Chào mừng các em học sinh lớp 10 đến với đề thi học kì 1 môn Toán chương trình Chân trời sáng tạo - Đề số 10. Đề thi này được thiết kế để giúp các em ôn luyện và đánh giá kiến thức đã học trong học kì.
toan9.edu.vn cung cấp đề thi với cấu trúc tương tự đề thi chính thức, giúp các em làm quen với dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Chúc các em ôn thi tốt!
Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề? a) Huế là một thành phố của Việt Nam. b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế. c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) \(5 + 19 = 24.\) e) \(6 + 81 = 25.\) f) Bạn có mang theo máy tính không? g) \(x + 2 = 11.\)
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
Câu 1: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề?
a) Huế là một thành phố của Việt Nam.
b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế.
c) Hãy trả lời câu hỏi này!
d) \(5 + 19 = 24.\)
e) \(6 + 81 = 25.\)
f) Bạn có mang theo máy tính không?
g) \(x + 2 = 11.\)
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 2: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a = 17658\) biết \(\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16.\)
A. 17700. B. 17800. C. 17500. D. 17600.
Câu 3: Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0.\) B. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\)
C. \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right|.\) D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} .\)
Câu 4: Lớp 10E có \(7\) học sinh giỏi Toán, \(5\) học sinh giỏi Lý, \(6\) học sinh giỏi Hóa, \(3\) học sinh giỏi cả Toán và Lý, \(4\) học sinh giỏi cả Toán và Hóa, \(2\) học sinh giỏi cả Lý và Hóa, \(1\) học sinh giỏi cả \(3\) môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10E là
A. \(9.\)B. \(10.\)C. \(18.\)D. \(28.\)
Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình: \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A. \(\left( {3;0} \right).\)B. \(\left( {3;1} \right).\)C. \(\left( {2;1} \right).\)D. \(\left( {0;0} \right).\)
Câu 6: Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y < - 2\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right..\)D. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right..\)
Câu 7: Tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,{\rm{ }}AC = 6\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
A. \(R = 3\). B. \(R = 3\sqrt 3 \). C. \(R = \sqrt 3 \). D. \(R = 6\).
Câu 8: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \({60^0}\). Tàu \(B\) chạy với tốc độ \(20\) hải lí một giờ. Tàu \(C\) chạy với tốc độ \(15\) hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
A. \(61\) hải lí.
B. \(36\) hải lí.
C. \(21\) hải lí.
D. \(18\) hải lí.
Câu 9: Tính giá trị biểu thức \(S = {\sin ^2}15^\circ + {\cos ^2}20^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\cos ^2}110^\circ \).
A. \(S = 0.\) B. \(S = 1.\) C. \(S = 2.\) D. \(S = 4.\)
Câu 10: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right).\)
A. \(P = - 1.\)B. \(P = 3{a^2}.\)C. \(P = - 3{a^2}.\)D. \(P = 2{a^2}.\)
Câu 11: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 2x} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}.\)
A.\({\rm{D}} = \left[ { - 1;3} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( { - 1;3} \right).\) C. \({\rm{D}} = ( - 1;3].\) D. \({\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].\)
Câu 12: Cho hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} + 10}}{{x + 5}}\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số:
A. \((7;1)\).B. \(( - 5;2)\).C. \((4;1,1)\).D. \((0;6)\).
Câu 13: Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Đặt \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} = \vec a;\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = \vec b\). Xác định giá trị của \(m,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n\) để \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b\).
A. \(m = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 2\) B. \(m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2\) C. \(m = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 1\) D. \(m = {\rm{\;}} - 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 1\)
Câu 14: Tam giác \(ABC\) có \(AC = 4,{\rm{ }}\widehat {BAC} = 30^\circ ,{\rm{ }}\widehat {ACB} = 75^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
A. \({S_{\Delta ABC}} = 8\). B. \({S_{\Delta ABC}} = 4\sqrt 3 \). C. \({S_{\Delta ABC}} = 4\). D. \({S_{\Delta ABC}} = 8\sqrt 3 \).
Câu 15: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a > 0)\) đồng biến trong khoảng nào sau đậy?
A. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\)B. \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).\)C. \(\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).\)D. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\)
Câu 16: Sản lượng lúa của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây: (đơn vị: tạ)
Độ lệch chuẩn là
A. 1,24 B. 1,54 C. 22,1 D. 4,70
Câu 17: Cho tập hợp \(A = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{N}\left| x \right.\) là ước chung của \(36\;{\rm{v\`a }}\;{\rm{120\} }}\). Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\).
A. \(A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}.\) B. \(A = \left\{ {1;2;4;6;8;12} \right\}.\)
C. \(A = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}.\) D. \(A = \left\{ {1;36;120} \right\}.\)
Câu 18: Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(A \cap B = B.\) B. \(A \cup B = A.\)C. \(A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.\)D. \(B\backslash A = \left\{ {0;4} \right\}.\)
Câu 19: Điểm \(M\left( {0; - 3} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\3x + 5y \le 1\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 3\\3x + 5y \le - 3\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > - 3\\3x + 5y \ge 8\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le - 3\\3x + 5y \ge 0\end{array} \right..\)
Câu 20: Giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = y--x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là
A. \({F_{\min }} = 1.\) B. \({F_{\min }} = 2.\) C. \({F_{\min }} = 3.\) D. \({F_{\min }} = 4.\)
Câu 21: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là \(\frac{5}{2}\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)?
A. \(y = {x^2} - 5x + 8\). B. \(y = 2{x^2} + 10x - 16\).
C. \(y = {x^2} - 5x\). D. \(y = - 2{x^2} + 5x + 1\).
Câu 22: Cho biết \(\tan \alpha = - 3.\) Giá trị của \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
A. \(P = \frac{4}{3}.\) B. \(P = \frac{5}{3}.\) C. \(P = - \frac{4}{3}.\) D. \(P = - \frac{5}{3}.\)
Câu 23: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow {AD} \) bằng
A. \(\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) B. \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) D. \(\frac{5}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Câu 24: Cho hai vecto \(\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b\) bất kỳ; \(\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. \(0.\vec a = 0\) B. \(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\)C. \(k.\vec 0 = \vec 0\) D. \(h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a\)
Câu 25: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6\)cm, \(BC = 10\)cm. Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. \(r = 1\) cm. B. \(r = \sqrt 2 \) cm. C. \(r = 2\) cm. D. \(r = 3\) cm.
