Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác - SGK Toán 8 - Kết nối tri thức

1. Khái niệm đường phân giác của tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm chia đôi cạnh đối diện. Ví dụ, trong tam giác ABC, đường phân giác của góc A là đoạn thẳng AD, với D là trung điểm của BC.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác là: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Cụ thể, trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A thì:

BD/CD = AB/AC

3. Chứng minh tính chất đường phân giác

Để chứng minh tính chất này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A. Kẻ đường thẳng song song với AC qua D, cắt AB tại E.

Khi đó, ta có:

• ED // AC (theo cách kẻ)
• ∠EAD = ∠DAC (do AD là đường phân giác)
• ∠ADE = ∠DAC (so le trong)

Suy ra ∠EAD = ∠ADE, do đó tam giác ADE cân tại E, tức là AE = DE.

Xét tam giác BDE và tam giác BAC, ta có:

• ∠B chung
• ED // AC (theo cách kẻ)
• Suy ra tam giác BDE đồng dạng với tam giác BAC (theo trường hợp góc - góc)

Từ đó, ta có tỉ lệ thức: BD/BC = BE/BA. Mà BE = AE = DE, nên BD/BC = DE/BA.

Lại có, DE = AC (do EDAC là hình bình hành), nên BD/BC = AC/BA. Suy ra BD/CD = AB/AC (đpcm).

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ thức và độ dài đoạn thẳng.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm. AD là đường phân giác của góc A. Tính BD và CD.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có: BD/CD = AB/AC = 6/9 = 2/3.

Mà BD + CD = BC = 10cm.

Đặt BD = 2x, CD = 3x. Khi đó, 2x + 3x = 10, suy ra 5x = 10, x = 2.

Vậy BD = 2x = 4cm, CD = 3x = 6cm.

5. Bài tập vận dụng

1. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABI, BCI và CAI.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Gọi AD là đường phân giác của góc A. Tính độ dài AD.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất đường phân giác của tam giác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế nhé!