Chào mừng các em học sinh đến với bài trắc nghiệm Toán 8 Bài 6: Cộng, trừ phân thức thuộc chương trình Chân trời sáng tạo. Bài trắc nghiệm này được thiết kế để giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức đã học về cộng, trừ phân thức.
Với hình thức trắc nghiệm, các em có thể tự đánh giá năng lực của mình một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
Chọn khẳng định đúng?
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
Chọn câu đúng?
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải và đáp án
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\frac{A}{B} + \frac{C}{B}\) là:
Đáp án : B
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
\(\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{{A + C}}{B}\)
Chọn khẳng định đúng?
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Quy đồng mẫu thức \(\frac{A}{B}\) và \(\frac{C}{D}\):
\(\frac{A}{B} = \frac{{AD}}{{BD}};\,\frac{C}{D} = \frac{{BC}}{{BD}}\)
Do đó \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{{AD}}{{BD}} - \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{{AD - BC}}{{BD}}\)
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là:
Đáp án : B
Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
Phân thức đối của phân thức \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) là \( - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2x}}{{x + 1}}\).
Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}}\,\left( {x \ne - 2} \right)\)
Đáp án : D
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
\(\frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{4}{{x + 2}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right):\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{1} = x - 2\)
Tìm phân thức \(A\) thỏa mãn \(\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\)
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - A = \frac{{x - 1}}{2}\\ \Rightarrow A = \frac{{x + 2}}{{3x + 5}} - \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{\left( {x + 2} \right)2}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{2x + 4}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} - \frac{{3{x^2} - 3x + 5x - 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} - 3x + 5x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2x + 4} \right) - \left( {3{x^2} + 2x - 5} \right)}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{2x + 4 - 3{x^2} - 2x + 5}}{{2\left( {3x + 5} \right)}} = \frac{{ - 3{x^2} + 9}}{{2\left( {3x + 5} \right)}}\end{array}\)
Phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Đáp án : C
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
A.
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} - 2x + 1 - {x^2} - 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 4x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
B.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} + 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} - 3x + 1 - 2{x^2} - 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{ - 6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
C.
\(\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
D.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + x + 2x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - x - 2x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{\left( {2{x^2} + 3x + 1} \right) - \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)}}{{{x^2} - 1}}\\ = \frac{{2{x^2} + 3x + 1 - 2{x^2} + 3x - 1}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{6x}}{{{x^2} - 1}} \ne \frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
Vậy phân thức \(\frac{{4x}}{{{x^2} - 1}}\) là kết quả của phép tính \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)
Phép tính \(\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}}\) có kết quả là:
Đáp án : D
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \frac{2}{{x + 3}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{2}{{x + 3}} + \frac{{ - 3}}{{x - 3}}\\ = \frac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{ - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{3x + 21 + 2\left( {x - 3} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{3x + 21 + 2x - 6 - 3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{2}{{x - 3}}\end{array}\)
Chọn câu đúng?
Đáp án : B
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
A.
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{x + y}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + xy + xy - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{x + y}}{{x - y}} \ne \frac{{x - y}}{{x + y}}\end{array}\)
B.
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{2x + 1}} - \frac{1}{{3x + 2}} = \frac{{3x + 2}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {3x + 2} \right) - \left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{3x + 2 - 2x - 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\end{array}\)
C.
\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 3}}{6} + \frac{{x + 1}}{9} = \frac{{3\left( {2x + 3} \right)}}{{18}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{18}} = \frac{{6x + 9}}{{18}} + \frac{{2x + 2}}{{18}}\\ = \frac{{6x + 9 + 2x + 2}}{{18}} = \frac{{8x + 11}}{{18}} \ne \frac{{3x + 4}}{{18}}\end{array}\)
D.
