Đề thi giữa kì 1 Toán 8 - Đề số 7

Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.

Ta có: \({x^4}y + x - 2y{x^4} = {x^4}y - 2{x^4}y + x = - {x^4}y + x\)

Vậy đa thức \({x^4}y + x - 2y{x^4}\) là đa thức chưa thu gọn.

Đáp án B.

Thực hiện nhân hai đơn thức và xác định phần hệ số.

Ta có: \(\frac{1}{2}x{y^3} \cdot x\left( { - 8y} \right)x{z^2} = - 4{x^3}{y^4}{z^2}\).

Đa thức này có phần hệ số là \( - 4\).

Đáp án C.

Sử dụng quy tắc chuyển vế, thực hiện phép tính với đa thức.

Ta có: \(M + 5{x^2} - 2xy = 6{x^2} + 10xy - {y^2}\)

Suy ra \(M = 6{x^2} + 10xy - {y^2} - 5{x^2} + 2xy\)

Do đó \(M = {x^2} + 12xy - {y^2}\).

Đáp án A.

Sử dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\).

Ta có: \({\left( {a + 3b} \right)^3} = {a^2} + 9{a^2}b + 27a{b^2} + 27{b^3}\).

Đáp án C.

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\).

Ta có: \({\left( {x - 5} \right)^2} - {\left( {x + 5} \right)^2} = \left( {x - 5 + x + 5} \right)\left( {x - 5 - x - 5} \right) = 2x \cdot \left( { - 10} \right) = - 20x\).

Đáp án A.

Sử dụng kết hợp phương pháp đặt nhân tử chung và sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.

Ta có: \({x^3} - 2{x^2} + x = x\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\).

Đáp án A.

Tính chất của phân thức đại số: Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\left( {M \ne 0} \right)\)

Với \(B,M \ne 0\) ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}.\)

Đáp án A.

Đưa hai phân thức về cùng mẫu và thực hiện phép tính với hai phân thức.

Ta có:

\(\frac{{x - 1}}{{x - y}} + \frac{{1 - y}}{{y - x}} = \frac{{x - 1}}{{x - y}} - \frac{{1 - y}}{{x - y}} = \frac{{x - 1 - 1 + y}}{{x - y}} = \frac{{x + y - 2}}{{x - y}}\).

Đáp án C.

Xác định số mặt bên của hình chóp tứ giác. Mỗi mặt bên có một đường trung đoạn.

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt bên nên có 4 đường trung đoạn.

Đáp án D.

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác và tứ giác.

Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông.

Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có mặt bên là tam giác cân.

Hình chóp tam giác đều và hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau.

Đáp án C.

Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông để tính.

Chứng minh tam giác ABC có đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), theo định lí Pythagore ta có:

\(C{H^2} = A{C^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\).

Do đó \(CH = \sqrt {81} = 9\;\;{\rm{cm}}\)

Suy ra \(BH = CH = 9\;\;{\rm{cm}}\) hay \(H\) là trung điểm của \(BC\)

Tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).

Đáp án B.

Dựa vào kiến thức về tổng các góc của tứ giác.

Giả sử có một tứ giác có 4 góc nhọn có số đo nhỏ hơn \(90^\circ \), khi đó tổng số đo các góc của tứ giác nhỏ hơn \(4 \cdot 90^\circ = 360^\circ \), điều này mâu thuẫn với định lí tổng số đo các góc của tứ giác bằng \(360^\circ \). Như vậy, không tồn tại tứ giá có 4 góc nhọn.

Tương tự như vậy, cũng không tồn tại tứ giác có 4 góc tù.

Giả sử có một tứ giác có 1 góc vuông, 3 góc nhọn, khi đó tổng số đo các góc của tứ giác cũng nhỏ hơn \(90^\circ + 3 \cdot 90^\circ = 360^\circ \). Vậy không tồn tại tứ giác như vậy.

Ta chọn phương án C.

Đáp án C.

a) Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

b) Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

a) \(\left( {30{x^4}{y^3} - 25{x^2}{y^3} - 3{x^4}{y^4}} \right):5{x^2}{y^3}\)

\( = 30{x^4}{y^3}:5{x^2}{y^3} - 25{x^2}{y^3}:5{x^2}{y^3} - 3{x^4}{y^4}:5{x^2}{y^3}\)

\( = 6{x^2} - 5 - \frac{3}{5}{x^2}y.\)

b) \({x^3}{y^4}\left( {{x^2} - 2{y^3}} \right) - 2{x^3}{y^3}\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\)

\( = {x^3}{y^4} \cdot {x^2} - {x^3}{y^4} \cdot 2{y^3} - 2{x^3}{y^3} \cdot {x^4} + 2{x^3}{y^3} \cdot {y^4}\)

\( = {x^5}{y^4} - 2{x^3}{y^7} - 2{x^7}{y^3} + 2{x^3}{y^7}\)