Câu 26: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng \(x = 43{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}\) và chiều dài \(y = 63{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}\). Tính chu vi \(P\) của miếng đất đã cho.
A. \(P = 212{\rm{m}} \pm 4{\rm{m}}.\) B. \(P = 212{\rm{m}} \pm 2{\rm{m}}.\)
C. \(P = 212{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}.\) D. \(P = 212{\rm{m}} \pm 1{\rm{m}}.\)
Câu 27: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 1 1 1 2 2 2 3 3 4 20 là:
A. 1. B. 3,9. C. 19. D. 20.
Câu 28: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau
Phương trình của parabol này là
A. \(y = - {x^2} + x - 1\). B. \(y = 2{x^2} + 4x + 1\). C. \(y = {x^2} - 2x - 1\). D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\).
Câu 29: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) là:
A.
B. 
C. 
D. 
Câu 30: Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .\)
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = {a^2}.\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Phần 2: Tự luận (3 điểm)
Câu 1: Kết quả dự báo nhiệt độ cao nhất trong 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 được
cho ở bảng sau:
Ngày | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
Nhiệt độ \({(^o}C)\) | 23 | 25 | 26 | 27 | 27 | 27 | 27 | 21 | 19 | 18 |
(Nguồn: https://nchmf.gov.vn)
a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng trên.
b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.
Câu 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
a) \(|\overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
b) \(|2\overrightarrow {{\rm{MA}}} + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
c) \(|4\overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
Câu 3: Tìm parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) biết (P) có đỉnh \(I(1; - 2)\) và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.
----- HẾT -----
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
1.B | 2.D | 3.C | 4.B | 5.C | 6.C | 7.C | 8.B | 9.B | 10.D |
11.A | 12.A | 13.A | 14.B | 15.C | 16.B | 17.C | 18.A | 19.C | 20.C |
21.D | 22.D | 23.A | 24.D | 25.A | 26.C | 27.A | 28.C | 29.B | 30.C |
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
Cách giải:
Các câu c), f), g) không phải là mệnh đề
Chọn C.
Câu 2 (TH):
Cách giải:
\(\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16 \Rightarrow d = 16\)
Hàng lớn nhất của d là hàng chục nên ta làm tròn số \(a = 17658\) đến hàng trăm, kết quả là: \(17700.\)
Chọn A.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng tính chất trung điểm: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \) với O là trung điểm của AB.
Sử dụng quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Cách giải:
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \vec 0.\)
Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).
Đáp án C. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\\\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = BD\end{array} \right.\).
Đáp án D. Do \(\overrightarrow {CD} \ne \overrightarrow {CB} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right) \ne \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right).\)
Chọn D.
Câu 4 (TH):
Cách giải:
Ta dùng biểu đồ Ven để giải:
Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi Toán của lớp 10E
B là tập hợp các học sinh giỏi Lý của lớp 10E
C là tập hợp các học sinh giỏi Hóa của lớp 10E
\( \Rightarrow n(A) = 7;n(B) = 5;n(6)\)
Hơn nữa \(n(A \cap B) = 3;n(A \cap C) = 4;n(B \cap C) = 2;n(A \cap B \cap C) = 1\)
Số học sinh giỏi Toán và Lý mà không giỏi Hóa là: \(3 - 1 = 2\) (học sinh)
Số học sinh giỏi Toán và Hóa mà không giỏi Lý là: \(4 - 1 = 3\) (học sinh)
Số học sinh giỏi Lý và Hóa mà không giỏi Toán là: \(2 - 1 = 1\) (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi Toán là: \(7 - 2 - 1 - 3 = 1\) (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi Lí là: \(5 - 2 - 1 - 1 = 1\) (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi Hóa là: \(6 - 3 - 1 - 1 = 1\) (học sinh)
Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất \(1\) trong \(3\) môn là: \(1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10\)
Chọn B.
Câu 5 (TH):
Cách giải:
Ta có \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\, \Leftrightarrow \, - x + 3y - 1 > 0\).
Vì \( - 2 + 3.1 - 1 > 0\) là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ \(B\).
Chọn C.
Câu 6 (TH):
Cách giải:
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C.
Chọn điểm \(M\left( {0;1} \right)\)thử vào các hệ bất phương trình.
Xét đáp án B, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 - 2.1 > 0\\0 + 3.1 < - 2\end{array} \right.\): Sai.
Chọn D.
Câu 7 (VD):
Phương pháp:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính BC: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).
Cách giải:
Áp dụng định lí Cosin, ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)
\( = {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos {60^ \circ } = 27 \Leftrightarrow B{C^2} = 27 \Rightarrow B{C^2} + A{B^2} = A{C^2}.\)
Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = 3\)
Chọn A.
Câu 8 (TH):
Cách giải:
Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có và
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {30^2} + {40^2} - 2.30.40.\cos {60^ \circ } = 900 + 1600 - 1200 = 1300\)
Vậy \(BC = \sqrt {1300} \approx 36\)(hải lí).
Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.
Chọn B.
Câu 9 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Cách giải:
Hai góc \(15^o\) và \(75^o\) phụ nhau nên \(\sin 75^o =\cos 15^o\)
Hai góc \(20^o\) và \(110^o\) hơn kém nhau \(90^o\) nên \(\sin 20^o =-\cos 110^o\)
Do đó,
\(\begin{array}{l}S = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\sin ^2}{75^ \circ } + {\cos ^2}{110^ \circ }\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\left( { - \sin {{20}^ \circ }} \right)^2}\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + \sin {20^ \circ }^2\\ = 2\end{array}\)
Chọn C.