\(\begin{array}{l}\frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{3}{{x - 1}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x + 3 + 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{5x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \ne \frac{{3x + 5}}{{{x^2} - 1}}\end{array}\)
Rút gọn biểu thức sau: \(A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}}\)
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{7}{{x - 1}} = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{{x^3} - 1}} - \left( {\frac{{x - 5}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{7}{{x - 1}}} \right)\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \left[ {\frac{{{x^2} - 5x - x + 5}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}} \right]\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} - 5x - x + 5 + 7{x^2} + 7x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{8{x^2} + x + 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {2{x^2} + x - 3} \right) - \left( {8{x^2} + x + 12} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{x^2} + x - 3 - 8{x^2} - x - 12}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{ - 6{x^2} - 15}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\end{array}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}}\) với \(x = \frac{1}{4}\) là:
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{8{x^2} - 4x}} = \frac{5}{{2x}} + \frac{{2x - 3}}{{2x - 1}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{5.2\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4x\left( {2x - 3} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{8{x^2} - 12x}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} + \frac{{4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{20x - 10 + 8{x^2} - 12x + 4{x^2} + 3}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{12{x^2} + 8x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{12{x^2} - 6x + 14x - 7}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x\left( {2x - 1} \right) + 7\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {6x + 7} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{4x\left( {2x - 1} \right)}} = \frac{{6x + 7}}{{4x}}\end{array}\)
Với \(x = \frac{1}{4}\) ta có: \(A = \frac{{6 \cdot \frac{1}{4} + 7}}{{4 \cdot \frac{1}{4}}} = \frac{{\frac{3}{2} + 7}}{1} = \frac{3}{2} + 7 = \frac{3}{2} + \frac{{14}}{2} = \frac{{17}}{2}\)
Với \(x = 2023\) hãy tính giá trị của biểu thức: \(B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}}\)
Đáp án : B
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{x - 23}} - \frac{1}{{x - 3}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{x - 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 23} \right)}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{x - 3 - x + 23}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{\left( {x - 23} \right)\left( {x - 3} \right)}}\end{array}\)
Với \(x = 2023\), ta có: \(B = \frac{{20}}{{\left( {2023 - 23} \right)\left( {2023 - 3} \right)}} = \frac{{20}}{{2000.2020}} = \frac{{20}}{{20.100.2020}} = \frac{1}{{100.2020}} = \frac{1}{{202000}}\)
Tìm \(x\), biết \(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0\,\left( {x \ne \pm 3} \right)\)
Đáp án : D
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = \frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{3}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{2\left( {x - 3} \right) + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 6 + 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)
\(\frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{{x^2} - 9}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)
Tính tổng sau: \(A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức \(\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\\ = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}} \right)\\ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\\ = 1 - \frac{1}{{100}} = \frac{{99}}{{100}}\end{array}\)
Cho \(x;\,y;\,z\, \ne \pm 1\) và \(xy + yz + x{\rm{z}} = 1\). Chọn câu đúng?
Đáp án : C
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{1 - {x^2}}} + \frac{y}{{1 - {y^2}}} + \frac{z}{{1 - {z^2}}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - {y^2} - {z^2} + {y^2}{z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x - x{y^2} - x{z^2} + x{y^2}{z^2} + y - {x^2}y - y{z^2} + {x^2}y{z^2} + z - {x^2}z - {y^2}z + {x^2}{y^2}z}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - {x^2}y - {x^2}z} \right) + \left( {y - x{y^2} - {y^2}z} \right) + \left( {z - x{{\rm{z}}^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + {x^2}y{z^2} + {x^2}{y^2}z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {1 - xy - x{\rm{z}}} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - x{\rm{z}} - yz} \right) + xyz\left( {yz + x{\rm{z}} + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{x.yz + y.x{\rm{z}} + z.xy + xyz.1}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\\ = \frac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\end{array}\)
Tìm các số \(A;\,B;\,C\) để \(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Đáp án : B
Tính tổng \(\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\) sau đó đồng nhất hệ số.
\(\begin{array}{l}\frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{A + B\left( {x + 3} \right) + C\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{{A + Bx + 3B + C{x^2} + 6Cx + 9C}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\\ = \frac{{C{x^2} + \left( {B + 6C} \right)x + \left( {A + 3B + 9C} \right)}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}}\end{array}\)
\(\frac{{2{x^2} - 3x + 12}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} = \frac{A}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}} + \frac{B}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \frac{C}{{x + 3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 2\\B + 6C = - 3\\A + 3B + 9C = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 39\\B = - 15\\C = 2\end{array} \right.\)
Cho \(3y - x = 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\).
