Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác - SGK Toán 7 - Kết nối tri thức

Trong hình học, tam giác là một trong những hình cơ bản và quan trọng nhất. Việc hiểu rõ các mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, như góc và cạnh, là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Bài 31 trong sách Kết nối tri thức Toán 7 tập 2 tập trung vào một mối quan hệ đặc biệt: mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.

1. Định lý 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Nội dung định lý: Trong một tam giác, cạnh lớn hơn đối diện với góc lớn hơn.

Chứng minh: (Chứng minh đầy đủ sẽ được trình bày chi tiết với hình vẽ minh họa)

Giả sử tam giác ABC có AB < AC. Ta cần chứng minh góc B > góc C.

1. Trên cạnh AC, lấy điểm D sao cho AD = AB.
2. Nối BD.
3. Xét tam giác ABD, vì AD = AB nên tam giác ABD cân tại A. Suy ra góc ABD = góc ADB.
4. Vì góc ADB là góc ngoài của tam giác BDC nên góc ADB > góc C.
5. Do đó, góc ABD > góc C.
6. Mà góc B = góc ABD + góc DBC.
7. Suy ra góc B > góc C.

Lưu ý: Định lý này chỉ đúng khi xét trong cùng một tam giác. Không thể so sánh góc và cạnh của các tam giác khác nhau.

2. Định lý 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện (dạng đảo)

Nội dung định lý: Trong một tam giác, góc lớn hơn đối diện với cạnh lớn hơn.

Chứng minh: (Chứng minh đầy đủ sẽ được trình bày chi tiết với hình vẽ minh họa)

Giả sử tam giác ABC có góc B > góc C. Ta cần chứng minh AC > AB.

1. Nếu AB = AC thì tam giác ABC cân tại A, suy ra góc B = góc C (trái với giả thiết).
2. Nếu AB > AC thì góc B < góc C (theo định lý 1, đảo lại). (trái với giả thiết).
3. Vậy, AC > AB.

3. Bất đẳng thức tam giác và ứng dụng

Bất đẳng thức tam giác là một công cụ quan trọng trong việc kiểm tra tính hợp lệ của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác phát biểu rằng:

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

• AB + AC > BC
• AB + BC > AC
• AC + BC > AB

Ứng dụng: Bất đẳng thức tam giác được sử dụng để kiểm tra xem ba đoạn thẳng có thể tạo thành một tam giác hay không. Nếu một trong các bất đẳng thức trên không đúng, thì ba đoạn thẳng đó không thể tạo thành một tam giác.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, AC = 9cm. Hãy so sánh các góc của tam giác ABC.

Giải:

• Vì AC là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất.
• Vì AB là cạnh nhỏ nhất nên góc C là góc nhỏ nhất.
• Vậy, góc B > góc A > góc C.

Ví dụ 2: Cho tam giác MNP có góc M = 60 độ, góc N = 80 độ. Hãy so sánh các cạnh của tam giác MNP.

Giải:

• Vì góc N là góc lớn nhất nên MP là cạnh lớn nhất.
• Vì góc M là góc nhỏ nhất nên NP là cạnh nhỏ nhất.
• Vậy, MP > MN > NP.

5. Kết luận

Bài 31 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và quan trọng về mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Việc nắm vững các định lý và bất đẳng thức liên quan sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.