Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 29. Xác định đỉnh \(I\) của mỗi parabol \((P)\) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol \((P)\) đối với hệ tọa độ \(IXY.\)
a) \(y = 2{x^2} – 3x + 1.\)
b) \(y = \frac{1}{2}{x^2} – x – 3.\)
c) \(y = x – 4{x^2}.\)
d) \(y = 2{x^2} – 5.\)
a) Đỉnh \(I\) có tọa độ \(I\left( {\frac{3}{4}; – \frac{1}{8}} \right).\)
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + \frac{3}{4}}\\
{y = Y – \frac{1}{8}}
\end{array}} \right..\)
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:
\( – \frac{1}{8} = 2{\left( {X + \frac{3}{4}} \right)^2} – 3\left( {X + \frac{3}{4}} \right) + 1\) hay \(Y = 2{X^2}.\)
b) Đỉnh \(I\left( {1; – \frac{7}{2}} \right).\)
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 1}\\
{y = Y – \frac{7}{2}}
\end{array}} \right..\)
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(Y – \frac{7}{2}\) \( = \frac{1}{2}{(X + 1)^2} – (X + 1) – 3\) hay \(Y = \frac{1}{2}{X^2}.\)
c) Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}} \right).\)
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + \frac{1}{8}}\\
{y = Y + \frac{1}{{16}}}
\end{array}} \right..\)
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(Y + \frac{1}{{16}}\) \( = X + \frac{1}{8} – 4{\left( {X + \frac{1}{8}} \right)^2}\) hay \(Y = – 4{X^2}.\)
d) Đỉnh \(I(0; – 5).\)
Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X’}\\
{y = Y – 5}
\end{array}} \right..\)
Phương trình của Parabol đối với hệ tọa độ \(IXY\) là:
\(Y – 5 = 2{X^2} – 5\) hay \(Y = 2{X^2}.\)
Bài 30. Cho hàm số \(y = f(x)\) \( = {x^3} – 3{x^2} + 1.\)
a) Xác định điểm \(I\) thuộc đồ thị \((C)\) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm \(I\) là nghiệm của phương trình \(f”(x) = 0.\)
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường \((C)\) với hệ tọa độ \(IXY.\) Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C).\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \((C)\) tại điểm \(I\) đối với hệ tọa độ \(Oxy.\) Chứng minh rằng trên khoảng \(( – \infty ;1)\) đường cong \((C)\) nằm phía dưới tiếp tuyến tại \(I\) của \((C)\) và trên khoảng (1 ;+\infty) đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến đó.
a) \(f'(x) = 3{x^2} – 6x.\)
\(f”(x) = 6x – 6\), \(f”(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\) \( \Rightarrow f(1) = – 1.\)
Vậy \(I(1; – 1).\)
b) Công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} :\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 1}\\
{y = Y – 1}
\end{array}} \right..\)
Phương trình của \((C)\) đối với hệ trục \(IXY\) là:
\(Y – 1 = {(X + 1)^3} – 3{(X + 1)^2} + 1\) hay \(Y = {X^3} – 3X.\)
Vì hàm số \(Y = {X^3} – 3X\) là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
c) Tiếp tuyến với \((C)\) tại \(I(1;-1)\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\) là:
\(y = f'(1)(x – 1) + f(1)\) với \(f'(1) = – 3\), \(f(1) = – 1.\)
Nên phương trình tiếp tuyến: \(y = – 3(x – 1)( + ( – 1)\) hay \(y = – 3x + 2.\)
Xét hiệu \(\left( {{x^3} – 3{x^2} + 1} \right)\) \( – ( – 3x + 2)\) \( = {(x – 1)^3}.\)
+ Với \(x \in ( – \infty ;1)\) \( \Rightarrow {(x – 1)^3} < 0\) nên đường cong \((C):y = {x^3} – 3{x^2} + 1\) nằm phía dưới tiếp tuyến \(y = – 3{\rm{ }}x + 2.\)
+ Với \(x \in (1; + \infty )\) \( \Rightarrow {(x – 1)^3} /> 0\) nên đường cong \((C)\) nằm phía trên tiếp tuyến tại \(I.\)
Bài 31. Cho đường cong \((C):y = 2 – \frac{1}{{x + 2}}\) và điểm \(I( – 2;2).\) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY.\) Từ đó suy ra \(I\) là tâm đối xứng của \((C).\)
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} :\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X – 2}\\
{y = Y + 2}
\end{array}} \right..\)
Phương trình \((C)\) trong hệ tọa độ \(IXY:\)
\(Y + 2 = 2 – \frac{1}{{(X – 2) + 2}}\) hay \(Y = – \frac{1}{X}.\)
Vì \(Y = – \frac{1}{X}\) là hàm số lẻ nên \((C)\) nhận gốc tọa độ \(I\) là tâm đối xứng.
Bài 32. Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây:
a) \(y = \frac{2}{{x – 1}} + 1.\)
b) \(y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}.\)
a) \(y = \frac{2}{{x – 1}} + 1\) \( \Leftrightarrow y – 1 = \frac{2}{{x – 1}}\) \( \Leftrightarrow Y = \frac{2}{X}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{X = x – 1}\\
{Y = y – 1}
\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + 1}\\
{y = Y + 1}
\end{array}} \right.\) \((*).\)
Hệ \((*)\) là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I(1;1)\) (đối với hệ trục \(Oxy\)).
Đối với hệ trục \(IXY\), hàm số \(Y = \frac{2}{X}\) hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2}{{x – 1}} + 1\) là \(I(1;1).\)
b) \(y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}\) \( \Leftrightarrow y = 3 – \frac{5}{{x – 1}}\) \( \Leftrightarrow y – 3 = \frac{{ – 5}}{{x + 1}}\) \( \Leftrightarrow Y = \frac{{ – 5}}{X}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{X = x + 1}\\
{Y = y – 3}
\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X – 1}\\
{y = Y + 3}
\end{array}} \right..\) Đây là công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) với \(I( – 1;3).\)
Vì \(Y = \frac{{ – 5}}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x – 2}}{{x + 1}}\) là \(I( – 1;3).\)
Bài 33. Cho đường cong \((C)\) có phương trình \(y = ax + b + \frac{c}{{x – {x_0}}}\), trong đó \(a \ne 0\), \(c \ne 0\) và \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thỏa mãn \({y_0} = a{x_0} + b.\) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY.\) Từ đó suy ra rằng \(I\) là tâm đối xứng của đường cong \((C).\)
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {OI} \) với \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + {x_0}}\\
{y = Y + {y_0}}
\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = X + {x_0}}\\
{y = Y + a{x_0} + b}
\end{array}} \right..\)
Phương trình của \((C)\) đối với hệ tọa độ \(IXY:\)
\(Y + a{x_0} + b\) \( = a\left( {X + {x_0}} \right) + b\) \( + \frac{c}{{X + {x_0} – {x_0}}}\) hay \(Y = aX + \frac{c}{X}.\)
Do hàm số \(Y = aX + \frac{c}{X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị \((C)\) của hàm số nhận gốc tọa độ \(I\) làm tâm đối xứng.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