Câu 10 (VD):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số.
Cách giải:
Từ giả thiết suy ra \(AC = a\sqrt 2 \)
Ta có \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\)
\( = - CA.CD.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^ \circ } - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}\)
Chọn C.
Câu 11 (TH):
Phương pháp:
Cách giải:
Hàm số \(y = \sqrt {6 - 2x} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2x \ge 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le 3\)
Vậy tập xác định \(D = ( - 1;3]\)
Chọn C.
Câu 12 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào hàm số
Cách giải:
Với \(x = - 5,x = 0\)thì \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} + 10}}{{x + 5}}\) không xác định. Suy ra điểm \(( - 5;2)\) và \((0;6)\)không thuộc đồ thị hàm số
Với \(x = 4\) thì \(y = \frac{{\sqrt {4 - 3} + 10}}{{4 + 5}} = \frac{{11}}{9} \ne 1,1\). Suy ra điểm \((4;1,1)\)không thuộc đồ thị hàm số.
Với \(x = 7\) thì \(y = \frac{{\sqrt {7 - 3} + 10}}{{7 + 5}} = 1\). Suy ra điểm \((7;1)\) thuộc đồ thị hàm số.
Chọn A.
Câu 13 (TH):
Phương pháp:
Áp dụng phương pháp phân tích một vecto theo hai vecto cùng phương.
Tính chất trọng tâm của tam giác.
Cách giải:
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \vec 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} \) .
Ta có: \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \vec a - 2\vec b\)\( = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} \) \( = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB} \)
Mà \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b\) suy ra \(m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2\).
Chọn B.
Câu 14 (TH):
Cách giải:
Ta có \(\widehat {ABC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ACB}} \right) = {75^ \circ } = \widehat {ACB}\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB=AC=4.
Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = 4\)
Chọn C.
Câu 15 (NB):
Cách giải:
Với \(a > 0\), ta có bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right).\)
Chọn B.
Câu 16 (TH):
Phương pháp:
Đối với bảng phân bố tần số, phương sai được tính theo công thức:
\({s^2} = \frac{1}{N}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + {n_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}} \right]\)
Với \({n_i};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {f_i}\) lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \({x_i}\).
Cách giải:
Bảng phân số tần số:
*) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:
\(\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1{\mkern 1mu} \)(tạ)
*) Phương sai:
\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5.{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2} + 11.{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10.{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]\)\( = 1,54\) (tạ)
*) Độ lệch chuẩn
\(s = \sqrt {1,54} \approx 1,24\)
Chọn A.
Câu 17 (NB):
Phương pháp:
Liệt kê các ước chung của 36 và 120.
Cách giải:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}36 = {2^2}{.3^2}\\120 = {2^3}.3.5\end{array} \right.\). Do đó \(A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\).
Chọn A.
Câu 18 (NB):
Phương pháp:
\(A \cap B = \{ x \in A\) và \(x \in B\} .\)
\(A \cup B = \{ x \in A\) hoặc \(x \in B\} .\)
\(A\backslash B = \{ x \in A\) và \(x \notin B\} .\)
Cách giải:
Ta có: \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.\)
\(A \cap B = \{ 1;3;4\} \ne B.\)
\(A \cup B = \{ 0;1;2;3;4;6;8\} \ne A.\)
\(A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.\)
\(B\backslash A = \{ 6;8\} \ne \left\{ {0;4} \right\}.\)
Chọn C.
Câu 19 (NB):
Phương pháp:
Thay tọa độ điểm M vào từng hệ bất phương trình.
Cách giải:
Thay tọa độ \(M\left( {0; - 3} \right)\) vào biểu thức \(2x - y\)ta được: \(2.0 - ( - 3) = 3\) \( \Rightarrow \)Loại B, D.
Thay tọa độ \(M\left( {0; - 3} \right)\) vào biểu thức \(3x + 5y\)ta được: \(3.0 + 5.( - 3) = - 15\) \( \Rightarrow \)Loại C
Chọn A.
Câu 20 (TH):
Phương pháp:
Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT
Bước 2. Xác định tọa độ đỉnh của miền nghiệm
Bước 3. Tính giá trị của F tại các đỉnh. KL giá trị nhỏ nhất.
Cách giải:
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x - 2 \le 0}\\{2y - x - 4 \ge 0}\\{x + y - 5 \le 0}\end{array}} \right..\) \(\left( * \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)vẽ các đường thẳng
\(\begin{array}{l}{d_1}:y - 2x - 2 = 0,\,\,{\rm{ }}{d_2}:2y - x - 4 = 0,{\rm{ }}\\{\rm{ }}{d_3}:x + y - 5 = 0.\end{array}\)
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\) là phần mặt phẳng (tam giác \(ABC\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ \(\left( * \right)\) là
\(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;3} \right),{\rm{ }}C\left( {1;4} \right).\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;2} \right) = 2\\F\left( {2;3} \right) = 1\\F\left( {1;4} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}{F_{\min }} = 1{\rm{ }}{\rm{.}}\)
Chọn A.
Câu 21 (TH):
Cách giải:
Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là \(\frac{5}{2}\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} = 5\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5a\\a + b + c = - 4\end{array} \right.\)
\(A\left( {1; - 4} \right)\) không thuộc hàm số \(y = {x^2} - 5x + 8\)=> Loại A.
Hàm số \(y = 2{x^2} + 10x - 16\) có \(b = 10,a = 2 \Rightarrow b \ne - 5a\) => Loại B
Hàm số \(y = {x^2} - 5x\) có \(b = - 5,a = 1 \Rightarrow b = - 5a\), đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\) (TM)
Hàm số \(y = - 2{x^2} + 5x + 1\) có \(b = 5,a = - 2 \Rightarrow b \ne - 5a\) => Loại D
Chọn C.
Câu 22 (VD):
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho \(\cos \alpha \) và biểu diễn biểu thức P theo \(\tan \alpha \).
Cách giải:
Ta có \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }} = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{5}{3}\)
Chọn B.
