac{{BC}}{2}.\)

- Sử dụng:

- Tính chất: Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau và cùng bằng \({60^o}.\)

- Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Dấu hiệu nhận biết tam giác đều: Tam giác cân có một góc bằng \({60^o}.\)

\(\Delta AMC\) đều nên \(\widehat {AMC} = {60^o};\,AM = CM.\)

\(\Delta BMD\) đều nên \(\widehat {BMD} = {60^o};\,MD = MB.\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {AMC} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\) (1)

\(\widehat {CMB} = \widehat {BMD} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\)

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta CMB\) có:

\(AM = CM\,\,(cmt)\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\,\,(cmt)\)

\(MD = MB\,\,(cmt)\)

\( \Rightarrow \Delta AMD = \Delta CMB\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AD = CB\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {BCM}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CFM\) có:

\(AM = CM\,(cmt)\)

\(\widehat {DAM} = \widehat {BCM}\,(cmt)\)

\(AE = CF\,\,\left( {\dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{CB}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AEM = \Delta CFM\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow EM = FM\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {CMF}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {CME} = \widehat {CME} + \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {EMF} = {60^o}\)

Xét \(\Delta MEF\) có: \(EM = FM\,(cmt);\,\widehat {EMF} = {60^o}\,(cmt)\) nên \(\Delta MEF\) là tam giác đều.

Tam giác đều vừa là tam giác cân vừa là tam giác nhọn (vì có ba góc nhọn) nên cả A, B, C đều đúng.

+ Ta sử dụng tính chất tam giác cân, tính chất tia phân giác của một góc, tính chất hai góc kề bù để chứng minh các cặp góc so le trong bằng nhau để chứng minh ba điểm $M,A,N$ thẳng hàng.

+ Chứng minh cạnh bằng nhau ta sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

+ Các tam giác $AMB$ và $ANC$ là các tam giác đều(gt) nên \(\widehat {MAB} = {60^0},\,\,\,\widehat {NAC} = {60^0}\).

Ta có: \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = {60^0} + {60^0} + {60^0} = {180^0}.\)

Suy ra ba điểm $M,A,N$ thẳng hàng.

+ Ta có:

 $\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\\\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}$

Do đó \(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\) .

Xét hai tam giác $ABN$ và $AMC$ có:

+) $AB = AM$ (do tam giác $AMB$ đều)

+) \(\widehat {BAN} = \widehat {MAC}\) (cmt)

+) $AN = AC$ (do tam giác $ANC$ đều)

Do đó \(\Delta ABN = \Delta AMC(c.g.c)\)

Suy ra $BN = CM$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy cả A, B đều đúng.

Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác và dựa vào tính chất tam giác cân.

Lấy \(E \in AD\) sao cho \(AE = AB\) mà \(AD = AB + AC\) nên \(AC = DE.\)

\(\Delta ABE\) cân có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABE\) là tam giác đều suy ra \(AE = EB.\)

Thấy \(\widehat {BED} = \widehat {EBA} + \widehat {EAB} = 120^\circ \) (góc ngoài tại đỉnh \(E\) của tam giác \(ABE\) ) nên \(\widehat {BED} = \widehat {BAC}\left( { = 120^\circ } \right)\)

Suy ra \(\Delta EBD = \Delta {\rm A}BC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (hai góc tương ứng bằng nhau) và \(BD = BC\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ $ nên \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ .\)

\(\Delta BCD\) cân tại \(B\) có \(\widehat {CBD} = 60^\circ \) nên nó là tam giác đều.

Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác và dựa vào tính chất tam giác cân.

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc trong tam giác) và \(\widehat A = 40^\circ ;\,\widehat B - \widehat C = 20^\circ \,\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 140^\circ \) nên \(\widehat B = \dfrac{{140^\circ + 20^\circ }}{2} = 80^\circ ;\,\widehat C = 60^\circ \)

Xét tam giác \(AEB\) cân tại \(A\) (do \(AB = AE\,\left( {gt} \right)\)) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ABE}\) (tính chất) (1)

Lại có \(\widehat {BAC}\) là góc ngoài của tam giác \(AEB \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ \)

Do đó \(\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 80^\circ + 20^\circ = 100^\circ .\)

Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác và dựa vào tính chất tam giác cân.

