toan9.edu.vn xin giới thiệu Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 4, một công cụ hữu ích giúp các em học sinh ôn luyện và làm quen với cấu trúc đề thi THPT Quốc gia. Đề thi được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm, đảm bảo tính chính xác và cập nhật theo chương trình học mới nhất.
Đề số 4 này không chỉ cung cấp các bài toán đa dạng về chủ đề mà còn đi kèm với đáp án chi tiết và lời giải dễ hiểu, giúp các em tự học hiệu quả và củng cố kiến thức.
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3}\) là
\(4{x^4} + C\)
\(3{x^2} + C\)
\({x^4} + C\)
\(\frac{1}{4}{x^4} + C\)
Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\). Kết quả đúng là
f’(2) = 3
f’(x) = 2
f’(x) = 3
f’(3) = 2
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [-1;1] bằng
-3
-1
-2
1
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
\(y = \frac{1}{4}\)
\(y = 4\)
\(y = 1\)
\(y = - 1\)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (ABCD) bằng
\(\frac{a}{2}\)
\(a\)
\(2a\)
\(3a\)
Một nhóm học sinh gồm 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường?
200
20
30
10
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong hình như hình.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(( - \infty ;0)\)
\((2; + \infty )\)
\(( - 3;1)\)
\((0;2)\)
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là
\(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 1;2;3)\)
\(\overrightarrow {{u_3}} = (2;1;3)\)
\(\overrightarrow {{u_4}} = ( - 1;2;1)\)
\(\overrightarrow {{u_2}} = (2;1;1)\)
Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là
v(t) = -3sint
v(t) = -3cost
v(t) = 3cost
v(t) = 3sint
Nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{4}\) là
\(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình dưới.
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm
x = -2
x = -1
x = 1
x = 0
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Mốt của mẫu số liệu trên là
52
42
53
54
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\).
a) Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).
b) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
c) Đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
Một ô tô đang chạy với tốc độ 108 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng 1 giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = -10 + 30 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được tính bằng đơn vị m trong thời gian t(s) kể từ lúc đạp phanh.
a) Công thức biểu diễn hàm số \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 6 giây.
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 (m).
d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 120 (m).
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) Xác suất \(P(\overline A ) = 0,5\) và \(P(\overline B ) = 0,4\).
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4.
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8.
Hệ thống phòng không "Vòm sắt" là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Israel. Để "Vòm sắt" hoạt động được chính xác, người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, một hệ thống "Vòm sắt" đang ở vị trí O(0;0;0) và một quả tên lửa đang ở vị trí A(688;185;-8) được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = ( - 91; - 75;0)\).
a) Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 417\).
b) Radar phát hiện một quả tên lửa ngay tại vị trí được phóng lên.
c) Giả sử hệ thống “Vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa. Khi đó, vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên màn hình Radar là B(415;-40;-8).
d) Nếu hệ thống gặp trục trặc không bắn hạ được tên lửa thì khoảng cách gần nhất từ hệ thống “Vòm sắt” đến quả tên lửa là xấp xỉ 190 km.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh bằng I, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Một nhân viên của bảo tàng nghệ thuật đang có kế hoạch giới thiệu nội dung cuộc triển lãm của bảo tàng đến ba trường học trong khu vực. Người đó muốn đến từng trường và quay trở lại bảo tàng sau khi thăm cả ba trường. Thời gian di chuyển (đơn vị: phút) giữa các trường học và giữa bảo tàng với mỗi trường học được mô tả trong hình vẽ.Tìm thời gian đi ít nhất để thực hiện chu trình trên.
Đáp án:
Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 50 km và về phía Tây 20 km , đồng thời cách mặt đất 1 km. Xác định khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol (P) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng 4 m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật CDEF sao cho chiều cao cửa đi là CD = 2m, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({m^3}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án:
Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1 km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100 m. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án:
Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp I chứa 3 bóng bàn màu trắng và 2 bóng bàn màu vàng, hộp II chứa 6 bóng bàn màu trắng và 4 bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn từ hộp II ra. Tính xác suất để quả bóng bàn lấy từ hộp II có màu vàng.
