giải bài tập sgk giải tích 12 cơ bản: phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phương trình bậc hai với hệ số thực.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: \(-7\); \(-8\); \(-12\); \(-20\); \(-121.\)

Lời giải:

Căn bậc hai phức của \(-7\) là \( \pm i\sqrt 7 .\)

Căn bậc hai phức của \(-8\) là \( \pm i\sqrt 8 .\)

Căn bậc hai phức của \(-12\) là \( \pm i\sqrt {12} .\)

Căn bậc hai phức của \(-20\) là \( \pm i2\sqrt 5 .\)

Căn bậc hai phức của \(-121\) là \( \pm 11i.\)

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0.\)

b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\)

c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\)

Lời giải:

a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 3{z^2} – 2z + 1 = 0.\)

\(\Delta ‘ = {( – 1)^2} – 3.1 = – 2 < 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}.\)

b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\)

\(\Delta = 9 – 4.7.2 = – 47 < 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{ – 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}.\)

c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\)

\(\Delta = 49 – 4.5.11 = – 171 < 0.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}.\)

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\)

b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)

Lời giải:

a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\)

Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + t – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 2}\\

{t = – 3}

\end{array}.} \right.\)

Với \(t = 2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = 2\) \( \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 2 .\)

Với \(t = -3\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 3\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 3 .\)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = \sqrt 2 \), \({z_2} = – \sqrt 2 \), \({z_3} = i\sqrt 3 \) và \({z_4} = – i\sqrt 3 .\)

b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)

Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + 7t + 10 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 5}\\

{t = – 2}

\end{array}} \right..\)

Với \(t = -5\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 5\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 5 .\)

Với \(t = -2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 2\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 2 .\)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = i\sqrt 5 \), \({z_2} = – i\sqrt 5 \), \({z_3} = i\sqrt 2 \), \({z_4} = – i\sqrt 2 .\)

Bài 4. Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0.\) Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1}{z_2}\) theo các hệ số \(a\), \(b\), \(c.\)

Lời giải:

Xét phương trình bậc hai: \(a{z^2} + bz + c = 0\), \(a \ne 0\) và \(a,b,c \in R.\)

Ta có: \(\Delta = {b^2} – 4ac.\)

+ Nếu \(\Delta \ge 0\), phương trình có hai nghiệm thực \({z_1}\), \({z_2}.\) Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\)

+ Nếu \(\Delta < 0\), phương trình có hai nghiệm phức:

\({z_1} = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\), \({z_2} = \frac{{ – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}.\)

Suy ra:

\({z_1} + {z_2}\) \( = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\) \( = – \frac{b}{a}.\)

\({z_1}{z_2}\) \( = \frac{{( – b – i\sqrt {|\Delta |} )( – b + i\sqrt {|\Delta |} )}}{{4{a^2}}}\) \( = \frac{c}{a}.\)

Tóm lại: Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0.\) Ta luôn luôn có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\)

Bài 5. Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \(\overline z \) làm nghiệm.

Lời giải:

Giả sử \(z = a + bi\) và \(\bar z = a – bi\) là hai nghiệm của phương trình hệ số thực: \(A{x^2} + Bx + C = 0\) \((A \ne 0)\) \( \Leftrightarrow {x^2} – \frac{B}{A}x + \frac{C}{A} = 0.\)

Theo bài 4 ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{z + \overline z = 2a = – \frac{B}{A}}\\

{z\overline z = {a^2} + {b^2} = \frac{C}{A}}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + 2ax + {a^2} + {b^2} = 0.\)