Câu 23 (TH):
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa tích của vecto với một số, quy tắc cộng vecto để phân tích vecto.
Cách giải:
Ta có:
\(\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)
\({\mkern 1mu} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Chọn A.
Câu 24 (NB):
Phương pháp:
Áp dụng các tính chất của phép nhân véctơ với một số.
Cách giải:
Với \(\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b\) tùy ý; \(\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}\) ta có:
+) \(0.\vec a = 0\) là đáp án sai vì \(0.\vec a = \vec 0\).
+) \(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\) (đúng)
+) \(k.\vec 0 = \vec 0\) (đúng)
+) \(h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a\) (đúng)
Chọn A.
Câu 25 (NB):
Cách giải:
Dùng Pitago tính được \(AC = 8\), suy ra \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 12\)
Diện tích tam giác vuông \(S = \frac{1}{2}AB.AC = 24\) .Lại có \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p}2cm\)
Chọn C.
Câu 26 (TH):
Cách giải:
Chu vi của miếng đất là
\(P = 2\left[ {x + y} \right] = 2.\left[ {\left( {43 \pm 0,5} \right) + \left( {63 \pm 0,5} \right)} \right]\)
\( = 2.\left[ {\left( {43 + 63} \right) \pm \left( {0,5 + 0,5} \right)} \right] = 212 \pm 2.\)
Chọn B.
Câu 27 (TH):
Phương pháp:
Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Cách giải:
Giá trị lớn nhất là 20
Giá trị nhỏ nhất là 1
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 20 - 1 = 19\)
Chọn C.
Câu 28 (TH):
Cách giải:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(c = - 1\).
Tọa độ đỉnh \(I\left( {1\,\,;\, - 2} \right)\), ta có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\).
Vậy parabol cần tìm là: \(y = {x^2} - 2x - 1\).
Chọn C.
Câu 29 (TH):
Cách giải:
Hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) có \(a = - 1 < 0\), nên loại C,D.
Hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2\)
Chọn B.
Câu 30 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
Cách giải:
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat B\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^ \circ }\)
Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = AB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn C.
Phần 2: Tự luận (4 điểm)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
a)
* Số trung bình của mẫu số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ....,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_n}\) kí hiệu là \(\bar x\), được tính bằng công thức:
\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_2} + {m_2}{x_2} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\)
Trong đó mk là tần số của giá trị xk và \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\).
Cách giải:
a) Mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng là:
23 25 26 27 27 27 27 21 19 18
b)
* Nhiệt độ trung bình của 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 là:
\(\bar x = \frac{{23 + 25 + 26 + 27 + 27 + 27 + 27 + 21 + 19 + 18}}{{10}} = 24\) (\(^oC\))
* Phương sai
\({s^2} = \frac{1}{{10}}({23^2} + {25^2} + {26^2} + {4.27^2} + {21^2} + {19^2} + {18^2}) - {24^2} = 11,2\)
* Độ lệch chuẩn
\(s = \sqrt {11,2} \approx 3,35\)
Câu 2 (VD):
Cách giải:
a) Gọi I là trung điểm \({\rm{BC}}\) ta có:
\(|\overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} | \Leftrightarrow {\rm{ }}|\overrightarrow {{\rm{MI}}} | = |\overrightarrow {{\rm{CB}}} | \Leftrightarrow {\rm{MI}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Vậy tập hợp điểm \({\rm{M}}\) là đường tròn tâm \({\rm{I}}\), bán kính \({\rm{R}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\).
b) Gọi \({\rm{K}}\) là điểm thoả mān:
L là điểm thoả mān: \(3\overrightarrow {{\rm{LB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{LC}}} = \vec 0\)
Ta có: \(|2\overrightarrow {{\rm{MA}}} + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
\( \Leftrightarrow |5\overrightarrow {{\rm{MK}}} | = |5\overrightarrow {{\rm{ML}}} | \Leftrightarrow {\rm{MK}} = {\rm{ML}}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \({\rm{M}}\) là đường trung trực của đoạn thẳng \({\rm{KL}}\).
c) Với I là trung điểm của \({\rm{BC}}\). Gọi \({\rm{J}}\) là điểm thoả mān: \(4\overrightarrow {{\rm{JA}}} + \overrightarrow {{\rm{JB}}} + \overrightarrow {{\rm{JC}}} = \vec 0\)
Ta có:
\(|4\overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
\( \Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - 2\overrightarrow {{\rm{MI}}} | \Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{IA}}} | \Leftrightarrow {\rm{MJ}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}} = \) const
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \({\rm{J}}\) bán kính \({\rm{R}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}}\).
Câu 3 (VD):
Cách giải:
Parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) giao với Oy tại điểm có tọa độ \((0;c)\), do đó \(c = - 1\)
(P) có hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b = - 2a\)
Điểm \(I(1; - 2)\) thuộc (P) nên \(a{.1^2} + b.1 - 1 = - 2\) hay \(a + b = - 1\)
Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\b = - 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\a = 1\end{array} \right.\)
Vậy parabol cần tìm là \(y = {x^2} - 2x - 1\)
* Vẽ parabol
Đỉnh \(I(1; - 2)\)
Trục đối xứng \(x = 1\)
Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(2;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng
Lấy điểm C(-1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.
