Bài học này sẽ giúp bạn nắm vững các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0°, 30°, 45°, 60°, 90° và mối quan hệ giữa sin, cos, tan, cot của hai góc bù nhau, hai góc đối nhau và hai góc phụ nhau.
Hiểu rõ những mối quan hệ này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán lượng giác trong chương trình học lớp 9 và các lớp trên.
Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc đặc biệt (bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém (pi ), hơn kém (frac{pi }{2}), …)
1. Lý thuyết
+ Hai góc đối nhau \(\alpha \) và \( - \alpha \)
\(\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \); | \(\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \) |
\(\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \); | \(\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc phụ nhau \(\alpha \) và \({90^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
+ Hai góc bù nhau \(\alpha \) và \({180^ \circ } - \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({90^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\tan \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cot \alpha \) |
\(\cos \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\cot \left( {{{90}^ \circ } + \alpha } \right) = - \tan \alpha \) |
+ Hai góc \(\alpha \) và \({180^ \circ } + \alpha \)
\(\sin \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \sin \alpha \); | \(\tan \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = - \cos \alpha \); | \(\cot \left( {{{180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
Chú ý: Với \(k \in \mathbb{Z}\), ta có:
\(\sin \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \sin \alpha \); | \(\tan \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \tan \alpha \) |
\(\cos \left( {2k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cos \alpha \); | \(\cot \left( {k{{.180}^ \circ } + \alpha } \right) = \cot \alpha \) |
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, khi đó ta có
\(\sin A = \sin ({180^ \circ } - A) = \sin (B + C)\)
\(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^ \circ } - \frac{A}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
Ví dụ 2. Tính các giá trị lượng giác \(\sin {570^ \circ },\cos ( - {1035^ \circ }),\tan ({1500^ \circ }).\)
\(\begin{array}{l}\sin {570^ \circ } = \sin ({360^ \circ } + {180^ \circ } + {30^ \circ }) = \sin ({180^ \circ } + {30^ \circ }) = - \sin {30^ \circ } = - \frac{1}{2}\\\cos ( - {1035^ \circ }) = \cos ( - {3.2.180^ \circ } + {45^ \circ }) = \cos ({45^ \circ }) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\tan ({1500^ \circ }) = \tan ({8.180^ \circ } + {60^ \circ }) = \tan ({60^ \circ }) = \sqrt 3 .\end{array}\)
Lượng giác là một nhánh quan trọng của toán học, đặc biệt trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các góc và cạnh của tam giác. Trong chương trình lớp 9, học sinh được giới thiệu về các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, bao gồm 0°, 30°, 45°, 60° và 90°. Việc nắm vững các giá trị này và mối quan hệ giữa chúng là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác.
Dưới đây là bảng tổng hợp các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
| Góc (α) | sin α | cos α | tan α | cot α |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | Không xác định |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | Không xác định | 0 |
Hai góc α và 180° - α được gọi là hai góc bù nhau. Giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau có các mối quan hệ sau:
Hai góc α và -α được gọi là hai góc đối nhau. Giữa các giá trị lượng giác của hai góc đối nhau có các mối quan hệ sau:
Hai góc α và 90° - α được gọi là hai góc phụ nhau. Giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau có các mối quan hệ sau:
Các quan hệ lượng giác này có ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán lượng giác, đặc biệt là trong việc đơn giản hóa biểu thức và tìm giá trị của các góc không đặc biệt. Ví dụ, nếu chúng ta cần tính sin(150°), chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa các góc bù nhau để tính sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2.
Việc nắm vững các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt và các mối quan hệ giữa chúng là nền tảng quan trọng để học tốt môn toán lớp 9 và các lớp trên. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
