Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn - SGK Toán 9 - Kết nối tri thức

1. Lý thuyết cơ bản

Trong mặt phẳng, xét đường tròn (O; R) và đường thẳng d. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; R) có thể là một trong ba trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Đường thẳng d không cắt đường tròn (O; R): Khi đó, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d lớn hơn bán kính R (d(O, d) > R).
• Trường hợp 2: Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; R): Khi đó, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính R (d(O, d) = R). Đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn.
• Trường hợp 3: Đường thẳng d cắt đường tròn (O; R): Khi đó, khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d nhỏ hơn bán kính R (d(O, d) < R).

2. Phương trình đường thẳng và đường tròn

Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, ta thường sử dụng phương trình của chúng.

Phương trình đường tròn (O; R) có dạng: (x - a)² + (y - b)² = R², với O(a; b) là tâm đường tròn và R là bán kính.

Phương trình đường thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0.

3. Điều kiện để xác định vị trí tương đối

Khoảng cách d(O, d) từ tâm O(a; b) đến đường thẳng Ax + By + C = 0 được tính theo công thức:

d(O, d) = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)

Dựa vào giá trị của d(O, d) so với R, ta có thể xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn như sau:

• d(O, d) > R: Đường thẳng không cắt đường tròn.
• d(O, d) = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
• d(O, d) < R: Đường thẳng cắt đường tròn.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; 5) và đường thẳng d: 3x + 4y - 10 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; 5).

Giải:

Giả sử O(0; 0). Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là:

d(O, d) = |3(0) + 4(0) - 10| / √(3² + 4²) = 10 / 5 = 2

Vì d(O, d) = 2 < 5 = R, nên đường thẳng d cắt đường tròn (O; 5).

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đường tròn (O; 3) và đường thẳng d: x - y + 2 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O; 3) với O(1; 1).

Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 1 tiếp xúc với đường tròn (O; 1) với O(0; 0).

6. Mở rộng và lưu ý

Khi giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, cần chú ý đến việc xác định đúng tâm và bán kính của đường tròn, cũng như phương trình của đường thẳng.

Việc sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán này.

Ngoài ra, cần nắm vững các trường hợp đặc biệt, như đường thẳng đi qua tâm đường tròn, đường thẳng song song với trục tọa độ, v.v.

7. Kết luận

Bài 16 cung cấp kiến thức nền tảng về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Việc hiểu rõ lý thuyết và vận dụng thành thạo các công thức sẽ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan đến chủ đề này.