Trắc nghiệm Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau Toán 7 Cánh diều

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Ta có \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y - z}}{{a + b - c}} \ne \dfrac{{x + y - z}}{{a - b + c}}\) nên D sai.

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x + y}}{{3 + 5}} = \dfrac{{ - 32}}{8} = - 4\)

Do đó \(\dfrac{x}{3} = - 4 \Rightarrow x = - 12\) và \(\dfrac{y}{5} = - 4 \Rightarrow y = - 20.\)

Vậy \(x = - 12;y = - 20.\)

Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Ta có \(7x = 4y \) nên \( \dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{y}{7} = \dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - x}}{{7 - 4}} = \dfrac{{24}}{3} = 8\)

Do đó \(x = 8.4 = 32\) và \(y = 8.7 = 56\)

Vậy \(x = 32;y = 56.\)

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 5}} = \dfrac{{ - 90}}{{10}} = - 9\)

Do đó \(\dfrac{x}{2} = - 9 \) nên \(x = - 18\)

\(\dfrac{y}{3} = - 9 \) nên \( y = - 27\)

\(\dfrac{z}{5} = - 9 \) nên \( z = - 45\)

Vậy số lớn nhất trong ba số trên là x = -18

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Tìm hai số \(x;\,y\) biết \(x.y = P\) và \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\) 

Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)

Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}\)

Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k\)ta có \(x = 2k;\,y = 5k\)

Nên \(x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1\) \( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k = - 1\).

Với \(k = 1\) thì \(x = 2;y = 5\)

Với \(k = - 1\) thì \(x = - 2;y = - 5\)

Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 2;y = 5\) từ đó \(x - y = 2 - 5 = - 3.\)

+ Ta có \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}}\)

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{25 - 16}} = \dfrac{9}{9} = 1\)

Do đó: \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow \) \(x = 5\) hoặc \(x = - 5\)

\(\dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 16 \Rightarrow \) \(y = 4\) hoặc \(y = - 4\)

Lại có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}\) nên \(x,y\) cùng dấu.

Nên có hai cặp số thỏa mãn là \(x = 5;y = 4\) hoặc \(x = - 5;y = - 4.\)

Lập luận để đưa bài toán về dạng có thể sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Sau đó dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)

Gọi lượng nước các vòi thứ nhất, thứ hai, thứ ba đã chảy vào hồ theo thứ tự là \(x,y,z(x,y,z > 0\); đơn vị:\({m^3}\)), thì thời gian mà các vòi đã chảy tương ứng là \(3x,5y,8z\) (phút)

Theo bài ra ta có:

\(x + y + z = 15,8\) và \(3x = 5y = 8z\) .

Vì \(3x = 5y = 8z\) nên \(\dfrac{{3x}}{{120}} = \dfrac{{5y}}{{120}} = \dfrac{{8z}}{{120}}\)

suy ra \(\dfrac{x}{{40}} = \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{z}{{15}}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{40}} = \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{z}{{15}} = \dfrac{{x + y + z}}{{40 + 24 + 15}} = \dfrac{{15,8}}{{79}} = 0,2\)

Do đó \(\dfrac{x}{{40}} = 0,2\) nên \( x = 40.0,2 = 8\left( {{m^3}} \right)\)

\(\dfrac{y}{{24}} = 0,2 \) nên \( y = 24.0,2 = 4,8\left( {{m^3}} \right)\)

\(\dfrac{z}{{15}} = 0,2 \) nên \( z = 15.0,2 = 3\left( {{m^3}} \right)\)

Vậy lượng nước các vòi thứ nhất, thứ hai, thứ ba đã chảy vào hồ theo thứ tự lần lượt là \(8{m^3};4,8{m^3};3{m^3}\)nên vòi chảy nhanh nhất là vòi 1 chảy được 8 m³

Ta có \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}}\)

Ta có \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y - z}}{{a + b - c}} \ne \dfrac{{x + y - z}}{{a - b + c}}\) nên D sai.

