Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức - Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài học này tập trung vào việc nghiên cứu hai phân bố rời rạc quan trọng trong thống kê: phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Đây là nền tảng cho việc hiểu và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến xác suất và thống kê.

1. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Một thử nghiệm Bernoulli chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli với tham số p nếu nó nhận giá trị 1 với xác suất p và giá trị 0 với xác suất 1 - p.
• Hàm phân phối xác suất: P(X = x) = p^x(1 - p)^1-x, với x ∈ {0, 1}.
• Các số đặc trưng:
  • Kỳ vọng: E(X) = p
  • Phương sai: Var(X) = p(1 - p)

2. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm Bernoulli độc lập và có cùng xác suất thành công p.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức với các tham số n và p nếu nó biểu thị số lần thành công trong n thử nghiệm Bernoulli độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p.
• Hàm phân phối xác suất: P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^n-k, với k ∈ {0, 1, ..., n}.
• Các số đặc trưng:
  • Kỳ vọng: E(X) = np
  • Phương sai: Var(X) = np(1 - p)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Phân bố Bernoulli): Gieo một đồng xu một lần. Nếu mặt ngửa xuất hiện, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

Ví dụ 2 (Phân bố nhị thức): Gieo một đồng xu 5 lần. Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa. X tuân theo phân bố nhị thức với n = 5 và p = 0.5.

4. Ứng dụng của phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiểm định chất lượng sản phẩm: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc mới.
• Khảo sát ý kiến: Dự đoán kết quả của một cuộc bầu cử.
• Marketing: Phân tích tỷ lệ chuyển đổi của một chiến dịch quảng cáo.

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, hãy giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 10 bóng đèn, trong đó có 3 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bóng đèn đều hỏng.
2. Một người bắn súng vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 5 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu ít nhất 4 phát.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Chúc bạn học tập tốt!