Bài 3. Phép đối xứng trục

Bài 3. Phép đối xứng trục - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép đối xứng trục là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các tính chất đối xứng của hình. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của phép đối xứng trục trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục D_d qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

• M’ = D_d(M)
• d là đường trung trực của MM’

2. Tính chất của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục có những tính chất quan trọng sau:

1. Bảo toàn khoảng cách: Nếu hai điểm M và N có khoảng cách MN = a thì M’N’ = a.
2. Bảo toàn góc: Nếu góc xMy = α thì góc x’M’y’ = α.
3. Biến đường thẳng thành đường thẳng: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
4. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0. Phép đối xứng trục D_d qua đường thẳng d biến điểm M(x₀; y₀) thành điểm M’(x’; y’) có tọa độ được xác định như sau:

x’ = x₀ - 2a(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

y’ = y₀ - 2b(ax₀ + by₀ + c) / (a² + b²)

4. Ứng dụng của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học:

• Xây dựng các hình đối xứng.
• Giải các bài toán tìm điểm, đường thẳng, hình.
• Chứng minh các tính chất hình học.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(1; 2) và đường thẳng d: x + y - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục D_d.

Giải:

a = 1, b = 1, c = -3, x₀ = 1, y₀ = 2

ax₀ + by₀ + c = 1*1 + 1*2 - 3 = 0

Do đó, A nằm trên đường thẳng d và A’ trùng với A. Vậy A’(1; 2).

Ví dụ 2: Cho điểm B(0; 1) và đường thẳng d: x - y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm B’ là ảnh của B qua phép đối xứng trục D_d.

Giải:

a = 1, b = -1, c = 1, x₀ = 0, y₀ = 1

ax₀ + by₀ + c = 1*0 + (-1)*1 + 1 = 0

x’ = 0 - 2*1*(0 - 1 + 1) / (1² + (-1)²) = 0

y’ = 1 - 2*(-1)*(0 - 1 + 1) / (1² + (-1)²) = 1

Vậy B’(0; 1).

6. Bài tập luyện tập

1. Tìm ảnh của điểm C(-2; 3) qua phép đối xứng trục D_d với d: x - 2y + 1 = 0.
2. Cho đường thẳng Δ: 2x + y - 5 = 0. Tìm phương trình đường thẳng Δ’ là ảnh của Δ qua phép đối xứng trục D_d với d: x + y - 2 = 0.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về phép đối xứng trục. Chúc bạn học tập tốt!