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x + y}}{{3 + 5}} = \dfrac{{ - 32}}{8} = - 4\)

Do đó \(\dfrac{x}{3} = - 4 \Rightarrow x = - 12\) và \(\dfrac{y}{5} = - 4 \Rightarrow y = - 20.\)

Vậy \(x = - 12;y = - 20.\)

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{9}{{11}} \) suy ra \( \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{11}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{11}} = \dfrac{{x + y}}{{9 + 11}} = \dfrac{{60}}{{20}} = 3\)

Do đó \(x = 3.9 = 27\) và \(y = 3.11= 33\)

Vậy \(x = 27;y = 33.\)

Sử dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ta có \(7x = 4y \Rightarrow \dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{y}{7} = \dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - x}}{{7 - 4}} = \dfrac{{24}}{3} = 8\)

Do đó $\dfrac{x}{4} = 8 \Rightarrow x = 32$ và $\dfrac{y}{7} = 8 \Rightarrow y = 56$

Vậy \(x = 32;y = 56.\)

Giả sử chia số \(P\) thành ba phần \(x,\,y,\,z,t\) tỉ lệ với các số \(a,b,c,d\), ta làm như sau:

\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{t}{d} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{a + b + c + d}} = \dfrac{P}{{a + b + c + d}}\)

Từ đó \(x = \dfrac{P}{{a + b + c + d}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c + d}}.b\); \(z = \dfrac{P}{{a + b + c + d}}.c\); \(t = \dfrac{P}{{a + b + c + d}}.d\)

Giả sử chia số \(48\) thành ba phần \(x,\,y,\,z,t\) tỉ lệ với các số \(3;5;7;9\)

Ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9}\) và \(x + y + z + t = 48\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{3 + 5 + 7 + 9}} = \dfrac{{48}}{{24}} = 2\)

Do đó \(\dfrac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 6\) ; \(\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 10;\)\(\dfrac{z}{7} = 2 \Rightarrow z = 14\); \(\dfrac{t}{9} = 2 \Rightarrow t = 18.\)

Vậy các số cần tìm là \(6;10;14;18.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 5}} = \dfrac{{ - 90}}{{10}} = - 9\)

Do đó \(\dfrac{x}{2} = - 9 \Rightarrow x = - 18\)

\(\dfrac{y}{3} = - 9 \Rightarrow y = - 27\)

\(\dfrac{z}{5} = - 9 \Rightarrow z = - 45\)

Vậy số lớn nhất trong ba số trên là \(x = - 18.\)

+ Ta có \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}}\)

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Ta có \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{25 - 16}} = \dfrac{9}{9} = 1\)

Do đó \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow \)\(x = 5\) hoặc \(x = - 5\)

\(\dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 16 \Rightarrow \)\(y = 4\) hoặc \(y = - 4\)

Lại có \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}\) nên \(x,y\) cùng dấu.

Nên có hai cặp số thỏa mãn là $x = 5;y = 4$ hoặc \(x = - 5;y = - 4.\)

Sử dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{3}\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{5x - 2y}}{{5.7 - 2.3}} = \dfrac{{87}}{{29}} = 3\)

Do đó \(\dfrac{x}{7} = 3 \Rightarrow x = 21\) và \(\dfrac{y}{3} = 3 \Rightarrow y = 9\)

Vậy \(x = 21;y = 9.\)

Tìm hai số \(x;\,y\) biết $x.y = P$ và \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\) 

Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)

Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}\)

Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k\) ta có \(x = 2k;\,y = 5k\)

Nên \(x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1\) \( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k = - 1\).

Với \(k = 1\) thì \(x = 2;y = 5\)

Với \(k = - 1\) thì \(x = - 2;y = - 5\)

Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 2;y = 5\) từ đó \(x - y = 2 - 5 = - 3.\)

+ Sử dụng tính chất tỉ lệ thức để biến đổi đưa về \(\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\)

+ Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$ để giải bài toán.

