giải bài tập sgk giải tích 12 nâng cao: căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 17. Tìm các căn bậc hai của số phức sau: \( – i\); \(4i\); \( – 4\); \(1 + 4\sqrt 3 i.\)

Lời giải:

Gọi \(z = x + yi\) là căn bậc hai của \( – i\), ta có: \({z^2} = – i.\)

\( \Leftrightarrow {(x + yi)^2} = – i\) \( \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = – i.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} – {y^2} = 0}\\

{2xy = – 1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = \pm y}\\

{y = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(z = \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\) và \(z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i.\)

Tương tự:

\(4i\) có hai căn bậc hai là \(z = \sqrt 2 + \sqrt 2 i\) và \(z = – \sqrt 2 – \sqrt 2 i.\)

\( – 4\) có hai căn bậc hai là \(z = 2i\) và \(z = – 2i.\)

\(1 + 4\sqrt 3 i\) có hai căn bậc hai là \(z = – 2 + \sqrt 3 i\) và \(z = 2 – \sqrt 3 i.\)

Bài 18. Chứng minh rằng nếu \(z\) là một căn bậc hai của số phức \(w\) thì \(|z| = \sqrt {|w|} .\)

Lời giải:

Giả sử \(w = a + bi\) có một căn bậc hai là \(z = x + yi.\)

Vì \(z\) là một căn bậc hai của \(w\) nên \({z^2} = w.\)

\( \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + 2xyi = a + bi\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{x^2} – {y^2} = a}\\

{2xy = b}

\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\left( {{x^4} – 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = {a^2}}\\

{4{x^2}{y^2} = {b^2}}

\end{array}} \right..\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2}.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = {x^2} + {y^2}\) \( \Leftrightarrow |w| = |z{|^2}\) \( \Leftrightarrow |z| = \sqrt {|w|} \) (điều phải chứng minh).

Bài 19. Giải các phương trình bậc hai sau:

a) \({z^2} = z + 1.\)

b) \({z^2} + 2z + 5 = 0.\)

c) \({z^2} + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.\)

Lời giải:

a) \({z^2} = z + 1\) \( \Leftrightarrow {z^2} – z – 1 = 0\), có \(\Delta = 5.\)

\( \Rightarrow z = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\) Vậy phương trình có hai nghiệm là \(z = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)

b) \({z^2} + 2z + 5 = 0\), có \(\Delta = – 16 = 16{i^2} = {(4i)^2}.\)

\( \Rightarrow {z_1} = \frac{{ – 2 – 4i}}{2} = – 1 – 2i\) và \({z_2} = \frac{{ – 2 + 4i}}{2} = – 1 + 2i.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({z_1} = – 1 – 2i\) và \({z_2} = – 1 + 2i.\)

c) \({z^2} + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.\)

Ta có \(\Delta = {(1 – 3i)^2} + 8(1 + i) = 2i.\)

\(\Delta \) có hai căn bậc hai là: \({\delta _1} = 1 + i\) và \({\delta _2} = – 1 – i.\)

Nên phương trình đã cho có hai nghiệm là:

\({z_1} = \frac{{ – (1 – 3i) + 1 + i}}{2} = 2i\) và \({z_2} = \frac{{ – (1 – 3i) – 1 – i}}{2} = – 1 + i.\)

Bài 20.

a) Hỏi công thức Vi-et về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(4 – i\) và tích của chúng bằng \(5(1 – i).\)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + C = 0\) (\(B\), \(C\) là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số \(B\), \(C\) là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Lời giải:

a) Định lí Vi-et vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức.

Giả sử phương trình: \(A{z^2} + Bz + C = 0\) (\(A \ne 0\), \(A,B,C \in C\)) có hai nghiệm: \({z_1} = \frac{{ – B + \delta }}{{2A}}\), \({z_2} = \frac{{ – B – \delta }}{{2A}}\) với \(\delta \) là một căn bậc hai của biệt số \(\Delta = {B^2} – 4AC.\)

Ta có:

\({z_1} + {z_2} = \frac{{ – B}}{A}.\)

\({z_1}.{z_2} = \frac{{( – B + \delta )( – B – \delta )}}{{4{A^2}}}\) \( = \frac{{{B^2} – \Delta }}{{4{A^2}}}\) \( = \frac{{{B^2} – {B^2} + 4AC}}{{4{A^2}}}\) \( = \frac{C}{A}.\)

b) Theo định lí Vi-et thì hai số phức đó là nghiệm của phương trình:

