Bài 1. Nguyên hàm

Bài 1. Nguyên hàm - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo: Giải pháp chi tiết

Bài 1 trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm nguyên hàm, một khái niệm nền tảng trong chương trình tích phân. Hiểu rõ nguyên hàm là bước quan trọng để giải quyết các bài toán về tích phân, một công cụ mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

1. Khái niệm Nguyên hàm

Nguyên hàm của một hàm số f(x) trên một khoảng I là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x) trên khoảng I. Ký hiệu: F'(x) = f(x). Nói cách khác, F(x) là một “phép toán ngược” của phép lấy đạo hàm.

2. Tính chất của Nguyên hàm

Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, chúng khác nhau bởi một hằng số cộng. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.

3. Các quy tắc tìm Nguyên hàm

• Quy tắc 1: Nguyên hàm của hàm số lũy thừa: ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
• Quy tắc 2: Nguyên hàm của hàm số 1/x: ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• Quy tắc 3: Nguyên hàm của hàm số e^x: ∫e^x dx = e^x + C
• Quy tắc 4: Nguyên hàm của hàm sin(x): ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• Quy tắc 5: Nguyên hàm của hàm cos(x): ∫cos(x) dx = sin(x) + C

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x³ + 3x² - 5.

Giải:

∫(2x³ + 3x² - 5) dx = 2∫x³ dx + 3∫x² dx - 5∫dx

= 2(x⁴/4) + 3(x³/3) - 5x + C

= (x⁴/2) + x³ - 5x + C

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/x + e^x.

Giải:

∫(1/x + e^x) dx = ∫(1/x) dx + ∫e^x dx

= ln|x| + e^x + C

5. Luyện tập và Bài tập

Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm, bạn nên luyện tập thường xuyên với các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo. Hãy chú ý áp dụng các quy tắc tìm nguyên hàm và kiểm tra lại kết quả bằng cách lấy đạo hàm của nguyên hàm vừa tìm được.

6. Ứng dụng của Nguyên hàm

Nguyên hàm có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các ngành khoa học khác, bao gồm:

• Tính diện tích hình phẳng
• Tính thể tích vật thể
• Giải các phương trình vi phân
• Tính công thực hiện bởi một lực

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm nguyên hàm và các ứng dụng của nó. Chúc bạn học tập tốt!