Ta có \(2a = 3b \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)\) (nhân cả hai vế với \(\dfrac{1}{7}\))

Và \(5b = 7c \Rightarrow \dfrac{b}{7} = \dfrac{c}{5}\) \( \Rightarrow \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)\) (nhân cả hai vế với \(\dfrac{1}{2}\))

Từ (1) và (2) ta có \(\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\)\( = \dfrac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \dfrac{{30}}{{15}} = 2\)

Do đó \(\dfrac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42\); $\dfrac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28$ và \(\dfrac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20\)

Khi đó \(a + b - c = 42 + 28 - 20 = 50.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$ để giải bài toán.

Nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất, thứ hai và thứ ba của $(1)$ lần lượt với \( - 3; - 4;5\) ta được

\(\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)\( = \dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) + 5\left( {z - 5} \right)}}{{ - 6 - 16 + 5.6}}\) \( = \dfrac{{ - 3x + 3 - 4y - 12 + 5z - 25}}{8} = \dfrac{{\left( {5z - 3x - 4y} \right) - 34}}{8}\)

\( = \dfrac{{50 - 34}}{8} = \dfrac{{16}}{8} = 2\)

Do đó \(\dfrac{{x - 1}}{2} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

\(\dfrac{{y + 3}}{4} = 2 \Rightarrow y + 3 = 8 \Rightarrow y = 5\)

\(\dfrac{{z - 5}}{6} = 2 \Rightarrow z - 5 = 12 \Rightarrow z = 17\)

Vậy \(x = 5;y = 5;z = 17.\)

+ Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là \(x;y\left( {0 < x < y} \right)\)

+ Suy ra tỉ lệ thức \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}\)

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán.

Nửa chu vi hình chữ nhật là \(40:2 = 20\,m\)

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là \(x;y\left( {0 < x < y} \right)\)

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3}\) và \(x + y = 20\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{x + y}}{{2 + 3}} = \dfrac{{20}}{5} = 4\)

Do đó \(x = 4.2 = 8\) và \(y = 3.4 = 12\)

Diện tích hình chữ nhật là \(8.12 = 96\,\left( {{m^2}} \right)\)

Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \,\left( {0 < a \le 9;0 \le b,c \le 9;\,a;b;c \in \mathbb{N}} \right)\)

 Suy ra tỉ lệ thức theo đề bài và biến đổi tỉ lệ thức để giải bài toán

Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \) \(\left( {0 < a \le 9;0 \le b,c \le 9;\,c \ne 0;a;b;c \in \mathbb{N}} \right)\)

Vì các chữ số của nó theo thứ tự từ hàng trăm đến hàng đơn vị tỉ lệ với ba số $1; 2;$\(3\) nên ta có

\(\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3}\)

Đặt \(\dfrac{a}{1} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = k\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \) \(\Rightarrow a = k;b = 2k;c = 3k\)

Vì số đã cho là chẵn nên \(c \in \left\{ {2;4;6;8} \right\},\) mà \(c = 3k\) nên \(c = 6\)

Với \(c = 6 \Rightarrow k = 2\) khi đó \(a = 2;b = 4\)

Số cần tìm là \(246\)

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Sử dụng dữ kiện đề bài để suy ra tỉ lệ thức và sử dụng tính hất dãy tỉ số bằng nhau.

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3}\) và \(x + y + z = 120\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \dfrac{{120}}{{12}} = 10\)

Do đó \(x = 4.10 = 40\,m\); \(y = 5.10 = 50m\); \(z = 3.10 = 30\,m\).

