Bài toán tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của biểu thức F=ax+by trên một miền đa giác là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Đây là một ứng dụng thực tế của bất đẳng thức và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác.
Toan9.edu.vn cung cấp các bài giảng chi tiết, dễ hiểu cùng với các bài tập đa dạng giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết bài toán này một cách hiệu quả.
Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó. Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được. Bước 4: Kết luận.
1. Lý thuyết
Nhiều bài toán thực tế được đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức \(F = ax + by\) trên một miền đa giác – miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Người ta chứng minh được F đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của đa giác.
+ Các bước giải
Bước 1: Đặt ẩn (hai ẩn x, y), từ giả thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bước 2: Xác định miền đa giác nghiệm và tọa độ đỉnh của đa giác đó.
Bước 3: Tính gía trị cuả F tại các đỉnh của đa giác. So sánh các giá trị thu được.
Bước 4: Kết luận.
2. Ví dụ minh họa
Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng \(8{m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?
Lời giải chi tiết
Gọi diện tích trồng cà chua và cải bắp lần lượt là x, y (đơn vị: \({m^2}\)). \((x,y \ge 0)\)
Mảnh vườn rộng \(8{m^2}\) nên ta có: \(x + y \le 8\)
Khi trồng x \({m^2}\) cà chua thì cần \(20x\) công và thu được \(300x\) nghìn đồng
Khi trồng y \({m^2}\) cải bắp thì cần \(30x\) công và thu được \(400x\) nghìn đồng
Tổng số công không quá 180 nên ta có: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\)
Tổng số tiền thu được là: \(F(x;y) = 300x + 400y\)
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 8\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:
Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh), trong đó \(A(0;6),B(6;2),C(8;0),O(0;0)\)
Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 300x + 400y\) ta được:
\[\begin{array}{l}F(0;0) = 300.0 + 400.0 = 0\\F(0;6) = 300.0 + 400.6 = 2400\\F(2;6) = 300.2 + 400.6 = 3000\\F(8;0) = 300.8 + 400.0 = 2400\end{array}\]
Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 3000 tại \(x = 2;y = 6\)
Vậy cô Minh cần mua trồng \(2{m^2}\) cà chua và \(6{m^2}\) cải bắp.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, thường xuất hiện trong các đề thi và có ứng dụng thực tế cao. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững kiến thức về bất đẳng thức, hệ bất phương trình và các tính chất của miền đa giác.
1. Bất đẳng thức:
2. Hệ bất phương trình:
3. Miền đa giác:
Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác, ta thực hiện các bước sau:
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = 2x + y trên miền đa giác có các đỉnh A(0;0), B(2;0), C(2;1), D(0;1).
Giải:
So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của F là 5 tại C(2;1) và giá trị nhỏ nhất của F là 0 tại A(0;0).
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:
Toan9.edu.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác. Chúc bạn học tập tốt!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