Tải về
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
Câu 1: Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là không phải là mệnh đề?
a) Huế là một thành phố của Việt Nam.
b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế.
c) Hãy trả lời câu hỏi này!
d) \(5 + 19 = 24.\)
e) \(6 + 81 = 25.\)
f) Bạn có mang theo máy tính không?
g) \(x + 2 = 11.\)
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 2: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a = 17658\) biết \(\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16.\)
A. 17700. B. 17800. C. 17500. D. 17600.
Câu 3: Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0.\) B. \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\)
C. \(\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right|.\) D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} .\)
Câu 4: Lớp 10E có \(7\) học sinh giỏi Toán, \(5\) học sinh giỏi Lý, \(6\) học sinh giỏi Hóa, \(3\) học sinh giỏi cả Toán và Lý, \(4\) học sinh giỏi cả Toán và Hóa, \(2\) học sinh giỏi cả Lý và Hóa, \(1\) học sinh giỏi cả \(3\) môn Toán, Lý, Hóa. Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp 10E là
A. \(9.\)B. \(10.\)C. \(18.\)D. \(28.\)
Câu 5: Miền nghiệm của bất phương trình: \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\) là nửa mặt phẳng chứa điểm:
A. \(\left( {3;0} \right).\)B. \(\left( {3;1} \right).\)C. \(\left( {2;1} \right).\)D. \(\left( {0;0} \right).\)
Câu 6: Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \ge - 2\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 0\\x + 3y < - 2\end{array} \right..\) C. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\x + 3y \le - 2\end{array} \right..\)D. \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right..\)
Câu 7: Tam giác \(ABC\) có \(AB = 3,{\rm{ }}AC = 6\) và \(\widehat A = 60^\circ \). Tính bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
A. \(R = 3\). B. \(R = 3\sqrt 3 \). C. \(R = \sqrt 3 \). D. \(R = 6\).
Câu 8: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí \(A\), đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc \({60^0}\). Tàu \(B\) chạy với tốc độ \(20\) hải lí một giờ. Tàu \(C\) chạy với tốc độ \(15\) hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?
Kết quả gần nhất với số nào sau đây?
A. \(61\) hải lí.
B. \(36\) hải lí.
C. \(21\) hải lí.
D. \(18\) hải lí.
Câu 9: Tính giá trị biểu thức \(S = {\sin ^2}15^\circ + {\cos ^2}20^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\cos ^2}110^\circ \).
A. \(S = 0.\) B. \(S = 1.\) C. \(S = 2.\) D. \(S = 4.\)
Câu 10: Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right).\)
A. \(P = - 1.\)B. \(P = 3{a^2}.\)C. \(P = - 3{a^2}.\)D. \(P = 2{a^2}.\)
Câu 11: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \sqrt {6 - 2x} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}.\)
A.\({\rm{D}} = \left[ { - 1;3} \right].\) B. \({\rm{D}} = \left( { - 1;3} \right).\) C. \({\rm{D}} = ( - 1;3].\) D. \({\rm{D}} = \left[ {1;3} \right].\)
Câu 12: Cho hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} + 10}}{{x + 5}}\). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số:
A. \((7;1)\).B. \(( - 5;2)\).C. \((4;1,1)\).D. \((0;6)\).
Câu 13: Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Đặt \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} = \vec a;\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = \vec b\). Xác định giá trị của \(m,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n\) để \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b\).
A. \(m = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 2\) B. \(m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2\) C. \(m = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = 1\) D. \(m = {\rm{\;}} - 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 1\)
Câu 14: Tam giác \(ABC\) có \(AC = 4,{\rm{ }}\widehat {BAC} = 30^\circ ,{\rm{ }}\widehat {ACB} = 75^\circ \). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
A. \({S_{\Delta ABC}} = 8\). B. \({S_{\Delta ABC}} = 4\sqrt 3 \). C. \({S_{\Delta ABC}} = 4\). D. \({S_{\Delta ABC}} = 8\sqrt 3 \).
Câu 15: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a > 0)\) đồng biến trong khoảng nào sau đậy?
A. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\)B. \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).\)C. \(\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).\)D. \(\left( { - \infty ;\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\)
Câu 16: Sản lượng lúa của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây: (đơn vị: tạ)
Độ lệch chuẩn là
A. 1,24 B. 1,54 C. 22,1 D. 4,70
Câu 17: Cho tập hợp \(A = {\rm{\{ }}x \in \mathbb{N}\left| x \right.\) là ước chung của \(36\;{\rm{v\`a }}\;{\rm{120\} }}\). Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp \(A\).
A. \(A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}.\) B. \(A = \left\{ {1;2;4;6;8;12} \right\}.\)
C. \(A = \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}.\) D. \(A = \left\{ {1;36;120} \right\}.\)
Câu 18: Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(A \cap B = B.\) B. \(A \cup B = A.\)C. \(A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.\)D. \(B\backslash A = \left\{ {0;4} \right\}.\)
Câu 19: Điểm \(M\left( {0; - 3} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trìnhnào sau đây?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le 3\\3x + 5y \le 1\end{array} \right..\) B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 3\\3x + 5y \le - 3\end{array} \right..\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > - 3\\3x + 5y \ge 8\end{array} \right..\) D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y \le - 3\\3x + 5y \ge 0\end{array} \right..\)
Câu 20: Giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = y--x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là
A. \({F_{\min }} = 1.\) B. \({F_{\min }} = 2.\) C. \({F_{\min }} = 3.\) D. \({F_{\min }} = 4.\)
Câu 21: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là \(\frac{5}{2}\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)?
A. \(y = {x^2} - 5x + 8\). B. \(y = 2{x^2} + 10x - 16\).
C. \(y = {x^2} - 5x\). D. \(y = - 2{x^2} + 5x + 1\).
Câu 22: Cho biết \(\tan \alpha = - 3.\) Giá trị của \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }}\) bằng bao nhiêu?
A. \(P = \frac{4}{3}.\) B. \(P = \frac{5}{3}.\) C. \(P = - \frac{4}{3}.\) D. \(P = - \frac{5}{3}.\)
Câu 23: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \). Khi đó, vectơ \(\overrightarrow {AD} \) bằng
A. \(\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) B. \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) C. \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \) D. \(\frac{5}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Câu 24: Cho hai vecto \(\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b\) bất kỳ; \(\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. \(0.\vec a = 0\) B. \(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\)C. \(k.\vec 0 = \vec 0\) D. \(h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a\)
Câu 25: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6\)cm, \(BC = 10\)cm. Tính bán kính \(r\) của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.
A. \(r = 1\) cm. B. \(r = \sqrt 2 \) cm. C. \(r = 2\) cm. D. \(r = 3\) cm.
Câu 26: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng \(x = 43{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}\) và chiều dài \(y = 63{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}\). Tính chu vi \(P\) của miếng đất đã cho.