Cạnh nhỏ nhất của tam giác dài \(30\,m.\)

+ Gọi số học sinh lớp $7A, 7B, 7C$ lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

+ Sử dụng dữ kiện đề bài suy ra mối quan hệ của \(x;y;z\) từ đó lập được tỉ lệ thức

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán

Gọi số học sinh lớp $7A, 7B, 7C $ lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo bài ra ta có \(x + y + z = 153\); \(y = \dfrac{8}{9}x;\,z = \dfrac{{17}}{{16}}y\)

Suy ra \(9y = 8x \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}}\) ; \(16z = 17y \Rightarrow \dfrac{z}{{17}} = \dfrac{y}{{16}}\)

Nên \(\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}\)\( = \dfrac{{x + y + z}}{{18 + 16 + 17}} = \dfrac{{153}}{{51}} = 3\)

Do đó:

\(x = 18.3 = 54\); \(y = 16.3 = 48\); \(z = 17.3 = 51\)

Số học sinh lớp \(7A\) là \(54\) học sinh.

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Ta có \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)

Mặt khác \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{5a}}{{5c}} = \dfrac{{3b}}{{3d}} = \dfrac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \dfrac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}}\)

Từ \(\dfrac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \dfrac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}} \Rightarrow \dfrac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \dfrac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{y}{{x - z}} = \dfrac{{x + y}}{z} = \dfrac{x}{y}\)\( = \dfrac{{y + x + y + x}}{{x - z + z + y}} = \dfrac{{2x + 2y}}{{x + y}} = \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = 2\)

Vậy \(\dfrac{x}{y} = 2.\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1\)

Suy ra \(a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018\)

Vậy \(b = c = 2018.\)

Từ bài ra lập tỉ lệ thức sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .

Ta có \({a_2}^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}},\)\({a_3}^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\)

Nên \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\) , từ đó \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}}\)

Mà \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\dfrac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\dfrac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\) nên \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\,\left( 1 \right)\)

Lại có, áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau thì \(\dfrac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \dfrac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \dfrac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}}\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \dfrac{{{a_1}}}{{{a_4}}}.\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\) ta suy ra \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}}\)

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}\)

Suy ra \(\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}.\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}} = {\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3}\)

Mà \(\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d} = \dfrac{{a.b.c}}{{b.c.d}} = \dfrac{a}{d}\)

Do đó \({\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{b + c + d}}} \right)^3} = \dfrac{a}{d}\).

+ Gọi số học sinh lớp 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\)

+ Sử dụng dữ kiện đề bài suy ra mối quan hệ của \(x;y;z\) từ đó lập được tỉ lệ thức

+ Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán

Gọi số học sinh lớp 7A1, 7A2, 7A3 lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\)

Theo bài ra ta có \(x + y + z = 180\); \(x = \dfrac{9}{10}y;\,y = \dfrac{{10}}{{11}}z\)

Suy ra \(10x = 9y \) nên \(\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{10}\);

\(11y = 10z\) nên \(\dfrac{y}{{10}} = \dfrac{z}{{11}}\)

Do đó \(\dfrac{x}{{9}} = \dfrac{y}{{10}} = \dfrac{z}{{11}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{x}{{9}} = \dfrac{y}{{10}} = \dfrac{z}{{11}}\)\( = \dfrac{{x + y + z}}{{9 + 10 + 11}} = \dfrac{{180}}{{30}} = 6\)

Do đó: \(x = 9.6 = 54\); \(y = 10.6 = 60\); \(z = 11.6=66\)

Số học sinh lớp \(7A1\) là \(54\) học sinh.

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Ta có \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)\( \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)

Mặt khác \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{7a}}{{7c}} = \dfrac{{3b}}{{3d}} = \dfrac{{7a + 3b}}{{7c + 3d}} = \dfrac{{7a - 3b}}{{7c - 3d}}\)

Từ \(\dfrac{{7a + 3b}}{{7c + 3d}} = \dfrac{{7a - 3b}}{{7c - 3d}} \Rightarrow \dfrac{{7a + 3b}}{{7a - 3b}} = \dfrac{{7c + 3d}}{{7c - 3d}}\)