\({z^2} – (4 – i)z + 5(1 – i) = 0\) \((*).\)

Ta có \(\Delta = {(4 – i)^2} – 20(1 – i)\) \( = – 5 + 12i.\)

\(\Delta \) có một căn bậc hai là \(\delta = 2 + 3i\) nên \((*)\) có hai nghiệm là:

\({z_1} = \frac{{(4 – i) + (2 + 3i)}}{2} = 3 + i\) và \({z_2} = \frac{{(4 – i) + (2 + 3i)}}{2} = 1 – 2i.\)

Vậy hai số cần tìm là: \(3 + i\) và \(1 – 2i.\)

c) Giả sử phương trình: \({z^2} + Bz + C = 0\) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực sau đây: \({z_1} = a + bi\), \({z_2} = a – bi\) với \(b \ne 0\), \(a,b \in R.\)

Vì \({z_1}\), \({z_2}\) là nghiệm của phương trình: \({z^2} + Bz + C = 0\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z_1^2 + B{z_1} + C = 0}\\

{z_2^2 + B{z_2} + C = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{(a + bi)}^2} + B(a + bi) + C = 0}\\

{{{(a – bi)}^2} + B(a – bi) + C = 0}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{a^2} – {b^2} + 2abi + B(a + bi) + C = 0\,\,(1)}\\

{{a^2} + {b^2} – 2abi + B(a – bi) + C = 0\,\,(2)}

\end{array}} \right..\)

Cộng vế với vế của \((1)\) và \((2)\) ta được:

\(2{a^2} + 2aB + 2C = 0\) \( \Leftrightarrow {a^2} + aB + C = 0\) \( \Rightarrow c = – \left( {{a^2} + aB} \right).\)

Thay vào \((1)\) ta được:

\((1) \Leftrightarrow {a^2} – {b^2} + 2abi\) \( + B(a + bi) – \left( {{a^2} + aB} \right) = 0.\)

\( \Leftrightarrow – {b^2} + 2abi + bBi = 0.\)

\( \Leftrightarrow – b + 2ai + Bi = 0\) (vì \(b \ne 0\)).

\( \Leftrightarrow B = \frac{{b – 2ai}}{i} = – 2a – bi.\)

Vì \(b \ne 0\) nên \(B = – 2a – bi\) không thể là một số thực, vậy điều khẳng định: \(B\) và \(C\) là hai số thực là sai.

Điều ngược lại: Nếu \(B\), \(C\) là hai số thực thì phương trình \({z^2} + Bz + C = 0\) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực là sai, chẳng hạn phương trình \({z^2} + 2z – 3 = 0\) có hai nghiệm là \(z = 1\) và \(z = -3.\)

Bài 21.

a) Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} – 2iz – 1} \right) = 0.\)

b) Tìm số phức \(B\) để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng \(8.\)

Lời giải:

a) Phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} – 2iz – 1} \right) = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{z^2} + i = 0}\\

{{z^2} – 2iz – 1 = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{z^2} + i = 0}\\

{{{(z – i)}^2} = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z = \frac{{ \pm \sqrt 2 }}{2}(1 + i)}\\

{z = i}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: \(z = i\), \(z = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\), \(z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i.\)

b) Theo bài ra ta có: \(z_1^2 + z_2^2 = 8\) \( \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} – 2{z_1}{z_2} = 8.\)

\( \Leftrightarrow {B^2} – 6i = 8\) (vì theo Vi-et \({{z_1} + {z_2} = – B}\), \({{z_1}{z_2} = 3i}\)).

\( \Leftrightarrow {B^2} = 6i + 8\), vậy \(B\) là căn bậc hai của \(6i + 8.\)

Số \(6i + 8\) có hai căn bậc hai là: \(3 + i\) và \(-3 – i.\)

Vậy \(B = 3 + i\) hoặc \(B = -3 – i.\)

Đáp số: có hai số \(B\) thỏa mãn bài toán là \(B = 3 + i\), \(B = – 3 – i.\)

Bài 22. Đố vui: Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của \(-1\) là \(\sqrt { – 1} \) và tính \(\sqrt { – 1} .\sqrt { – 1} \) như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của \(-1\) thì \(\sqrt { – 1} .\sqrt { – 1} = – 1.\)

b) Theo tính chất của căn bậc hai (tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì:

\(\sqrt { – 1} .\sqrt { – 1} \) \( = \sqrt {( – 1).( – 1)} \) \( = \sqrt 1 = 1.\)

Từ đó, học sinh đó suy ra \(-1 = 1.\)

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Lời giải:

1) Trước hết không nên kí hiệu \(\sqrt { – 1} \) là một căn bậc hai của \(-1\), bởi vì trong phần lí thuyết ta đã biết số \(-1\) có đúng hai căn bậc hai là: \(\sqrt { – ( – 1)} i\) và \( – \sqrt { – ( – 1)} i.\) Kí hiệu \(\sqrt a \) chỉ nên để chỉ: “Giá trị không âm của căn bậc hai của số thực không âm \(a\)” mà thôi.