Đáp án:
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3}\) là
\(4{x^4} + C\)
\(3{x^2} + C\)
\({x^4} + C\)
\(\frac{1}{4}{x^4} + C\)
Đáp án : D
Áp dụng quy tắc tính nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\).
Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\). Kết quả đúng là
f’(2) = 3
f’(x) = 2
f’(x) = 3
f’(3) = 2
Đáp án : A
Áp dụng định nghĩa đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).
Ta có định nghĩa đạo hàm: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\).
Suy ra: \(f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}}\) (với \({x_0} = 2\)).
Mà theo đề bài: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\).
Do đó: \(f'(2) = 3\).
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [-1;1] bằng
-3
-1
-2
1
Đáp án : C
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.
Quan sát bảng biến thiên, thấy \(f(x) \ge - 2\) với mọi x thuộc [-1;1].
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [-1;1] là -2.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
\(y = \frac{1}{4}\)
\(y = 4\)
\(y = 1\)
\(y = - 1\)
Đáp án : B
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là \(y = \frac{a}{c}\).
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (ABCD) bằng
\(\frac{a}{2}\)
\(a\)
\(2a\)
\(3a\)
Đáp án : B
Tìm hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) và tính khoảng cách từ A’ đến hình chiếu đó.
Ta có \(AA' \bot (ABCD)\) nên \(d(A',(ABCD)) = AA' = a\).
Một nhóm học sinh gồm 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường?
200
20
30
10
Đáp án : C
Sử dụng quy tắc cộng.
Có 10 + 20 = 30 cách chọn 1 học sinh.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong hình như hình.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(( - \infty ;0)\)
\((2; + \infty )\)
\(( - 3;1)\)
\((0;2)\)
Đáp án : D
Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị đi xuống từ trái sang.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là
\(\overrightarrow {{u_1}} = ( - 1;2;3)\)
\(\overrightarrow {{u_3}} = (2;1;3)\)
\(\overrightarrow {{u_4}} = ( - 1;2;1)\)
\(\overrightarrow {{u_2}} = (2;1;1)\)
Đáp án : C
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a;b;c)\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_4}} = ( - 1;2;1)\).
Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là
v(t) = -3sint
v(t) = -3cost
v(t) = 3cost
v(t) = 3sint
Đáp án : A
Theo ý nghĩa vật lí của đạo hàm, ta có v(t) = s’(t).
\(v(t) = s'(t) = (3\cos t)' = - 3\sin t\).
Nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{4}\) là
\(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\(x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
Đáp án : D
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(\cos x = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình dưới.
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm
x = -2
x = -1
x = 1
x = 0
Đáp án : C
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Theo đồ thị, hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 1.
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Mốt của mẫu số liệu trên là
52
42
53
54
Đáp án : A
Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:
\({M_0} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{({n_m} - {n_{m - 1}}) + ({n_m} - {n_{m + 1}})}}.({u_{m + 1}} - {u_m})\).
Mốt \({M_0}\) chứa trong nhóm [40;60).
Do đó: \({u_m} = 40\), \({u_{m + 1}} = 60 \Rightarrow {u_{m + 1}} - {u_m} = 60 - 40 = 20\), \({n_{m - 1}} = 9\), \({n_m} = 12\), \({n_{m + 1}} = 10\).
\({M_0} = 40 + \frac{{12 - 9}}{{(12 - 9) + (12 - 10)}}.(60 - 40) = 52\).
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\).
a) Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).
b) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
c) Đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
a) Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).
b) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
c) Đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số rồi nhận xét.
\(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
a) Đúng. Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).
b) Sai. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -1.
c) Đúng. Ta có \(y(0) = {0^3} - 3.0 + 1 = 1\) nên đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
d) Đúng. y(-2) = -1; y(-1) = 3; y(1) = -1. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
Một ô tô đang chạy với tốc độ 108 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng 1 giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = -10 + 30 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được tính bằng đơn vị m trong thời gian t(s) kể từ lúc đạp phanh.
a) Công thức biểu diễn hàm số \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 6 giây.