Đáp án : D
Từ điều kiện \(3y - x = 6\) thay \(x = 3y - 6\) vào biểu thức \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\).
Ta có: \(3y - x = 6\) suy ra \(x = 3y - 6\)
Thay \(x = 3y - 6\) vào \(A = \frac{x}{{y - 2}} + \frac{{2x - 3y}}{{x - 6}}\) ta được:
\(A = \frac{{3y - 6}}{{y - 2}} + \frac{{2\left( {3y - 6} \right) - 3y}}{{3y - 6 - 6}} \\= \frac{{3\left( {y - 2} \right)}}{{y - 2}} + \frac{{6y - 12 - 3y}}{{3y - 12}} \\= 3 + \frac{{3y - 12}}{{3y - 12}} = 3 + 1 = 4\)
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) tại \(x = - \frac{3}{4}\)?
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12\left( {x + 2} \right) + \left( {3 - x} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \left[ {\frac{{12x + 24 + 3 - x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right]\\ = \frac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{11x + 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{10\left( {x + 3} \right) - \left( {11x + 27} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10x + 30 - 11x - 27}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{ - x + 3}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)
Tại \(x = - \frac{3}{4}\) ta có \(A = \frac{1}{{\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 2} \right)\left( {\frac{{ - 3}}{4} + 3} \right)}} = \frac{1}{{\frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4}}} = \frac{1}{{\frac{{45}}{{16}}}} = \frac{{16}}{{45}}\)
Vậy \(0 < A < 1\).
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\) ta được:
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\)
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) có giá trị là một số nguyên.
Đáp án : D
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) sau đó tìm giá trị nguyên của \(x\) mẫu thức là ước của tử thức.
\(\begin{array}{l}A = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + {x^2} - x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\end{array}\)
Để \(A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 1} \right) \in U\left( 1 \right) = \left\{ { \pm 1} \right\}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\x - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\,\left( {{\rm{t/m}}\,x \ne 1} \right)\)
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên?
Đáp án : C
Thay phép trừ bằng phép cộng với phân thức đối.
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne \pm 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^2}\left( {x - 3} \right) - 4\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{4x - 12}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {{x^2} - 4} \right) + {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {4x - 12} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{3{x^2} - 12 + {x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\\ = \frac{{{x^3} - 4x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{x}{{x - 3}} = 1 + \frac{3}{{x - 3}}\end{array}\)
Để \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \frac{3}{{x - 3}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {x - 3} \right) \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = - 3\\x - 3 = - 1\\x - 3 = 1\\x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 2\,\left( {{\rm{ko}}\,\,{\rm{t/m}}} \right)\\x = 4\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\\x = 6\,\left( {{\rm{t/m}}} \right)\end{array} \right.\)
Vậy có 3 giá trị của \(x\) để biểu thức \(A = \frac{3}{{x - 3}} - \frac{{{x^2}}}{{4 - {x^2}}} - \frac{{4x - 12}}{{{x^3} - 3{x^2} - 4x + 12}}\) có giá trị là một số nguyên.
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x}\) biết \(x > \frac{1}{2};\,x \ne 1\):
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}A = \frac{3}{{2{x^2} + 2x}} + \frac{{\left| {2x - 1} \right|}}{{{x^2} - 1}} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{2}{x}\\ = \frac{{3\left( {x - 1} \right) + 2x\left( {2x - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3x - 3 + 4{x^2} - 2x - 4{x^2} + 4}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{2x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{2x\left( {x - 1} \right)}}\end{array}\)
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}}\)
Đáp án : A
Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \left( {\frac{{{x^3}}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right) - \left( {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)\\ = \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\\ = \left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = {x^2} + x + 1 - x + 1 = {x^2} + 2\end{array}\)
Ta có \({x^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {x^2} + 2 \ge 2\forall x\) hay \(A \ge 2\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy \(MinA = 0\) khi \(x = 0\).
Cho \(\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\). Số thích hợp điền vào chỗ trống là?
