Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác - SBT Toán 9 - Cánh diều

I. Lý thuyết cơ bản

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác:

• Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
• Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao điểm của các đường trung trực của tam giác.
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp: Khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến một đỉnh của tam giác. Ký hiệu là R.
• Công thức tính bán kính R: R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC), trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, A, B, C là các góc đối diện với các cạnh tương ứng.

2. Đường tròn nội tiếp tam giác:

• Định nghĩa: Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó.
• Tâm đường tròn nội tiếp: Giao điểm của các đường phân giác của tam giác.
• Bán kính đường tròn nội tiếp: Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến một cạnh của tam giác. Ký hiệu là r.
• Công thức tính bán kính r: r = 2S/(a+b+c), trong đó S là diện tích của tam giác, a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác.

II. Giải bài tập SBT Toán 9 - Cánh diều

Bài 1.1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

• Tính BC: Áp dụng định lý Pitago, ta có BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm.
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R: Vì tam giác ABC vuông tại A, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó, R = BC/2 = 5/2 = 2.5cm.
• Tính bán kính đường tròn nội tiếp r: Diện tích tam giác ABC là S = (1/2)AB.AC = (1/2).3.4 = 6cm². Áp dụng công thức tính r, ta có r = 2S/(a+b+c) = 2.6/(3+4+5) = 12/12 = 1cm.

Bài 1.2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

• Tính nửa chu vi p: p = (AB + BC + CA)/2 = (5 + 7 + 8)/2 = 10cm.
• Tính diện tích S: Áp dụng công thức Heron, ta có S = √(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)) = √(10(10-5)(10-7)(10-8)) = √(10.5.3.2) = √300 = 10√3 cm².
• Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R: R = abc/(4S) = (5.7.8)/(4.10√3) = 280/(40√3) = 7/√3 = (7√3)/3 cm.
• Tính bán kính đường tròn nội tiếp r: r = S/p = (10√3)/10 = √3 cm.

III. Luyện tập và mở rộng

Để hiểu sâu hơn về đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm hiểu các bài toán liên quan đến việc xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp trong các loại tam giác khác nhau (tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông).

Ngoài ra, các em có thể tìm hiểu về mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và các yếu tố khác của tam giác như đường cao, đường trung tuyến, phân giác. Việc nắm vững các kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác.

Chúc các em học tốt!