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 (m).
d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 120 (m).
a) Công thức biểu diễn hàm số \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 6 giây.
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 (m).
d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 120 (m).
a) Sử dụng công thức \(s(t) = \int\limits_0^t {v(t)dt} \).
b) Khi xe ô tô dừng hẳn thì \(v(t) = 0\). Giải phương trình tìm t.
c) Tính s(3).
d) Tính tổng:
- Quãng đường ô tô di chuyển được trong 1 giây sau khi phát hiện chướng ngại vật.
- Quãng đường ô tô di chuyển được trong 3 giây kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn.
a) Đúng. Ta có \(s(t) = \int {v(t)dt} = \int {( - 10t + 30)dt} = - 5{t^2} + 30t + C\).
Do s(0) = 0 nên C = 0.
Vậy \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
b) Sai. Xe ô tô dừng hẳn khi \(v(t) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
Vậy thời gian để xe dừng hẳn sau khi đạp phanh là 3 giây.
c) Đúng. Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là:
\(s(3) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) (m).
d) Sai. Ta có 108 km/h = 30 m/s.
Quãng đường ô tô di chuyển được trong 1 giây sau khi phát hiện chướng ngại vật là 30 m.
Quãng đường ô tô di chuyển được trong 3 giây kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 45 m.
Vậy tổng quãng đường ô tô đi được từ lúc phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn là 30 + 45 = 75 m.
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2.
a) Xác suất \(P(\overline A ) = 0,5\) và \(P(\overline B ) = 0,4\).
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4.
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8.
a) Xác suất \(P(\overline A ) = 0,5\) và \(P(\overline B ) = 0,4\).
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4.
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8.
Sử dụng quy tắc tính xác suất của biến cố đối, công thức xác suất toàn phần và công thức xác suất có điều kiện.
a) Đúng. \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,5 = 0,5\); \(P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\).
b) Đúng. C: “Thắng thầu đúng 1 dự án”. Có P(AB) = 0,4.
\(P(A) = P(AB) + P(A\overline B ) \Leftrightarrow P(A\overline B ) = P(A) - P(AB) = 0,5 - 0,4 = 0,1\).
\(P(B) = P(AB) + P(\overline A B) \Leftrightarrow P(\overline A B) = P(B) - P(AB) = 0,6 - 0,4 = 0,2\).
\(P(C) = P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,1 + 0,2 = 0,3\).
c) Sai. \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4}}{{0,5}} = 0,8\).
d) Sai. \(P(B|\overline A ) = \frac{{P(\overline A B)}}{{P(\overline A )}} = \frac{{0,2}}{{0,5}} = 0,4\).
Hệ thống phòng không "Vòm sắt" là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Israel. Để "Vòm sắt" hoạt động được chính xác, người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, một hệ thống "Vòm sắt" đang ở vị trí O(0;0;0) và một quả tên lửa đang ở vị trí A(688;185;-8) được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = ( - 91; - 75;0)\).
a) Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 417\).
b) Radar phát hiện một quả tên lửa ngay tại vị trí được phóng lên.
c) Giả sử hệ thống “Vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa. Khi đó, vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên màn hình Radar là B(415;-40;-8).
d) Nếu hệ thống gặp trục trặc không bắn hạ được tên lửa thì khoảng cách gần nhất từ hệ thống “Vòm sắt” đến quả tên lửa là xấp xỉ 190 km.
a) Phương trình mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng của Radar là \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 417\).
b) Radar phát hiện một quả tên lửa ngay tại vị trí được phóng lên.
c) Giả sử hệ thống “Vòm sắt” gặp trục trặc không thể bắn hạ quả tên lửa. Khi đó, vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên màn hình Radar là B(415;-40;-8).
d) Nếu hệ thống gặp trục trặc không bắn hạ được tên lửa thì khoảng cách gần nhất từ hệ thống “Vòm sắt” đến quả tên lửa là xấp xỉ 190 km.
Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.
a) Sai. Mặt cầu thể hiện vùng phủ sóng là mặt cầu tâm O(0;0;0), bán kính R = 417 có phương trình là: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {417^2}\).
b) Sai. Khoảng cách từ Radar đến vị trí quả tên lửa được bắn lên là:
\(OA = \sqrt {{{688}^2} + {{185}^2} + {{( - 8)}^2}} = \sqrt {507633} \approx 721\) (km).
Vì OA > R nên vị trí quả tên lửa được bắn lên nằm ngoài vùng phủ sóng của Radar. Khi đó, Radar không phát hiện được.
c) Sai. Quỹ đạo tên lửa là đường thẳng d đi qua điểm A(688;185;-8), nhận \(\overrightarrow u = ( - 91; - 75;0)\) làm vecto chỉ phương nên có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 688 - 91t\\y = 185 - 75t\\z = - 8\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Ta có B(688 – 91t; 185 – 71t; -8) là một điểm thuộc d.
Để B là giao điểm của của đường thẳng d với mặt cầu phủ sóng của Radar thì:
\({(688 - 91t)^2} + {(185 - 71t)^2} + {( - 8)^2} = {417^2}\)
\( \Leftrightarrow 15906{t^2} - 152966t + 333744 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t = 3\end{array} \right.\)
Với t = 8, ta có B(-40;-415;-8), \(AB = \sqrt {{{( - 40 - 688)}^2} + {{( - 415 - 185)}^2} + {{( - 8 + 8)}^2}} = 943\) (km).
Với t = 3, ta có B(415;-40;-8), \(AB = \sqrt {{{(415 - 688)}^2} + {{( - 40 - 185)}^2} + {{( - 8 + 8)}^2}} = 354\) (km).
Vì 354 < 943 nên vị trí đầu tiên quả tên lửa xuất hiện trên Radar có tọa độ (415;-40;-8), vị trí cuối cùng quả tên lửa xuất hiện trên Radar có tọa độ (-40;-415;-8).
d) Sai. Gọi H(688 – 91t; 185 – 71t; -8) là vị trí “Vòm sắt” gần quả tên lửa nhất.
Khi đó, H là hình chiếu của O trên d, hay \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = 0\)
\( \Leftrightarrow (688 - 91t).( - 91) + (185 - 75t).( - 75) + ( - 8).0 = 0\)
\( \Leftrightarrow 13906t - 76483 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{2}\).
Suy ra \(H\left( {\frac{{375}}{2}; - \frac{{455}}{2}; - 8} \right)\).
Khoảng cách đó là \(OH = \sqrt {{{\left( {\frac{{375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{455}}{2}} \right)}^2} + ( - 8)} \approx 295\) (km).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh bằng I, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Đáp án:
Tìm hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD) và tính khoảng cách từ điểm A đến hình chiếu đó.
Trong mặt phẳng (SAD), kẻ \(AH \bot SD = \{ H\} \).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot CD\\CD \bot AD\end{array} \right.\) suy ra \(CD \bot (SAD)\), mà \(AH \subset (SAD)\) nên \(CD \bot AH\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SD\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SCD)\) và AH cắt (SCD) tại H.
Xét tam giác SAD vuông tại A có đường cao AH:
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}.1}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Một nhân viên của bảo tàng nghệ thuật đang có kế hoạch giới thiệu nội dung cuộc triển lãm của bảo tàng đến ba trường học trong khu vực. Người đó muốn đến từng trường và quay trở lại bảo tàng sau khi thăm cả ba trường. Thời gian di chuyển (đơn vị: phút) giữa các trường học và giữa bảo tàng với mỗi trường học được mô tả trong hình vẽ.Tìm thời gian đi ít nhất để thực hiện chu trình trên.