2) Sai lầm chính là ở điểm b. Học sinh đó đã xem “kí hiệu mới” của mình: \(\sqrt { – 1} \) như là căn bậc hai số học của một số thực không âm, mặc dù rằng \(\sqrt { – 1} \) không phải là một số thực (học sinh đó dùng \(\sqrt { – 1} \) để chỉ số ảo \(i\) hoặc số ảo \(-i\)) và kí hiệu mới \(\sqrt { – 1} \) của học sinh đó cũng không có tính chất tương tự như tính chất của \(\sqrt a \) (với \(a\) là số thực không âm) mà bằng chứng là chính mâu thuẫn tìm được trong b.

3) Một sai lầm nữa phải được nhắc đến đó là: tính chất trong b: “Tích của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của hai số đó” là một phát biểu sai, chẳng hạn:

Ví dụ 1:

Số \(2\) là một căn bậc hai của số \(4.\)

Số \(-3\) là một căn bậc hai của số \(9.\)

Số \(6\) là một căn bậc hai của số \(4.9.\)

Theo tính chất trên thì: \(2(-3) = 6\), đương nhiên sai.

Ví dụ 2:

Số \(i\) là một căn bậc hai của số \(-1.\)

Số \(i + 1\) là một căn bậc hai của số \(2i.\)

Số \(i – 1\) là một căn bậc hai của số: \(-1.2i.\)

Theo tính chất trên thì:

\(i(i + 1) = 1 – i\) \( \Leftrightarrow – 1 + i = 1 – i.\) Sai bản chất của sai lầm của biến đổi trong b không phải do sai trong ý 3 mà do sai trong ý 2. Nhưng sai lầm trong ý 3 cũng cần phải tránh.

4) Cần giải thích thêm sự phân tích trong 2 như sau:

Tính chất: Nếu \(x\), \(y\) là các số thực không âm thì: \(\sqrt x .\sqrt y = \sqrt {x.y} .\)

Khi kí hiệu \(\sqrt { – 1} .\sqrt { – 1} = \sqrt {( – 1)( – 1)} = 1\), nghĩa là đã xem số \(-1\) thỏa mãn tính chất: \( – 1 \ge 0.\)

Con đường dẫn đến sai lầm của học sinh đó (có lẽ) diễn ra như sự phân tích trong ý 4.

LUYỆN TẬP

Bài 23. Giải phương trình \(z + \frac{1}{z} = k\) trong các trường hợp sau:

a) \(k = 1.\)

b) \(k = \sqrt 2 .\)

c) \(k = 2i.\)

Lời giải:

a) Khi \(k = 1\) ta có phương trình: \(z + \frac{1}{z} = 1\), điều kiện \(z \ne 0.\)

Phương trình \( \Leftrightarrow {z^2} – z + 1 = 0\), có \(\Delta = 1 – 4 = – 3 = {(\sqrt 3 .i)^2}.\)

Suy ra \({z_1} = \frac{{1 – \sqrt 3 i}}{2} = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\), \({z_2} = \frac{{1 + \sqrt 3 i}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)

b) Khi \(k = \sqrt 2 \) ta có phương trình: \({z^2} – \sqrt 2 .z + 1 = 0.\)

Có \(\Delta = 2 – 4\) \( = – 2 = {(\sqrt 2 .i)^2}.\)

Suy ra \({z_1} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt 2 i}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\), \({z_2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 2 i}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i.\)

c) Khi \(k = 2i\) ta có phương trình: \({z^2} – 2iz + 1 = 0.\)

Có \(\Delta = {(2i)^2} – 4\) \( = – 8 = {(2\sqrt 2 .i)^2}.\)

Nên suy ra \({z_1} = \frac{{2i – 2\sqrt 2 i}}{2} = (1 – \sqrt 2 )i\), \({z_2} = \frac{{2i + 2\sqrt {2i} }}{2} = (1 + \sqrt 2 )i.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \((1 – \sqrt 2 )i\) và \((1 + \sqrt 2 )i.\)