\( = {x^5}{y^4} - 2{x^7}{y^3}.\)

Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phù hợp.

a) \(5{x^2}\left( {x - y} \right) - 15xy\left( {y - x} \right)\)

\( = 5{x^2}\left( {x - y} \right) + 15xy\left( {x - y} \right)\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {5{x^2} + 15xy} \right)\)

\( = 5x\left( {x - y} \right)\left( {x + 3y} \right).\)

b) \({\left( {x + y} \right)^2} - 6\left( {x + y} \right) + 9\)

\( = {\left( {x + y - 3} \right)^2}.\)

c) \({x^2} - 5x + 6\)

\( = {x^2} - 2x - 3x + 6\)

\( = \left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {3x - 6} \right)\)

\( = x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)\)

\( = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\).

a) Sử dụng quy tắc cộng các phân thức khác mẫu thức.

b) Thay \(x = 2\) vào biểu thức sau khi rút gọn ở ý a để tính.

c) Chứng minh với \(x > 0,\,x \ne 1\) thì tử thức và mẫu thức của \(P\) đều lớn hơn 0.

a) Với \(x \ne 1\) ta có:

\(P = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2x + 1}}{{1 - {x^3}}}\)

\( = \frac{1}{{x - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + x\left( {x - 1} \right) - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{{x^2} + x + 1 + {x^2} - x - 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2{x^2} - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\).

b) Với \(x = 2\) (thỏa mãn) thay vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = \frac{{2 \cdot 2}}{{{2^2} + 2 + 1}} = \frac{4}{7}.\)

c) Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:

⦁ \(2x > 0;\)

⦁ \({x^2} + x + 1 = {x^2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0.\)

Do đó \(P = \frac{{2x}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}} > 0\).

a) Dựa vào đặc điểm của hình chóp tứ giác đều để xác định.

b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp:

Cách 1: Sử dụng công thức \({S_{xq}} = \frac{1}{2}C.d\).

Cách 2: Sử dụng công thức \({S_{xq}} = 4.\)S_{mặt bên}.

Tính mặt đáy.

a) Trong hình vẽ bên dưới có 4 tam giác cân bằng nhau.

b) Cách 1: Sử dụng công thức \({S_{xq}} = \frac{1}{2}C.d\).

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d = \frac{1}{2}.\left( {5.4} \right).9,68 = 96,8\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích tất cả các mặt của hình chóp tứ giác đều là:

\(96,8 + {5^2} = 121,8\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Cách 2: Sử dụng công thức \({S_{xq}} = 4.\)S_{mặt bên}.

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là:

\({S_{xq}} = 4.\)S_{mặt bên} \( = 4.\frac{1}{2}.5.9,68 = 96,8\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Diện tích tất cả các mặt của hình chóp tứ giác đều là:

\(96,8 + {5^2} = 121,8\;\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

a) Sử dụng định lí tổng các góc của một tứ giác là \(360^\circ \).

Góc trong và góc ngoài của một đỉnh có tổng là \(180^\circ \).

b) Sử dụng định lí Pythagore đảo để kiểm tra xem tam giác tạo thành có phải tam giác vuông không.

a) Vì góc ngoài tại \(K\) có số đo là \(100^\circ \) nên \(\widehat {IKL} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \).

Góc ngoài tại \(L\) có số đo là \(60^\circ \) nên \(\widehat {KLR} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Ta có tổng các góc trong tứ giác là \(360^\circ \) nên \(\widehat {IKL} + \widehat {KLR} + \widehat {R\,} + \widehat {I\,} = 360^\circ \)

Suy ra \(80^\circ + 120^\circ + 90^\circ + x = 360^\circ \)

Do đó \(x = 70^\circ \).

b) Xét tam giác ABC có \(B{C^2} = {5^2} = 25\) và \(A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\)

Suy ra \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\).

Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A.

Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau.

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương để tính x, y, z.

Từ đó thay giá trị của x, y, z vào S để tính giá trị biểu thức.

Ta có: \(4{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0\)

\(4{x^2} - 4x\left( {y + z} \right) + \left( {{y^2} + 2yz + {z^2}} \right) + {z^2} - 6y - 10z + 34 = 0\)

\(\left[ {4{x^2} - 4x\left( {y + z} \right) + {{\left( {y + z} \right)}^2}} \right] + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) + \left( {{z^2} - 10z + 25} \right) = 0\)

\({\left( {2x - y - z} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

Với mọi \(x,y,z\) ta có: \({\left( {2x - y - z} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {z - 5} \right)^2} \ge 0\)

Do đó \(\left( * \right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - z} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {z - 5} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y - z = 0\\y - 3 = 0\\z - 5 = 0\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 5\end{array} \right.\)

Khi đó \(S = {\left( {4 - 4} \right)^{2023}} + {\left( {3 - 4} \right)^{2025}} + {\left( {5 - 4} \right)^{2027}} = 0 - 1 + 1 = 0.\)