Từ giả thiết suy ra \(AM = BM = CM\)

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc trong tam giác) (1)

Lại có \(\Delta AMB\) cân tại \(M\,\left( {{\rm{do}}\,\,MA = MB} \right)\) nên \(\widehat B = \widehat {BAM}\) (tính chất) (2)

Tương tự \(\Delta AMC\) cân tại \(M\,\left( {{\mathop{\rm do}\nolimits} \,\,MA = MC} \right)\) nên \(\widehat C = \widehat {MAC}\) (tính chất) (3)

Từ (1); (2); (3) ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {BAM} + \widehat {CAM} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) \(2.\widehat {BAC} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ;\,AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân.

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân nên cả A, B, C đều đúng.

Sử dụng tính chất tam giác cân, tính chất tổng các góc của một tam giác, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Ta thấy tam giác $ADE$ cân do $AD = AE.$

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Do đó \(\widehat B = \widehat {ADE}\) . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ED//BC.$

Vậy D là đáp án sai.

• A.

  cân

• B.

  vuông cân

• C.

   đều

• D.

  vuông

• A.

  \(45^\circ \)

• B.

  \(30^\circ \)

• C.

  \(90^\circ \)

• D.

  \(60^\circ \)

Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác, tính chất góc ngoài và sử dụng tính chất của tam giác cân.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (vì \(AB = AC\) ) có \(\widehat A = 40^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \)

Mà \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài của tam giác \(ACD\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA}\)

Lại có \(\Delta CAD\) cân tại \(C \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CDA} = x\) (tính chất)

Nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA} = 2x \Rightarrow x = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\)\( = \dfrac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ .\)

Vậy \(x = 35^\circ .\)

Từ hình vẽ ta có \(AB = AE;BC = DE\)

Vì \(AB = AE \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(A.\)

Suy ra \(\widehat B = \widehat E\) (hai góc ở đáy)

Xét tam giác \(ABC\) và \(AED\) có: \(AB = AE;\widehat B = \widehat E\left( {cmt} \right);BC = DE\) nên \(\Delta ABC = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

Do đó \(AC = AD\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(\Delta ACD\) cân tại \(A.\)

Vậy có hai tam giác cân trên hình vẽ.

Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác và sử dụng tính chất của tam giác cân.

Tổng số đo hai góc ở đáy là \(70^o.2 = 140^\circ \)

Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ \) nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là

\(180^\circ - 140^\circ = 40^\circ .\)

Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác và sử dụng tính chất của tam giác cân.

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Góc ở đỉnh \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\) và góc ở đáy \(\widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}.\)

Áp dụng ta có số đo góc ở đáy bằng: $\dfrac{{{{180}^0} - {{64}^0}}}{2} = {58^0}$

+ Áp dụng tính chất của tam giác cân và tính chất tổng các góc của một tam giác

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \widehat C\)

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\) hay \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\)

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng \({45^0}.\)

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \({60^0}.\)

Nên A, B đúng.

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều vì nó chỉ có hai cạnh bên bằng nhau.

Vậy C sai.

• A.

  cân

• B.

  vuông cân

• C.

   đều

• D.

  vuông

• A.

  \(45^\circ \)

• B.

  \(30^\circ \)

• C.

  \(90^\circ \)

• D.

  \(60^\circ \)

- Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BD.\)

- Chứng minh \(\Delta BDE\) đều, suy ra \(BD = BE = DE = DA.\)

- Chứng minh \(\Delta CAE\) cân tại \(C\), suy ra \(AC = EC.\)

- Biểu diễn \(AD;\,BD;\,AB\) theo \(a,\,b.\) Từ đó tính chu vi của \(\Delta ABD\).

Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BD.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{100}^o}}}{2} = {40^o}.\)

\(\Delta ABD\) cân tại \(D\) nên \(\widehat {DBA} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ADB}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{140}^o}}}{2} = {20^o}\).

Ta có: \(\widehat {DBE} = \widehat {DBA} + \widehat {ABC} = {20^o} + {40^o} = {60^o}.\)

Xét \(\Delta BDE\) có: \(\widehat {DBE} = {60^o}\) nên \(\Delta BDE\) đều, suy ra \(BD = BE = DE = DA.\)

\(\widehat {EDA} = \widehat {BDA} - \widehat {BDE} = {140^o} - {60^o} = {80^o}\)

\(\Delta DAE\) cân tại \(D\) (vì \(DA = DE\,(cmt)\)) nên \(\widehat {DEA} = \widehat {DAE} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {EDA}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{80}^o}}}{2} = {50^o}.\)

\(\widehat {EAC} = \widehat {DAB} + \widehat {BAC} - \widehat {DAE} = {20^o} + {100^o} - {50^o} = {70^o}.\)

\(\widehat {AEC} = {180^o} - \widehat {DEA} - \widehat {DEB} = {180^o} - {50^o} - {60^o} = {70^o}.\)

\(\Delta CAE\) có \(\widehat {EAC} = \widehat {AEC} = {70^o}\) nên \(\Delta CAE\) cân tại \(C\), suy ra \(AC = EC.\)

Do đó: \(AD = BD = BE = BC - EC = BC - AC = a - b.\)

\(AB = AC = b.\)

Vậy chu vi của \(\Delta ABD\) là:

\(AD + BD + AB = a - b + a - b + b = 2a - b.\)

- Chứng minh \(\Delta ADC\) cân tại \(D\), suy ra \(DC = DA\) (1)

- Trên cạnh \(BD\) lấy \(E\) sao cho \(\widehat {BAE} = {30^o}\), chứng minh \(\Delta AEB\) cân tại \(E\), suy ra \(AE = EB\) (2)

- Chứng minh \(\Delta ADE\) là tam giác đều, suy ra \(DA = DE = AE\) (3)

- Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(DC = DE = EB = \dfrac{1}{3}BC\), từ đó ta tính được độ dài \(BD.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(\widehat A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^o}.\)

Ta có: \(\widehat {CAD} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = {120^o} - {90^o} = {30^o}\)

\(\Delta ADC\) có: \(\widehat C = \widehat {CAD} = {30^o}\) nên \(\Delta ADC\) cân tại \(D\), suy ra \(DC = DA\) (1)

Ta có: \(\widehat {ADB}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) của \(\Delta ADC\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat C + \widehat {CAD} = {30^o} + {30^o} = {60^o}.\)

Trên cạnh \(BD\) lấy \(E\) sao cho \(\widehat {BAE} = {30^o}\) thì \(E\) nằm giữa \(B\) và \(D.\)

\(\Delta AEB\) có: \(\widehat B = \widehat {BAE} = {30^o}\) nên \(\Delta AEB\) cân tại \(E\), suy ra \(AE = EB\) (2)

Ta có: \(\widehat {DAE} = \widehat {BAD} - \widehat {BAE} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

\(\Delta ADE\) có: \(\widehat {DAE} = \widehat {ADE} = {60^o}\) nên \(\Delta ADE\) là tam giác đều, suy ra \(DA = DE = AE\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(DC = DE = EB = \dfrac{1}{3}BC.\)

Do đó \(BD = DE + EB = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,\left( {cm} \right).\)

Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(\widehat {BAM} = {30^o}.\) Chứng minh \(\Delta AMB\) cân và \(\Delta AMC\) đều suy ra \(MA = MB = MC = AC\), từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(\widehat {BAM} = {30^o}.\)

\(\Delta AMB\) có \(\widehat {BAM} = \widehat B = {30^o}\) nên là tam giác cân, suy ra \(MA = MB\) (1)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat B + \widehat C = {90^o}\) \( \Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {BAM} + \widehat {MAC}\)