A. \(P = 212{\rm{m}} \pm 4{\rm{m}}.\) B. \(P = 212{\rm{m}} \pm 2{\rm{m}}.\)
C. \(P = 212{\rm{m}} \pm 0,5{\rm{m}}.\) D. \(P = 212{\rm{m}} \pm 1{\rm{m}}.\)
Câu 27: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 1 1 1 2 2 2 3 3 4 20 là:
A. 1. B. 3,9. C. 19. D. 20.
Câu 28: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau
Phương trình của parabol này là
A. \(y = - {x^2} + x - 1\). B. \(y = 2{x^2} + 4x + 1\). C. \(y = {x^2} - 2x - 1\). D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\).
Câu 29: Bảng biến thiên của hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) là:
A.
B. 
C. 
D. 
Câu 30: Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} .\)
A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = {a^2}.\) B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}.\) D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}.\)
Phần 2: Tự luận (3 điểm)
Câu 1: Kết quả dự báo nhiệt độ cao nhất trong 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 được
cho ở bảng sau:
Ngày | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
Nhiệt độ \({(^o}C)\) | 23 | 25 | 26 | 27 | 27 | 27 | 27 | 21 | 19 | 18 |
(Nguồn: https://nchmf.gov.vn)
a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng trên.
b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.
Câu 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
a) \(|\overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
b) \(|2\overrightarrow {{\rm{MA}}} + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
c) \(|4\overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
Câu 3: Tìm parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) biết (P) có đỉnh \(I(1; - 2)\) và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.
----- HẾT -----
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)
1.B | 2.D | 3.C | 4.B | 5.C | 6.C | 7.C | 8.B | 9.B | 10.D |
11.A | 12.A | 13.A | 14.B | 15.C | 16.B | 17.C | 18.A | 19.C | 20.C |
21.D | 22.D | 23.A | 24.D | 25.A | 26.C | 27.A | 28.C | 29.B | 30.C |
Câu 1 (NB):
Phương pháp:
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
Cách giải:
Các câu c), f), g) không phải là mệnh đề
Chọn C.
Câu 2 (TH):
Cách giải:
\(\bar a = 17658\,\, \pm \,\,16 \Rightarrow d = 16\)
Hàng lớn nhất của d là hàng chục nên ta làm tròn số \(a = 17658\) đến hàng trăm, kết quả là: \(17700.\)
Chọn A.
Câu 3 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng tính chất trung điểm: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \) với O là trung điểm của AB.
Sử dụng quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Cách giải:
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) = \vec 0.\)
Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc hình bình hành).
Đáp án C. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\\\left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = BD\end{array} \right.\).
Đáp án D. Do \(\overrightarrow {CD} \ne \overrightarrow {CB} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right) \ne \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right).\)
Chọn D.
Câu 4 (TH):
Cách giải:
Ta dùng biểu đồ Ven để giải:
Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi Toán của lớp 10E
B là tập hợp các học sinh giỏi Lý của lớp 10E
C là tập hợp các học sinh giỏi Hóa của lớp 10E
\( \Rightarrow n(A) = 7;n(B) = 5;n(6)\)
Hơn nữa \(n(A \cap B) = 3;n(A \cap C) = 4;n(B \cap C) = 2;n(A \cap B \cap C) = 1\)
Số học sinh giỏi Toán và Lý mà không giỏi Hóa là: \(3 - 1 = 2\) (học sinh)
Số học sinh giỏi Toán và Hóa mà không giỏi Lý là: \(4 - 1 = 3\) (học sinh)
Số học sinh giỏi Lý và Hóa mà không giỏi Toán là: \(2 - 1 = 1\) (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi Toán là: \(7 - 2 - 1 - 3 = 1\) (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi Lí là: \(5 - 2 - 1 - 1 = 1\) (học sinh)
Số học sinh chỉ giỏi Hóa là: \(6 - 3 - 1 - 1 = 1\) (học sinh)
Nhìn vào biểu đồ, số học sinh giỏi ít nhất \(1\) trong \(3\) môn là: \(1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 10\)
Chọn B.
Câu 5 (TH):
Cách giải:
Ta có \(3x + 2\left( {y + 3} \right) > 4\left( {x + 1} \right) - y + 3\, \Leftrightarrow \, - x + 3y - 1 > 0\).
Vì \( - 2 + 3.1 - 1 > 0\) là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ \(B\).
Chọn C.
Câu 6 (TH):
Cách giải:
Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại đáp án A và C.
Chọn điểm \(M\left( {0;1} \right)\)thử vào các hệ bất phương trình.
Xét đáp án B, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}0 - 2.1 > 0\\0 + 3.1 < - 2\end{array} \right.\): Sai.
Chọn D.
Câu 7 (VD):
Phương pháp:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính BC: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).
Cách giải:
Áp dụng định lí Cosin, ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)
\( = {3^2} + {6^2} - 2.3.6.\cos {60^ \circ } = 27 \Leftrightarrow B{C^2} = 27 \Rightarrow B{C^2} + A{B^2} = A{C^2}.\)
Suy ra tam giác ABC vuông tại B do đó bán kính \(R = \frac{{AC}}{2} = 3\)
Chọn A.
Câu 8 (TH):
Cách giải:
Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có và
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A = {30^2} + {40^2} - 2.30.40.\cos {60^ \circ } = 900 + 1600 - 1200 = 1300\)
Vậy \(BC = \sqrt {1300} \approx 36\)(hải lí).
Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.
Chọn B.
Câu 9 (TH):
Phương pháp:
Sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).
Cách giải:
Hai góc \(15^o\) và \(75^o\) phụ nhau nên \(\sin 75^o =\cos 15^o\)
Hai góc \(20^o\) và \(110^o\) hơn kém nhau \(90^o\) nên \(\sin 20^o =-\cos 110^o\)
Do đó,
\(\begin{array}{l}S = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\sin ^2}{75^ \circ } + {\cos ^2}{110^ \circ }\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\left( { - \sin {{20}^ \circ }} \right)^2}\\ = {\sin ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{15^ \circ } + {\cos ^2}{20^ \circ } + \sin {20^ \circ }^2\\ = 2\end{array}\)
Chọn C.
