giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Hàm số mũ và hàm số lôgarit.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 47. Khoảng \(200\) năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut và Cla-pay-rông đã thấy rằng áp lực \(P\) của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt \(mmHg\)) gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín được tính theo công thức \(P = a \times {10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\), trong đó \(t\) là nhiệt độ \(C\) của nước, \(a\) và \(b\) là hằng số. Cho biết \(k \approx – 2258,624.\)

a) Tính \(a\) biết khi nhiệt độ của nước là \({100^0}C\) thì áp lực của hơi nước là \(760mmHg\) (tính chính xác đến hàng phần chục).

b) Tính áp lực của hơi nước khi nhiệt độ của nước là \({40^0}C\) (tính chính xác đến hàng phần chục).

Lời giải:

a) Ta có: \(P = 760mmHg\), \(t = {100^0}C\), \(k \approx – 2258,624.\)

\( \Rightarrow 760 = a{.10^{\frac{{ – 2258,624}}{{100 + 273}}}}\) \( \Leftrightarrow 760 = a{.10^{ – \frac{{2258,624}}{{373}}}}\) \( \Rightarrow a = \frac{{760}}{{{{10}^{\frac{{ – 2258,624}}{{373}}}}}}\) \( = 863188840,3.\)

b) \(P = a{.10^{\frac{k}{{t + 273}}}}\) \( = 863188840,{3.10^{\frac{{ – 2258,624}}{{303}}}}\) \( \approx 52,5mmHg.\)

Bài 48. Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x}.\)

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2} – {e^{3x + 2}}}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^2}\left( {1 – {e^{3x}}} \right)}}{x}\) \( = – {e^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\left( {{e^{3x}} – 1} \right)}}{{3x}}\) \( = – 3{e^2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} – 1}}{{3x}}\) \( = – 3{e^2}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}} – {e^{5x}}}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}}}}{x} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{5x}}}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{e^{2x}}}}{{2x}} – \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{5{e^{5x}}}}{{5x}}.\)

\( = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{2x}}}}{{2x}} – 5\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{5x}}}}{{5x}}\) \( = 2 – 5 = – 3.\)

Bài 49. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = (x – 1){e^{2x}}.\)

b) \(y = {x^2}\sqrt {{e^{4x}} + 1} .\)

c) \(y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right).\)

d) \(y = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right).\)

Lời giải:

a) \(y’ = \left( {(x – 1){e^{2x}}} \right)’\) \( = {e^{2x}} + (x – 1)2.{e^{2x}}\) \( = {e^{2x}}(1 + 2x – 2)\) \( = {e^{2x}}(2x – 1).\)

b) \(y = {x^2}\sqrt {{e^{4x}} + 1} \) \( = 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}\frac{{\left( {{e^{4x}} + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\) \( = 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}\frac{{4{e^{4x}}}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}.\)

\( = \frac{{4x\left( {{e^{4x}} + 1} \right) + 4{x^2}{e^{4x}}}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\) \( = \frac{{\left( {x + {x^2}} \right){e^{4x}} + x}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}.\)

c) \(y’ = \left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)} \right]’\) \( = \frac{1}{2}\left[ {\left( {{e^x}} \right)’ – \left( {{e^{ – x}}} \right)’} \right]\) \( = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right).\)

d) \(y’ = \left[ {\frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ – x}}} \right)} \right]’\) \( = \frac{1}{2}\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right).\)

Bài 50. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên \(R.\)

a) \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}.\)

b) \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}.\)

Lời giải:

a) Ta có \(\frac{\pi }{3} /> 1\) \( \Rightarrow \) hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) đồng biến trên \(R.\)

b) Ta có \(\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} < 1\) \( \Rightarrow \) hàm số \(y = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(R.\)

Bài 51. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {(\sqrt 2 )^x}.\)

b) \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}.\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) có hệ số \(a = \sqrt 2 /> 1\) \( \Rightarrow \) hàm đồng biến trên \(R.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 1.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = \sqrt 2 .\)

b) Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}\) có cơ số \(a = \frac{2}{3} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(R.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 1.\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = \frac{2}{3}.\)

Bài 52. Sử dụng công thức \(L = 10\log \frac{I}{{{I_0}}}\), hãy tính gần đúng, chính xác đến hàng đơn vị, độ lớn \((dB)\) của âm thanh có tỉ số \(\frac{I}{{{I_0}}}\) cho trong bảng sau rồi điền vào cột ô trống:

Lời giải:

Ngưỡng nghe \(L = 0dB.\)

Nhạc dịu êm \(L = 36dB.\)

Nhạc mạnh phát ra từ loa: \(L = 88dB.\)

Tiếng máy bay phản lực: \(L = 124dB.\)

Ngưỡng đau tai: \(L = 130dB.\)

Bài 53. Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{x}.\)

Lời giải:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\ln (1 + 3x)}}{{3x}}\) \( = 3\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 3x)}}{{3x}} = 3.\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}}\) \( = 0.1 = 0.\)

Bài 54. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = (3x – 2){\ln ^2}x.\)

b) \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}.\)

c) \(y = x.\ln \frac{1}{{1 + x}}.\)

d) \(y = \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}.\)

Lời giải:

a) \(y’ = 3{\ln ^2}x + (3x – 2)2\ln x.\frac{1}{x}\) \( = 3{\ln ^2}x + \frac{{2(3x – 2)}}{x}\ln x.\)

b) \(y’ = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}} \right)’\) \( = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{2x}}{{{x^2}}}\) \( = \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2}}}.\)

c) \(y’ = 1.\ln \frac{1}{{1 + x}}\) \( + x\left[ { – \frac{1}{{{{(1 + x)}^2}}}} \right].\frac{1}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\) \( = \ln \frac{1}{{1 + x}} – \frac{x}{{1 + x}}.\)

d) \(y’ = \frac{{2x\ln \left( {{x^2} + 1} \right).x – \ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}\) \( = \left( {2{x^2} – 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right).\)

Bài 55. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?

a) \(y = {\log _{\frac{2}{c}}}x.\)

b) \(y = {\log _a}x\) với \(a = \frac{1}{{3(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}}.\)

Lời giải:

a) Nếu \(\frac{2}{c} /> 1\) \( \Rightarrow c < 2\) và \(c /> 0\) thì hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{c}}}x\) đồng biến trên \((0; + \infty ).\)

Nếu \(0 < \frac{2}{c} < 1\) \( \Leftrightarrow c /> 2\) thì hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{c}}}x\) nghịch biến trên \((0; + \infty ).\)

b) Vì \(a = \frac{1}{{3(\sqrt 3 – \sqrt 2 )}} /> 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \((0; + \infty ).\)

Bài 56. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x.\)

b) \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x.\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\) có: \(a = \sqrt 2 /> 1\) nên hàm số đồng biến trên \((0; + \infty ).\)

Nếu \(x = 1\) \( \Rightarrow y = 0.\)

Nếu \(x = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow y = 1.\)

b) Hàm số \(y = {\log _{\frac{2}{3}}}x\) có \(a = \frac{2}{3} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên \((0; + \infty ).\)

Nếu \(x = 1 \Rightarrow y = 0.\)

Nếu \(x = \frac{2}{3} \Rightarrow y = 1.\)