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAM} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.\)

\(\Delta AMC\) có: \(\widehat {MAC} = \widehat C = {60^o}\) nên là tam giác đều, suy ra \(AC = AM = MC\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(AC = MB = MC\) hay \(AC = \dfrac{{BC}}{2}.\)

- Sử dụng:

- Tính chất: Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau, ba góc bằng nhau và cùng bằng \({60^o}.\)

- Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Dấu hiệu nhận biết tam giác đều: Tam giác cân có một góc bằng \({60^o}.\)

\(\Delta AMC\) đều nên \(\widehat {AMC} = {60^o};\,AM = CM.\)

\(\Delta BMD\) đều nên \(\widehat {BMD} = {60^o};\,MD = MB.\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {AMC} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\) (1)

\(\widehat {CMB} = \widehat {BMD} + \widehat {CMD} = {60^o} + \widehat {CMD}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\)

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta CMB\) có:

\(AM = CM\,\,(cmt)\)

\(\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\,\,(cmt)\)

\(MD = MB\,\,(cmt)\)

\( \Rightarrow \Delta AMD = \Delta CMB\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AD = CB\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {DAM} = \widehat {BCM}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CFM\) có:

\(AM = CM\,(cmt)\)

\(\widehat {DAM} = \widehat {BCM}\,(cmt)\)

\(AE = CF\,\,\left( {\dfrac{{AD}}{2} = \dfrac{{CB}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AEM = \Delta CFM\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow EM = FM\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \widehat {AME} = \widehat {CMF}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {CME} = \widehat {CME} + \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {EMF}\)

\( \Rightarrow \widehat {EMF} = {60^o}\)

Xét \(\Delta MEF\) có: \(EM = FM\,(cmt);\,\widehat {EMF} = {60^o}\,(cmt)\) nên \(\Delta MEF\) là tam giác đều.

Tam giác đều vừa là tam giác cân vừa là tam giác nhọn (vì có ba góc nhọn) nên cả A, B, C đều đúng.

+ Ta sử dụng tính chất tam giác cân, tính chất tia phân giác của một góc, tính chất hai góc kề bù để chứng minh các cặp góc so le trong bằng nhau để chứng minh ba điểm $M,A,N$ thẳng hàng.

+ Chứng minh cạnh bằng nhau ta sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai tam giác bằng nhau từ đó suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau.

+ Các tam giác $AMB$ và $ANC$ là các tam giác đều(gt) nên \(\widehat {MAB} = {60^0},\,\,\,\widehat {NAC} = {60^0}\).

Ta có: \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = {60^0} + {60^0} + {60^0} = {180^0}.\)

Suy ra ba điểm $M,A,N$ thẳng hàng.

+ Ta có:

 $\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\\\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}$

Do đó \(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\) .

Xét hai tam giác $ABN$ và $AMC$ có:

+) $AB = AM$ (do tam giác $AMB$ đều)

+) \(\widehat {BAN} = \widehat {MAC}\) (cmt)

+) $AN = AC$ (do tam giác $ANC$ đều)

Do đó \(\Delta ABN = \Delta AMC(c.g.c)\)

Suy ra $BN = CM$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy cả A, B đều đúng.

Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác và dựa vào tính chất tam giác cân.

Lấy \(E \in AD\) sao cho \(AE = AB\) mà \(AD = AB + AC\) nên \(AC = DE.\)

\(\Delta ABE\) cân có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABE\) là tam giác đều suy ra \(AE = EB.\)

Thấy \(\widehat {BED} = \widehat {EBA} + \widehat {EAB} = 120^\circ \) (góc ngoài tại đỉnh \(E\) của tam giác \(ABE\) ) nên \(\widehat {BED} = \widehat {BAC}\left( { = 120^\circ } \right)\)

Suy ra \(\Delta EBD = \Delta {\rm A}BC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (hai góc tương ứng bằng nhau) và \(BD = BC\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ $ nên \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ .\)

\(\Delta BCD\) cân tại \(B\) có \(\widehat {CBD} = 60^\circ \) nên nó là tam giác đều.

Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác và dựa vào tính chất tam giác cân.

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc trong tam giác) và \(\widehat A = 40^\circ ;\,\widehat B - \widehat C = 20^\circ \,\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 140^\circ \) nên \(\widehat B = \dfrac{{140^\circ + 20^\circ }}{2} = 80^\circ ;\,\widehat C = 60^\circ \)

Xét tam giác \(AEB\) cân tại \(A\) (do \(AB = AE\,\left( {gt} \right)\)) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ABE}\) (tính chất) (1)

Lại có \(\widehat {BAC}\) là góc ngoài của tam giác \(AEB \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ \)

Do đó \(\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 80^\circ + 20^\circ = 100^\circ .\)

Dựa vào tính chất tổng các góc của tam giác và dựa vào tính chất tam giác cân.

Từ giả thiết suy ra \(AM = BM = CM\)

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc trong tam giác) (1)

Lại có \(\Delta AMB\) cân tại \(M\,\left( {{\rm{do}}\,\,MA = MB} \right)\) nên \(\widehat B = \widehat {BAM}\) (tính chất) (2)

Tương tự \(\Delta AMC\) cân tại \(M\,\left( {{\mathop{\rm do}\nolimits} \,\,MA = MC} \right)\) nên \(\widehat C = \widehat {MAC}\) (tính chất) (3)

Từ (1); (2); (3) ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {BAM} + \widehat {CAM} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) \(2.\widehat {BAC} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ;\,AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân.

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân nên cả A, B, C đều đúng.

Sử dụng tính chất tam giác cân, tính chất tổng các góc của một tam giác, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Ta thấy tam giác $ADE$ cân do $AD = AE.$

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Do đó \(\widehat B = \widehat {ADE}\) . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ED//BC.$

Vậy D là đáp án sai.

• A.

  cân

• B.

  vuông cân

• C.

   đều

• D.

  vuông

• A.

  \(45^\circ \)

• B.

  \(30^\circ \)

• C.

  \(90^\circ \)

• D.

  \(60^\circ \)

Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác, tính chất góc ngoài và sử dụng tính chất của tam giác cân.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (vì \(AB = AC\) ) có \(\widehat A = 40^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \)

Mà \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài của tam giác \(ACD\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA}\)

Lại có \(\Delta CAD\) cân tại \(C \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CDA} = x\) (tính chất)

Nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA} = 2x \Rightarrow x = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\)\( = \dfrac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ .\)

Vậy \(x = 35^\circ .\)

Từ hình vẽ ta có \(AB = AE;BC = DE\)

Vì \(AB = AE \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(A.\)

Suy ra \(\widehat B = \widehat E\) (hai góc ở đáy)

Xét tam giác \(ABC\) và \(AED\) có: \(AB = AE;\widehat B = \widehat E\left( {cmt} \right);BC = DE\) nên \(\Delta ABC = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

Do đó \(AC = AD\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(\Delta ACD\) cân tại \(A.\)

Vậy có hai tam giác cân trên hình vẽ.

Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác và sử dụng tính chất của tam giác cân.

Tổng số đo hai góc ở đáy là \(70^o.2 = 140^\circ \)

Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ \) nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là

\(180^\circ - 140^\circ = 40^\circ .\)

Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác và sử dụng tính chất của tam giác cân.

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Góc ở đỉnh \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\) và góc ở đáy \(\widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}.\)

Áp dụng ta có số đo góc ở đáy bằng: $\dfrac{{{{180}^0} - {{64}^0}}}{2} = {58^0}$

+ Áp dụng tính chất của tam giác cân và tính chất tổng các góc của một tam giác

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \widehat C\)

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\) hay \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\)

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng \({45^0}.\)

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \({60^0}.\)

Nên A, B đúng.

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều vì nó chỉ có hai cạnh bên bằng nhau.

Vậy C sai.