Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 13

a) a > 0.

b) c > 0.

c) a – 2b + c = 7.

d) \(a - {b^2} + {c^3} = 10\).

a) \(\cos \alpha < 0\).

b) \({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).

c) \(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \frac{1}{3}\).

d) Giá trị biểu thức \(P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

a) \(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} \).

b) \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BG} \).

d) \(\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

a) Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh trên là 6 giờ.

b) Mốt của mẫu số liệu trên bằng 15.

c) Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là 2.

d) Độ lệch chuẩn về số giờ học thêm của 10 học sinh trên là \(\sqrt {12} \) giờ.

Đọc kĩ mệnh đề và áp dụng quy tắc sử dụng kí hiệu \(\forall \) và \(\exists \).

“Có một số nguyên” tức là tồn tại số nguyên: \(\exists x \in \mathbb{Z}\).

“Số (nguyên) bằng bình phương của chính nó”: \(x = {x^2}\).

Vậy mệnh đề đúng là “\(\exists x \in \mathbb{Z},x = {x^2}\)”.

Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng ().

\(x \in \mathbb{R}\) nên mọi số thực thỏa mãn -3 < x < 1 đều thuộc A. Tập {-3;1} chỉ có 2 giá trị nên A sai.

Với dấu “>” hoặc “<” ta dùng kí hiệu khoảng. Trong trường hợp này dùng kí hiệu nửa khoảng ở cả hai đầu mút.

Vậy A = (-3;1).

Quan sát dạng (ẩn, bậc) của bất phương trình.

Các bất phương trình ở đáp án B, C, D đều là bất phương trình bậc hai hai ẩn.

Thay tọa độ các điểm vào hệ phương trình, nếu thỏa mãn hệ điểm đó thuộc miền nghiệm.

Thay tọa độ các điểm vào hệ, chỉ có điểm (0;-2) thỏa mãn hệ.

Sử dụng định lí Cosin cho tam giác.

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos {120^o} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = {b^2} + {c^2} + bc\).

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\).

Các vecto cùng phương có giá song song với nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.

Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA} \), \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Dựng hình thỏa mãn đẳng thức trên và nhận xét.

Vì \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \) nên hai vecto trên cùng phương và \(\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} \) cùng chiều.

Khi đó A, B, C thẳng hàng và A nằm giữa B, C.

Vậy khẳng định đúng là \(\overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow a \).

Biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0.

Để hàm số trên xác định thì \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ge - 3\end{array} \right.\)

Vậy \(D = [ - 2; + \infty )\).

Áp dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

\( \Rightarrow - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \alpha \)

\( \Rightarrow \cos \alpha = - 1\)

\( \Rightarrow \alpha = {180^o}\).

Quy tròn đến hàng phần trăm là quy tròn đến chữ số thập phân thứ hai.

Xét chữ số thập phân thứ ba là 6 > 5 nên số sau khi quy tròn là 12,46.

Xác định khoảng biến thiên bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 38. Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 60.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 60 – 38 = 22.

a) a > 0.

b) c > 0.

c) a – 2b + c = 7.

d) \(a - {b^2} + {c^3} = 10\).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Tìm hệ số a, b, c bằng cách thay tọa độ các điểm vào hàm số và giải hệ.

a) Đúng. Vì đồ thị hướng bề lõm lên trên nên a > 0.

b) Sai. Vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ y = -1 < 0 nên c = -1 < 0.

c) Sai. Vì đồ thị đi qua điểm có tọa độ (2;1) và (1;-2) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}a{.2^2} + b.2 + ( - 1) = 1\\a{.1^2} + b.1 + ( - 1) = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b = 1\\a + b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(a - 2b + c = \frac{3}{2} - 2\left( { - \frac{5}{2}} \right) + ( - 1) = \frac{{11}}{2}\).

d) Sai. \(a - {b^2} + {c^3} = \frac{3}{2} - {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {( - 1)^3} = - \frac{{23}}{4}\).

a) \(\cos \alpha < 0\).

b) \({\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9}\).

c) \(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \frac{1}{3}\).

d) Giá trị biểu thức \(P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

Sử dụng kiến thức về dấu của các giá trị lượng giác của các góc.

Áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), \(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha \).

a) Sai. Có \({0^o} < \alpha < {90^o}\) suy ra \(\cos \alpha > 0\).

b) Sai. \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\).

c) Sai. Vì \(\cos \alpha > 0\) nên \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(\cos ({180^o} - \alpha ) = - \cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

d) Đúng. Ta có: \(P = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}{{2.\frac{1}{3} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{2 + 2\sqrt 2 }}\).

a) \(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} \).

b) \(\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BG} \).

d) \(\overrightarrow {MD} = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm đối với vecto, quy tắc cộng, trừ hai vecto.

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} \).

b) Sai. \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

c) Sai. \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + 2\overrightarrow {BG} \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {MD} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GD} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BG} = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} } \right)\)

\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{5}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \).

a) Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh trên là 6 giờ.

b) Mốt của mẫu số liệu trên bằng 15.

c) Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là 2.

d) Độ lệch chuẩn về số giờ học thêm của 10 học sinh trên là \(\sqrt {12} \) giờ.

a) Sử dụng công thức tính số trung bình.

b) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất.

c) Giá trị ngoại lệ nằm ngoài đoạn \([{Q_1} - 1,5{\Delta _Q};{Q_3} + 1,5{\Delta _Q}]\).

d) Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn.

a) Đúng. Số giờ học thêm trung bình của 10 học sinh là

\(\overline x = \frac{{2.1 + 3.1 + 4.2 + 5.1 + 6.2 + 7.1 + 8.1 + 15.1}}{{1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1}} = 6\) (giờ).

b) Sai. Mốt của mẫu số liệu trên là 4 và 6 vì có tần số lớn nhất (bằng 2).

c) Sai. Trung vị là \({Q_2} = \frac{{5 + 6}}{2} = 10,5\).

Tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = 4\), tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = 7\).

Khoảng tứ phân vị là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 7 - 4 = 3\).

Giá trị ngoại lệ sẽ nhỏ hơn \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 4 - 1,5.3 = - 0,5\) và lớn hơn \({Q_3} + 1,5{\Delta _Q} = 7 + 1,5.3 = 11,5\).

Vậy 15 là giá trị ngoại lệ.

d) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu:

\({s^2} = \frac{1}{{10}}\left[ {{{\left( {2 - 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {4 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 6} \right)}^2} + 2.{{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 6} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2} + {{\left( {15 - 6} \right)}^2}} \right] = 12\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(\sqrt {{s^2}} = \sqrt {12} \).

Tìm điều kiện để \(A \cap B = \emptyset \), từ đó suy ra điều kiện để \(A \cap B \ne \emptyset \) bằng cách lấy phần bù.

\(B \ne \emptyset \) khi \(2m < 3m + 1 \Rightarrow m > - 1\).

Ta có \(A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m \ge 5\\3m + 1 < 0\end{array} \right.\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \frac{5}{2}\\ - 1 < m < - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra \(A \cap B \ne \emptyset \Leftrightarrow m \in \left[ { - \frac{1}{3};\frac{5}{2}} \right)\).

Các giá trị nguyên m thỏa mãn là 0; 1; 2.

Vậy có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Gọi x và y lần lượt là số bàn và số ghế mà người thợ mộc sản xuất trong một tuần \((x,y \ge 0)\).

Để làm x cái bàn cần 6x (giờ), làm y cái ghế cần 3y (giờ). Người thợ mộc chỉ có thể làm 40 giờ/tuần nên \(6x + 3y \le 40\).

Số ghế gấp ít nhất ba lần số bàn nên \(y \ge 3x\).

Một cái bàn chiếm chỗ bằng 4 cái ghế và ta có phòng để được nhiều nhất 4 cái bàn/tuần nên \(x + \frac{4}{y} \le 4\).

Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\x + \frac{y}{4} \le 4\\x,y \ge 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}6x + 3y \le 40\\y \ge 3x\\4x + y \le 16\\x,y \ge 0\end{array} \right.\) (*).

Lợi nhuận thu được là f(x;y) = 150x + 50y (nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của f(x;y) trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ (*) là miền tứ giác OABC (kể cả biên) với \(A\left( {\frac{{16}}{7};\frac{{48}}{7}} \right)\), \(B\left( {\frac{4}{3};\frac{{32}}{2}} \right)\), \(C\left( {0;\frac{{40}}{3}} \right)\).

Thay tọa độ các điểm trên vào f(x;y) thấy \(f\left( {\frac{4}{3};\frac{{32}}{3}} \right) = \frac{{2200}}{3}\) là giá trị lớn nhất.

Như vậy người thợ này cần sản xuất 4 cái bàn và 32 cái ghế trong vòng 3 tuần để thu về số tiên lãi lớn nhất.

Ta có a + b + c = 4 + 32 + 3 = 39.

B1: Tính các góc của tam giác ABD.

B2: Tính AD bằng định lí Sin cho tam giác ABD.

B3: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CAD để tính CD.

+) \(\widehat {CAD} + \widehat {BAD} = {180^o} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^o} - \widehat {CAD} = {180^o} - {63^o} = {117^o}\).

+) Xét tam giác ABD có \(\widehat D = {180^o} - \widehat A - \widehat B = {180^o} - {117^o} - {48^o} = {15^o}\).

Áp dụng định lí Sin cho tam giác ABD: \(\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BDA}}} = \frac{{AD}}{{\sin \widehat {ABD}}}\).

Suy ra \(AD = \frac{{AB\sin \widehat {ABD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24\sin {{48}^o}}}{{\sin {{15}^o}}}\).

Xét tam giác ACD vuông tại C: \(\sin \widehat {CAD} = \frac{{CD}}{{AD}}\).

Suy ra \(CD = AD\sin \widehat {CAD} = \frac{{24\sin {{48}^o}}}{{\sin {{15}^o}}}\sin {63^o} \approx 61,4\) (m).

Sử dụng quy tắc tổng hợp lực, quy tắc hình bình hành.

Dựng hình bình hành AMBD. Vì \(\widehat {AMB} = {90^o}\) nên AMBD là hình vuông.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MD} \).

Vì vật đứng yên nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \).

Từ đó ta suy ra \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {MD} = - \overrightarrow {MC} \). Khi đó \(\left| {\overrightarrow {MD} } \right| = \left| { - \overrightarrow {MC} } \right|\) tức MD = MC.

Vì MD là đường chéo của hình vuông cạnh 100 nên \(MD = 100\sqrt 2 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} } \right| = 100\sqrt 2 \approx 141\) N.

Dựng hệ trục Oxy một cách phù hợp.

Thay tọa độ các điểm thuộc parabol vào hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) rồi tính hệ số a, b, c.

Tìm giao điểm của parabol với trục Ox và tính khoảng cách giữa hai giao điểm đó.

Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.

Gọi (P): \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

Ta có (P) đi qua các điểm I(0;4), E(2;3), F(-2;3) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b + c = 3\\4a - 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).

Từ đó suy ra (P): \(y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Hai điểm A, B là giao điểm của (P) với trục Ox nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 4\).

Do đó A(-4;0) và B(4;0). Suy ra AB = 8.

Tính phương sai dựa vào công thức.

Số học sinh trung bình các lớp khối 10 là \(\overline x = \frac{{43 + 45 + 46 + 41 + 40}}{5} = 43\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({s^2} = \frac{1}{5}\left[ {{{\left( {43 - 43} \right)}^2} + {{\left( {45 - 43} \right)}^2} + {{\left( {46 - 43} \right)}^2} + {{\left( {41 - 43} \right)}^2} + {{\left( {40 - 43} \right)}^2}} \right] = 5,2\).