Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 2

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng -3

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R

b) Đồ thị hàm số đã cho có cực tiểu

c) Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

b) \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \)

c) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} \)

d) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \)

a) \(\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {45^o}\)

b) \(\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{D_1}D} = 9{a^2}\)

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\overrightarrow {{C_1}{B_1}} \)

d) \(\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{C_1}C} = 0\)

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Quan sát bảng biến thiên thấy y’ < 0 trên khoảng (3;5) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (3;5).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Nhìn vào đồ thị thấy ngay tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2. Loại đáp án B, D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;-1). Thay x = 0 vào đáp án A, C để tính y, thấy ở đồ thị đáp án A y = -1.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 3.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Có tất cả 4 đường tiệm cận.

Tìm đường tiệm cận đứng thông qua giới hạn của hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}.\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \infty .\)

Vậy x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tìm giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị có tọa độ (3;2).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2\) suy ra đuờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = + \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = - \infty \) suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị có tọa độ (3;2).

Dựa vào lí thuyết phép cộng (trừ) các vecto trong không gian, các vecto bằng nhau, đối nhau, quy tắc hình bình hành.

Điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là: \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) (quy tắc hình bình hành).

Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D, ta có:

\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} .\)\(\)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên a > 0. Loại B, D.

Hàm số đạt cực trị tại \({x_1} = 0\) và \({x_2} > 0\).

Xét hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2\) có \(y' = 3{x^2} + 6x = 0\) suy ra x = -2 hoặc x = 0.

Suy ra \(y = {x^3} + 3{x^2} + 2\) đạt cực trị tại \({x_1} = 0\) và \({x_2} < 0\). Loại C.

Xét sự biến thiên và tìm các giá trị của y tại x khi y’ = 0, khi x với giá trị ở hai đầu mút.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

\(y' = \frac{{ - 5}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0,\forall x \in \left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)

\(y\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0,\) \(y\left( 1 \right) = - 3\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([ - \frac{1}{2};1]\) bằng 0.

Quan sát bảng biến thiên, tìm đạo hàm, xét các điểm cực trị và các giá trị của hàm số tại điểm đó, thay số vào f(x), f’(x) để tìm các hệ số của phương trình.

Ta có: \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\). Đồ thị đạt cực trị tại các điểm (0;1) và (-2;-3) nên f’(0) = 0, f’(-2) = 0.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2;-3) và (0;1) nên f(-2) = -3, f(0) = 1.

Ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(0) = 0}\\{f(0) = 1}\\{f'( - 2) = 0}\\{f( - 2) = - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{d = 1}\\{12a - 4b = 0}\\{ - 8a + 4b + 1 = - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{d = 1}\\{a = - 1}\\{b = - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1\).

Dựa vào lý thuyết công thức tính tích vô hướng.

Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto là: \(\overrightarrow {a.} \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {a,} \overrightarrow b } \right).\)

Sử dụng lí thuyết hai vecto cùng phương. \(\overrightarrow x \) cùng phương \(\overrightarrow y \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow x = k\overrightarrow y \) với \(k \ne 0\).

Nhận thấy: \(\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = - 2\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = - 2\overrightarrow x \) nên hai vecto \(\overrightarrow x ,\overrightarrow y \) cùng phương.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng -3

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

Quan sát đồ bảng biến thiên và nhận xét.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên (0;1) và đồng biến trên (-1;0).

b) Đúng. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 (x = -1, x = 0, x = 1).

c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.

d) Đúng. Đồ thị hàm số liên tục trên và không có tiệm cận.

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R

b) Đồ thị hàm số đã cho có cực tiểu

c) Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \).

Vì \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} > x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} - x > 0\).

Mà \(\sqrt {{x^2} + 1} > 0\).

Vậy y’ > 0 với mọi x.

Ta có bảng biến thiên:

a) Sai. Hàm số đồng biến trên R.

b) Sai. Đồ thị hàm số đã cho không có cực tiểu.

c) Đúng. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = 0 vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\).

d) Đúng. Thay tọa độ x = 0, y = 0 của O(0;0) vào phương trình xem có thỏa mãn không:

\(0 = 0 - \sqrt {{0^2} + 1} \) (vô lí).