Câu 10 (VD):
Phương pháp:
Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số.
Cách giải:
Từ giả thiết suy ra \(AC = a\sqrt 2 \)
Ta có \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\)
\( = - CA.CD.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^ \circ } - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}\)
Chọn C.
Câu 11 (TH):
Phương pháp:
Cách giải:
Hàm số \(y = \sqrt {6 - 2x} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2x \ge 0\\x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le 3\)
Vậy tập xác định \(D = ( - 1;3]\)
Chọn C.
Câu 12 (TH):
Phương pháp:
Thay tọa độ các điểm vào hàm số
Cách giải:
Với \(x = - 5,x = 0\)thì \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} + 10}}{{x + 5}}\) không xác định. Suy ra điểm \(( - 5;2)\) và \((0;6)\)không thuộc đồ thị hàm số
Với \(x = 4\) thì \(y = \frac{{\sqrt {4 - 3} + 10}}{{4 + 5}} = \frac{{11}}{9} \ne 1,1\). Suy ra điểm \((4;1,1)\)không thuộc đồ thị hàm số.
Với \(x = 7\) thì \(y = \frac{{\sqrt {7 - 3} + 10}}{{7 + 5}} = 1\). Suy ra điểm \((7;1)\) thuộc đồ thị hàm số.
Chọn A.
Câu 13 (TH):
Phương pháp:
Áp dụng phương pháp phân tích một vecto theo hai vecto cùng phương.
Tính chất trọng tâm của tam giác.
Cách giải:
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \vec 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} \) .
Ta có: \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \vec a - 2\vec b\)\( = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - \overrightarrow {GB} \) \( = {\rm{\;}} - \overrightarrow {GA} {\rm{\;}} - 2\overrightarrow {GB} \)
Mà \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = m\vec a + n\vec b\) suy ra \(m = {\rm{\;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n = {\rm{\;}} - 2\).
Chọn B.
Câu 14 (TH):
Cách giải:
Ta có \(\widehat {ABC} = {180^ \circ } - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ACB}} \right) = {75^ \circ } = \widehat {ACB}\)
Suy ra tam giác ABC cân tại A nên AB=AC=4.
Diện tích tam giác ABC là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = 4\)
Chọn C.
Câu 15 (NB):
Cách giải:
Với \(a > 0\), ta có bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right).\)
Chọn B.
Câu 16 (TH):
Phương pháp:
Đối với bảng phân bố tần số, phương sai được tính theo công thức:
\({s^2} = \frac{1}{N}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + {n_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}} \right]\)
Với \({n_i};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {f_i}\) lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \({x_i}\).
Cách giải:
Bảng phân số tần số:
*) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:
\(\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1{\mkern 1mu} \)(tạ)
*) Phương sai:
\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5.{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2} + 11.{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10.{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]\)\( = 1,54\) (tạ)
*) Độ lệch chuẩn
\(s = \sqrt {1,54} \approx 1,24\)
Chọn A.
Câu 17 (NB):
Phương pháp:
Liệt kê các ước chung của 36 và 120.
Cách giải:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}36 = {2^2}{.3^2}\\120 = {2^3}.3.5\end{array} \right.\). Do đó \(A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\).
Chọn A.
Câu 18 (NB):
Phương pháp:
\(A \cap B = \{ x \in A\) và \(x \in B\} .\)
\(A \cup B = \{ x \in A\) hoặc \(x \in B\} .\)
\(A\backslash B = \{ x \in A\) và \(x \notin B\} .\)
Cách giải:
Ta có: \(A = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\},{\rm{ }}B = \left\{ {1;3;4;6;8} \right\}.\)
\(A \cap B = \{ 1;3;4\} \ne B.\)
\(A \cup B = \{ 0;1;2;3;4;6;8\} \ne A.\)
\(A\backslash B = \left\{ {0;2} \right\}.\)
\(B\backslash A = \{ 6;8\} \ne \left\{ {0;4} \right\}.\)
Chọn C.
Câu 19 (NB):
Phương pháp:
Thay tọa độ điểm M vào từng hệ bất phương trình.
Cách giải:
Thay tọa độ \(M\left( {0; - 3} \right)\) vào biểu thức \(2x - y\)ta được: \(2.0 - ( - 3) = 3\) \( \Rightarrow \)Loại B, D.
Thay tọa độ \(M\left( {0; - 3} \right)\) vào biểu thức \(3x + 5y\)ta được: \(3.0 + 5.( - 3) = - 15\) \( \Rightarrow \)Loại C
Chọn A.
Câu 20 (TH):
Phương pháp:
Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT
Bước 2. Xác định tọa độ đỉnh của miền nghiệm
Bước 3. Tính giá trị của F tại các đỉnh. KL giá trị nhỏ nhất.
Cách giải:
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x - 2 \le 0}\\{2y - x - 4 \ge 0}\\{x + y - 5 \le 0}\end{array}} \right..\) \(\left( * \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)vẽ các đường thẳng
\(\begin{array}{l}{d_1}:y - 2x - 2 = 0,\,\,{\rm{ }}{d_2}:2y - x - 4 = 0,{\rm{ }}\\{\rm{ }}{d_3}:x + y - 5 = 0.\end{array}\)
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( * \right)\) là phần mặt phẳng (tam giác \(ABC\) kể cả biên) tô màu như hình vẽ.
Xét các đỉnh của miền khép kín tạo bởi hệ \(\left( * \right)\) là
\(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {2;3} \right),{\rm{ }}C\left( {1;4} \right).\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;2} \right) = 2\\F\left( {2;3} \right) = 1\\F\left( {1;4} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{ }}{F_{\min }} = 1{\rm{ }}{\rm{.}}\)
Chọn A.