Đáp án : A
Muốn cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{1 + x}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{2}{{1 - {x^2}}} + \frac{2}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{4}{{1 - {x^4}}} + \frac{4}{{1 + {x^4}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}}\\ = \frac{8}{{1 - {x^8}}} + \frac{8}{{1 + {x^8}}} = \frac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \frac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\end{array}\)
Cho \(a,\,b,\,c\)thỏa mãn \(abc = 2023\). Tính giá trị biểu thức sau: \(A = \frac{{2023{\rm{a}}}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\).
Đáp án : C
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) sau đó rút gọn biểu thức \(A\).
Thay \(2023 = abc\) vào biểu thức \(A\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{{2023a}}{{ab + 2023a + 2023}} + \frac{b}{{bc + b + 2023}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab + {a^2}bc + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{{a^2}bc}}{{ab\left( {1 + ac + c} \right)}} + \frac{b}{{b\left( {c + 1 + ac} \right)}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{ac}}{{1 + ac + c}} + \frac{1}{{c + 1 + ac}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}} = 1\end{array}\)
Cho \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) và \(x + y + z \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}\).
Đáp án : B
Từ điều kiện \(\frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}} = 0\) dễ dàng có được \(x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\).
\(\begin{array}{l}x + y + z = x + y + z + 0 = x + y + z + \frac{{{x^2}}}{{y + z}} + \frac{{{y^2}}}{{x + z}} + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}\\ = \left( {x + \frac{{{x^2}}}{{y + z}}} \right) + \left( {y + \frac{{{y^2}}}{{x + z}}} \right) + \left( {z + \frac{{{z^2}}}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {1 + \frac{x}{{y + z}}} \right) + y\left( {1 + \frac{y}{{x + z}}} \right) + z\left( {1 + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ = x\left( {\frac{{x + y + z}}{{y + z}}} \right) + y\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + z}}} \right) + z\left( {\frac{{x + y + z}}{{x + y}}} \right)\\ = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow x + y + z = \left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}}} \right) = 1\end{array}\)
Cho ba số thực \(a,\,b,\,c\) đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : C
Sử dụng công thức \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} = - 1\).
\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{a}{{b - c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{c - a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{{a - b}}} \right)^2}\\ = {\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\end{array}\)
(Vì \({\left( {\frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{c - a}} + \frac{c}{{a - b}}} \right)^2} \ge 0\forall a,\,b,\,c\) đôi một khác nhau)
Mà \(\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) + bc\left( {b - c} \right) + ac\left( {c - b + b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {ab - ac} \right)\left( {a - b} \right) + \left( {bc - ac} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{a\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}}\\ = \frac{{\left( {a - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = - 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\\ \ge - 2\left[ {\frac{{ab}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}} \right]\\ = \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right) = 2\end{array}\)
Bài 6 trong chương trình Toán 8 Chân trời sáng tạo tập trung vào các phép toán cộng, trừ phân thức. Đây là một phần kiến thức quan trọng, nền tảng cho các bài học tiếp theo về phân thức đại số. Việc nắm vững các quy tắc và kỹ năng thực hiện các phép toán này là điều cần thiết để giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Trước khi đi vào phần trắc nghiệm, chúng ta cùng ôn lại một số khái niệm cơ bản về phân thức:
Để cộng hoặc trừ hai phân thức, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Các bài tập trắc nghiệm về cộng, trừ phân thức thường tập trung vào các dạng sau:
Ví dụ 1: Tính 1/2x + 3/4x
Giải:
MSC: 4x
1/2x = 2/4x
1/2x + 3/4x = 2/4x + 3/4x = 5/4x
Ví dụ 2: Tính x/x+1 - 1/x
Giải:
MSC: x(x+1)
x/x+1 = x2/x(x+1)
1/x = x+1/x(x+1)
x/x+1 - 1/x = x2/x(x+1) - (x+1)/x(x+1) = (x2 - x - 1)/x(x+1)
Trắc nghiệm Bài 6: Cộng, trừ phân thức Toán 8 Chân trời sáng tạo là một công cụ hữu ích để giúp các em học sinh ôn tập và củng cố kiến thức. Hy vọng rằng với những kiến thức và kỹ năng đã được trang bị, các em sẽ tự tin làm bài và đạt kết quả tốt nhất.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