Đáp án:
Đáp án:
Xét từng địa điểm và con đường mất ít thời gian di chuyển nhất tới địa điểm đó.
Từ viện bảo tàng, thời gian di chuyển đến trường B là ngắn nhất: 19 phút.Từ trường B, thời gian di chuyển đến trường A là ngắn nhất: 38 phút.Từ trường A, thời gian di chuyển đến trường C là ngắn nhất: 32 phút.Đến đây, không còn địa điểm nào chưa đi qua nên quay lại viện bảo tàng với thời gian di chuyển: 51 phút.Do đó, chu trình xuất phát từ viện bảo tàng, qua trường B, trường A, trường C rồi quay lại viện bảo tàng có thời gian đi là ít nhất và thời gian đi là: 19 + 38 + 32 + 51 = 140 (phút).
Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 50 km và về phía Tây 20 km , đồng thời cách mặt đất 1 km. Xác định khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp rồi áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
\(AB = \sqrt {{{({x_A} - {x_B})}^2} + {{({y_A} - {y_B})}^2} + {{({z_A} - {z_B})}^2}} \).
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo km (như hình vẽ).
Chiếc máy bay có tọa độ (50;20;1).Khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát là: \(\sqrt {{{50}^2} + {{20}^2} + {1^2}} \approx 53,9\) (km).
Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol (P) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng 4 m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật CDEF sao cho chiều cao cửa đi là CD = 2m, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({m^3}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, từ đó tìm ra hàm số có đồ thị giới hạn phần diện tích cần tìm. Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân.
Giả sử parabol (P) có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).
(P) đi qua ba điểm (0;4), (-2;0) và (2;0) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\\0 = a{.2^2} + b.2 + c\\0 = a.{( - 2)^2} + b.( - 2) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).
Vậy (P): \(y = - {x^2} + 4\).
Điểm D và E thuộc đồ thị có tung độ bằng 2 nên hoành độ hai điểm đó là nghiệm của phương trình \( - {x^2} + 4 = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \).
Theo đồ thị, \(D(\sqrt 2 ;2)\) và \(E( - \sqrt 2 ;2)\).
Chiều rộng cánh cửa là \(DE = 2\sqrt 2 \) (m).
Diện tích cánh cửa là \({S_{CDEF}} = 2.2\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \) \(({m^2})\).
Diện tích phần đồ thị (P) tạo với trục hoành là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {( - {x^2} + 4)dx} = \frac{{32}}{3}\) \(({m^2})\).
Diện tích cần trang trí là \({S_1} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 4\sqrt 2 = \frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}\) \(({m^2})\).
Chi phí để trang trí là \(\frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}.1,5 \approx 7,5\) (triệu đồng).
Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1 km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100 m. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án:
Đáp án:
Lập hàm số tính thời gian di chuyển theo x và tìm x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi A là mục tiêu; B là vị trí chiến sỹ và BD là đường bơi của chiến sỹ.Chọn một đơn vị độ dài là 100m, suy ra BC = 1; AB = 10; \(AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {1^2}} = 3\sqrt {11} \).
Gọi vận tốc bơi của chiến sỹ là 1 đơn vị vận tốc thì vận tốc chạy của chiến sỹ là 3 đơn vị vận tốc. Gọi x là quãng đường chiến sỹ bơi, hay BD = x (1 < x < 10).
\(CD = \sqrt {{x^2} - 1} \); \(AD = AC - CD = 3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} \).
Thời gian chiến sỹ đến được mục tiêu là: \(t = \frac{{3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} }}{3} + \frac{x}{1} = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\).
Xét hàm \(f(x) = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\) có \(f'(x) = 1 - \frac{x}{{3\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\\x = - \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
Thời gian chiến sỹ đến mục tiêu ngắn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất, hay \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\).
Vậy chiến sĩ phải bơi \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}.100 = 75\sqrt 2 \approx 106\) (m).
Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp I chứa 3 bóng bàn màu trắng và 2 bóng bàn màu vàng, hộp II chứa 6 bóng bàn màu trắng và 4 bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn từ hộp II ra. Tính xác suất để quả bóng bàn lấy từ hộp II có màu vàng.
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng công thức xác suất toàn phần.
A: “Lấy được quả bóng vàng từ hộp II”.
Vì lấy 4 trong số 5 quả bóng (3 trắng, 2 vàng) từ hộp I sang hộp II nên không thể xảy ra biến cố “không lấy được quả màu vàng nào từ hộp I” mà chỉ có 2 trường hợp xảy ra: Lấy được 1 hoặc 2 quả màu vàng.
Do đó, nếu gọi B: “Trong 4 quả bóng lấy từ hộp I chỉ có 1 quả màu vàng”, thì ta có \(\overline B \): “Trong 4 quả bóng lấy từ hộp I có 2 quả màu vàng”.
* TH1: B xảy ra:
Ta có \(P(B) = \frac{{C_3^3.C_2^1}}{{C_5^4}} = \frac{2}{5}\).
Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II có 9 quả bóng trắng và 5 quả bóng vàng.
Do đó \(P(A|B) = \frac{5}{{14}}\).
* TH2: \(\overline B \) xảy ra:
Ta có \(P(\overline B ) = \frac{{C_3^2.C_2^2}}{{C_5^4}} = \frac{3}{5}\).
Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II có 8 quả bóng trắng và 6 quả bóng vàng.
Do đó \(P(A|\overline B ) = \frac{6}{{14}} = \frac{3}{7}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = \frac{2}{5}.\frac{5}{{14}} + \frac{3}{5}.\frac{3}{7} = 0,4\).
Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 4 là một tài liệu quan trọng trong quá trình ôn luyện của học sinh lớp 12, chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia. Đề thi này không chỉ đánh giá kiến thức mà còn kiểm tra khả năng vận dụng và giải quyết vấn đề của học sinh. Bài viết này sẽ phân tích chi tiết cấu trúc đề thi, các dạng bài tập thường gặp và cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi.
Đề thi thường bao gồm các phần chính sau:
Các chủ đề thường xuất hiện trong đề thi bao gồm:
Các bài tập về hàm số thường yêu cầu học sinh xác định tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, cực trị, vẽ đồ thị hàm số và giải các bài toán liên quan đến hàm số. Để giải tốt dạng bài này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về hàm số, đặc biệt là các hàm số thường gặp như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số mũ, hàm số logarit.
Các bài tập về phương trình và bất phương trình thường yêu cầu học sinh giải các phương trình và bất phương trình đơn giản, phương trình và bất phương trình chứa tham số, hệ phương trình và bất phương trình. Để giải tốt dạng bài này, học sinh cần nắm vững các phương pháp giải phương trình và bất phương trình, đặc biệt là phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp biến đổi tương đương.
Các bài tập về hình học phẳng thường yêu cầu học sinh tính diện tích, chu vi, góc, chứng minh các tính chất hình học và giải các bài toán liên quan đến tam giác, tứ giác, đường tròn. Để giải tốt dạng bài này, học sinh cần nắm vững các định lý và tính chất hình học, đặc biệt là định lý Pitago, định lý Thales, định lý đường phân giác.
Các bài tập về hình học không gian thường yêu cầu học sinh tính thể tích, diện tích bề mặt, góc, chứng minh các tính chất hình học và giải các bài toán liên quan đến hình chóp, hình trụ, hình cầu. Để giải tốt dạng bài này, học sinh cần nắm vững các công thức tính thể tích và diện tích bề mặt, các định lý và tính chất hình học không gian.
Câu 1: (Trích từ đề số 4) Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số.
Lời giải:
Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 4 là một công cụ hữu ích giúp học sinh ôn luyện và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi THPT Quốc gia. Bằng cách nắm vững kiến thức, luyện tập thường xuyên và phân tích lỗi sai, các em học sinh có thể tự tin chinh phục kỳ thi và đạt kết quả cao.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
