Bài 29. Tứ giác nội tiếp

I. Khái niệm tứ giác nội tiếp

Một tứ giác được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn nếu bốn đỉnh của nó cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

II. Định lý về tứ giác nội tiếp

1. Định lý 1: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180^o.
2. Định lý 2: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180^o thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
3. Định lý 3: Trong một tứ giác nội tiếp, góc tạo bởi tia phân giác của hai góc đối nhau bằng 90^o.

III. Ứng dụng của định lý về tứ giác nội tiếp

Các định lý về tứ giác nội tiếp được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến đường tròn và tứ giác. Chúng giúp ta chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, tính các góc của tứ giác, và giải các bài toán hình học khác.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 80^o, ∠C = 100^o. Tính số đo ∠B và ∠D.

Giải:

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên ∠A + ∠C = 180^o và ∠B + ∠D = 180^o.

Ta có ∠A + ∠C = 80^o + 100^o = 180^o (đúng).

Suy ra ∠B + ∠D = 180^o.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AD là tia phân giác của ∠BAC. Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

Giải:

Vì AD là tia phân giác của ∠BAC nên ∠BAD = ∠CAD.

Ta có ∠BAC = 90^o nên ∠BAD = ∠CAD = 45^o.

Xét tứ giác ABDC, ta có ∠BAC = 90^o và ∠BDC = 180^o - ∠BAD - ∠CAD = 180^o - 45^o - 45^o = 90^o.

Vậy ∠BAC + ∠BDC = 90^o + 90^o = 180^o.

Do đó, tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

V. Luyện tập

• Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Biết ∠A = 70^o, ∠B = 110^o. Tính số đo ∠C và ∠D.
• Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp.
• Bài 3: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến AB và AC. Gọi D là giao điểm của đường thẳng AO và đường tròn. Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

VI. Kết luận

Bài học Bài 29. Tứ giác nội tiếp đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp, các định lý liên quan và ứng dụng của chúng. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài toán hình học liên quan đến đường tròn và tứ giác.