Vậy đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)

b) \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} \)

c) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SO} \)

d) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \)

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm.

a) Đúng. Vì hai vecto trên cùng hướng và cùng độ dài.

b) Sai. Vì hai vecto trên không cùng hướng.

c) Sai. Vì O là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} = 4\overrightarrow {SO} \).

a) \(\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {45^o}\)

b) \(\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{D_1}D} = 9{a^2}\)

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\overrightarrow {{C_1}{B_1}} \)

d) \(\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{C_1}C} = 0\)

Sử dụng lý thuyết các vecto bằng nhau, các vecto đối nhau, góc giữa hai vecto.

a) Sai. Vì hai vecto trên ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {180^o}\).

b) Đúng. \(\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{D_1}D} = \overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{A_1}A} = \left| {\overrightarrow {{A_1}B} } \right|.\left| {\overrightarrow {{A_1}A} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {{A_1}A} } \right) = a\sqrt {10} .3a.\frac{{3a}}{{a\sqrt {10} }} = 9{a^2}\).

c) Đúng. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\left( { - \overrightarrow {{C_1}{B_1}} } \right) = \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\overrightarrow {{C_1}{B_1}} \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{C_1}C} = \overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{D_1}D} = 0\) (vì \(\overrightarrow {{A_1}{D_1}} \) và \(\overrightarrow {{D_1}D} \) vuông góc với nhau).

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị lớn nhất điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Ta có: \(y' = 1{(5 - 2x)^2} + x.2(5 - 2x).(5 - 2x)' = 25 - 29x + 4{x^2} - 20x + 8{x^2} = 12{x^2} - 40x + 25\).

\(y' = 0\) khi \(x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x = \frac{5}{6}\).

Ta có: \(y(0) = 0\); \(y\left( {\frac{5}{6}} \right) = \frac{{250}}{{27}}\); \(y\left( {\frac{5}{2}} \right) = 0\); \(y(3) = 3\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;3] là \(\frac{{250}}{{27}}\) khi \(x = \frac{5}{6}\).

Vậy \(a = 250,b = 27\). Khi đó \(a + 2b = 250 + 2.27 = 304.\)

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị bằng cách tìm giới hạn. Từ đó tính khoảng cách từ A đến tiệm cận.

Tập xác định: \(D = [ - 1;1]\backslash \{ 0\} \).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + 2x}} = - \infty \).

Suy ra đường thẳng x = 0 (trục Oy) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì hoành độ điểm A là -5 nên khoảng cách \(d(A,Oy) = \left| { - 5} \right| = 5\).

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \).

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = (a - 1;b + 1c - 1)\) và \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1 = 1}\\{b + 1 = 1}\\{c - 1 = 1}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 0}\\{c = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy \(a = 2,b = 0,c = 2\). Khi đó \(a + b + c = 2 + 0 + 2 = 4\).

Lập bảng biến thiên cho hàm số tính độ giảm huyết áp đó rồi tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Xét hàm số \(G(x) = 0,75{x^2} - 0,025{x^3};x \in (0; + \infty )\).

Ta có: \(G'(x) = 1,5x - 0,075{x^2} = 0 \Leftrightarrow \) x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, hàm G(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 20. Khi đó, độ giảm huyết áp là 100.

Tính lực F thông qua góc lượng giác.

Khi con nhện và sợi tơ cân bằng như hình dưới:

Ta có: \(\tan {30^o} = \frac{F}{P}\), suy ra \(F = P.\tan {30^o} = 0,1.\frac{1}{{\sqrt 3 }} \approx 0,06\) (N).

Tìm tọa độ của A, B bằng cách quan sát hình vẽ, từ đó tính tọa độ \(\overrightarrow {AB} \).

Quan sát hình vẽ, thấy điểm A có tọa độ \(\left( {6,1;\frac{{13,4}}{2};0} \right) = \left( {6,1;6,7;0} \right)\).

Điểm B có tọa độ \(\left( {6,1;\frac{{13,4}}{2};1,55} \right) = \left( {6,1;6,7;1,55} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} = (0;0;1,55)\).

Vậy x + y + z = 0 + 0 + 1,55 = 1,55.