Bài 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

I. Lý thuyết cơ bản

Trong mặt phẳng, xét đường tròn (O; R) và đường thẳng d. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; R) có thể là một trong ba trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Đường thẳng d không cắt đường tròn (O; R): Khi đó, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d lớn hơn bán kính R (d(O; d) > R).
• Trường hợp 2: Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R): Khi đó, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính R (d(O; d) = R). Điểm tiếp xúc là điểm duy nhất chung giữa đường thẳng và đường tròn.
• Trường hợp 3: Đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt: Khi đó, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (d(O; d) < R).

II. Cách xác định vị trí tương đối

Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; R), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính khoảng cách d(O; d) từ tâm O đến đường thẳng d.
2. So sánh d(O; d) với bán kính R.
3. Kết luận vị trí tương đối dựa vào kết quả so sánh.

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O; 5) và đường thẳng d có phương trình 3x + 4y - 10 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; 5).

Giải:

Khoảng cách từ tâm O(0; 0) đến đường thẳng d là:

d(O; d) = |3(0) + 4(0) - 10| / √(3² + 4²) = 10 / 5 = 2

Vì d(O; d) = 2 < 5 = R, nên đường thẳng d cắt đường tròn (O; 5) tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 2:

Cho đường tròn (O; 3) và đường thẳng d có phương trình x = 3. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; 3).

Giải:

Khoảng cách từ tâm O(0; 0) đến đường thẳng d là:

d(O; d) = |1(0) + 0(0) - 3| / √(1² + 0²) = 3 / 1 = 3

Vì d(O; d) = 3 = 3 = R, nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; 3).

III. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho đường tròn (O; 4) và đường thẳng d có phương trình 2x - y + 5 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; 4).

Bài 2: Cho đường tròn (O; 2) và đường thẳng d có phương trình x = -1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; 2).

IV. Kết luận

Bài học về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn là nền tảng quan trọng trong hình học lớp 9. Việc nắm vững lý thuyết và áp dụng thành thạo các phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!