Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán học cấp trung học phổ thông. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết các bài toán về bất phương trình bậc hai, một chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các số thực, và a ≠ 0.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

• Trường hợp 1: a > 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn dương với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) dương hoặc bằng 0 với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
• f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
• f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
• f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂.
• Trường hợp 2: a < 0
• Nếu Δ < 0: Tam thức f(x) luôn âm với mọi x.
• Nếu Δ = 0: Tam thức f(x) âm hoặc bằng 0 với mọi x.
• Nếu Δ > 0: Tam thức f(x) đổi dấu qua hai nghiệm x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Cụ thể:
• f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂.
• f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.
• f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂.

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2 > 0 và Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức đổi dấu qua hai nghiệm:

x₁ = 1/2 và x₂ = 2.

Do đó:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2.
• f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 2.
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2.

4. Ứng dụng

Kiến thức về dấu của tam thức bậc hai được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bất phương trình bậc hai. Ví dụ, để giải bất phương trình 2x² - 5x + 2 > 0, ta dựa vào kết quả phân tích dấu của tam thức f(x) = 2x² - 5x + 2 ở trên để kết luận nghiệm của bất phương trình là x < 1/2 hoặc x > 2.

5. Bài tập luyện tập

1. Xác định dấu của tam thức f(x) = -x² + 4x - 3.
2. Giải bất phương trình x² - 3x + 2 < 0.
3. Tìm điều kiện để tam thức f(x) = x² - 2(m+1)x + m² + 3m luôn dương với mọi x.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn học tập tốt!