Bài 24. Giải các phương trình sau và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức).

a) \({z^3} + 1 = 0.\)

b) \({z^4} – 1 = 0.\)

c) \({z^4} + 4 = 0.\)

d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1.\)

Lời giải:

a) \({z^3} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow (z + 1)\left( {{z^2} – z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow z = – 1\) và \(z = \frac{{1 \pm \sqrt 3 }}{2}i{\rm{ }}.\)

b) \({z^4} – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow (z – 1)(z + 1)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow z = \pm 1\) và \(z = \pm i.\)

c) \({z^4} + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {{z^2}} \right)^2} – {(2i)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{z^2} – 2i} \right)\left( {{z^2} + 2i} \right) = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{z^2} = 2i}\\

{{z^2} = – 2i}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z = \pm (1 + i)}\\

{z = \pm (1 – i)}

\end{array}} \right..\)

d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\) \( \Leftrightarrow 8{z^3}(z + 1) = z + 1\) \( \Leftrightarrow (z + 1)\left( {8{z^3} – 1} \right) = 0.\)

\( \Leftrightarrow (z + 1)(2z – 1)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z = – 1}\\

{z = \frac{1}{2}}\\

{4{z^2} + 2z + 1 = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z = – 1}\\

{z = \frac{1}{2}}\\

{z = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 i}}{4}}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình có \(4\) nghiệm là: \( – 1\); \(\frac{1}{2}\); \(\frac{{ – 1 + \sqrt 3 i}}{4}\); \(\frac{{ – 1 – \sqrt 3 i}}{4}.\)

Bài 25.

a) Tìm các số thực \(b\), \(c\) để phương trình (với ẩn \(z\)): \({z^2} + bz + c = 0\) nhận \(z = 1 + i\) làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực \(a\), \(b\), \(c\) để phương trình (với ẩn \(z\)): \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) nhận \(z = 1 + i\) làm nghiệm và cũng nhận \(z = 2\) làm nghiệm.

Lời giải:

a) Vì \(z = 1 + i\) là nghiệm của: \({z^2} + bz + c = 0.\)

Nên: \({(1 + i)^2} + b(1 + i) + c = 0.\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2i – 1 + b + bi + c = 0\) \( \Leftrightarrow (b + c) + (2 + b)i = 0.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{b + c = 0}\\

{2 + b = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{c = 2}\\

{b = – 2}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(b = -2\), \(c = 2\) là giá trị cần tìm.

b) Vì \(z = 1 + i\) và \(z = 2\) là nghiệm của phương trình: \({z^3} + a{z^2} + bz + c = 0\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{(1 + i)}^3} + a{{(1 + i)}^2} + b(1 + i) + c = 0}\\

{8 + 4a + 2b + c = 0}

\end{array}} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{(b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0}\\

{8 + 4a + 2b + c = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{b + c – 2 = 0}\\

{2 + 2a + b = 0}\\

{8 + 4a + 2b + c = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{a = – 4}\\

{b = 6}\\

{c = – 4}

\end{array}} \right..\)

Vậy \(a = -4\), \(b = 6\), \(c = -4\) là giá trị cần tìm.

Bài 26.

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có:

\({(\cos \varphi + i\sin \varphi )^2} = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi .\)

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi .\) Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 – i)\) bằng hai cách nói ở câu a.

Lời giải:

a) Ta có: \({(\cos \varphi + i\sin \varphi )^2}\) \( = \left( {{{\cos }^2}\varphi – {{\sin }^2}\varphi } \right) + 2\sin \varphi .\cos \varphi .i\) \( = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi .\)

Suy ra \(\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi \) có hai căn bậc hai là: \(\cos \varphi + i\sin \varphi \) và \( – \cos \varphi – i\sin \varphi .\)

Nhận xét: Các giải này sẽ rất thuận lợi cho việc tìm căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) với \({a^2} + {b^2} = 1.\)

b) Ta có: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 – i)\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}i\) \( = \cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}.\)

Theo câu a thì số \(\cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = \cos \frac{\pi }{8} – i\sin \frac{\pi }{8}\) và \({z_2} = – \cos \frac{\pi }{8} + i\sin \frac{\pi }{8}.\)

Hay \({z_1} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} – i.\frac{{\sqrt {2 – \sqrt 2 } }}{2}\) và \({z_2} = – \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} + i.\frac{{\sqrt {2 – \sqrt 2 } }}{2}.\)