Câu 21 (TH):
Cách giải:
Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh là \(\frac{5}{2}\)và đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{a} = 5\\a + b + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5a\\a + b + c = - 4\end{array} \right.\)
\(A\left( {1; - 4} \right)\) không thuộc hàm số \(y = {x^2} - 5x + 8\)=> Loại A.
Hàm số \(y = 2{x^2} + 10x - 16\) có \(b = 10,a = 2 \Rightarrow b \ne - 5a\) => Loại B
Hàm số \(y = {x^2} - 5x\) có \(b = - 5,a = 1 \Rightarrow b = - 5a\), đi qua \(A\left( {1; - 4} \right)\) (TM)
Hàm số \(y = - 2{x^2} + 5x + 1\) có \(b = 5,a = - 2 \Rightarrow b \ne - 5a\) => Loại D
Chọn C.
Câu 22 (VD):
Phương pháp:
Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho \(\cos \alpha \) và biểu diễn biểu thức P theo \(\tan \alpha \).
Cách giải:
Ta có \(P = \frac{{6\sin \alpha - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha + 7\sin \alpha }} = \frac{{6\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{6\tan \alpha - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \frac{5}{3}\)
Chọn B.
Câu 23 (TH):
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa tích của vecto với một số, quy tắc cộng vecto để phân tích vecto.
Cách giải:
Ta có:
\(\overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BD} {\rm{\;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)
\({\mkern 1mu} = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \overrightarrow {AB} {\rm{\;}} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AD} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Chọn A.
Câu 24 (NB):
Phương pháp:
Áp dụng các tính chất của phép nhân véctơ với một số.
Cách giải:
Với \(\vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b\) tùy ý; \(\forall k,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h \in \mathbb{R}\) ta có:
+) \(0.\vec a = 0\) là đáp án sai vì \(0.\vec a = \vec 0\).
+) \(k\left( {\vec a + \vec b} \right) = k\vec a + k\vec b\) (đúng)
+) \(k.\vec 0 = \vec 0\) (đúng)
+) \(h\left( {k\vec a} \right) = \left( {hk} \right)\vec a\) (đúng)
Chọn A.
Câu 25 (NB):
Cách giải:
Dùng Pitago tính được \(AC = 8\), suy ra \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2} = 12\)
Diện tích tam giác vuông \(S = \frac{1}{2}AB.AC = 24\) .Lại có \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p}2cm\)
Chọn C.
Câu 26 (TH):
Cách giải:
Chu vi của miếng đất là
\(P = 2\left[ {x + y} \right] = 2.\left[ {\left( {43 \pm 0,5} \right) + \left( {63 \pm 0,5} \right)} \right]\)
\( = 2.\left[ {\left( {43 + 63} \right) \pm \left( {0,5 + 0,5} \right)} \right] = 212 \pm 2.\)
Chọn B.
Câu 27 (TH):
Phương pháp:
Khoảng biến thiên, kí hiệu là R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Cách giải:
Giá trị lớn nhất là 20
Giá trị nhỏ nhất là 1
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = 20 - 1 = 19\)
Chọn C.
Câu 28 (TH):
Cách giải:
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(c = - 1\).
Tọa độ đỉnh \(I\left( {1\,\,;\, - 2} \right)\), ta có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 = - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\).
Vậy parabol cần tìm là: \(y = {x^2} - 2x - 1\).
Chọn C.
Câu 29 (TH):
Cách giải:
Hàm số \(y = - {x^2} + 4x - 5\) có \(a = - 1 < 0\), nên loại C,D.
Hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{4}{{2.( - 1)}} = 2\)
Chọn B.
Câu 30 (NB):
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
Cách giải:
Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat B\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {120^ \circ }\)
Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = AB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
Chọn C.
Phần 2: Tự luận (4 điểm)
Câu 1 (VD):
Phương pháp:
a)
* Số trung bình của mẫu số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ....,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_n}\) kí hiệu là \(\bar x\), được tính bằng công thức:
\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_2} + {m_2}{x_2} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\)
Trong đó mk là tần số của giá trị xk và \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\).
Cách giải:
a) Mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng là:
23 25 26 27 27 27 27 21 19 18
b)
* Nhiệt độ trung bình của 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 là:
\(\bar x = \frac{{23 + 25 + 26 + 27 + 27 + 27 + 27 + 21 + 19 + 18}}{{10}} = 24\) (\(^oC\))
* Phương sai
\({s^2} = \frac{1}{{10}}({23^2} + {25^2} + {26^2} + {4.27^2} + {21^2} + {19^2} + {18^2}) - {24^2} = 11,2\)
* Độ lệch chuẩn
\(s = \sqrt {11,2} \approx 3,35\)
Câu 2 (VD):
Cách giải:
a) Gọi I là trung điểm \({\rm{BC}}\) ta có:
\(|\overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |\overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} | \Leftrightarrow {\rm{ }}|\overrightarrow {{\rm{MI}}} | = |\overrightarrow {{\rm{CB}}} | \Leftrightarrow {\rm{MI}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\)
Vậy tập hợp điểm \({\rm{M}}\) là đường tròn tâm \({\rm{I}}\), bán kính \({\rm{R}} = \frac{{{\rm{BC}}}}{2}\).
b) Gọi \({\rm{K}}\) là điểm thoả mān:
L là điểm thoả mān: \(3\overrightarrow {{\rm{LB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{LC}}} = \vec 0\)
Ta có: \(|2\overrightarrow {{\rm{MA}}} + 3\overrightarrow {{\rm{MB}}} | = |3\overrightarrow {{\rm{MB}}} + 2\overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
\( \Leftrightarrow |5\overrightarrow {{\rm{MK}}} | = |5\overrightarrow {{\rm{ML}}} | \Leftrightarrow {\rm{MK}} = {\rm{ML}}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \({\rm{M}}\) là đường trung trực của đoạn thẳng \({\rm{KL}}\).
c) Với I là trung điểm của \({\rm{BC}}\). Gọi \({\rm{J}}\) là điểm thoả mān: \(4\overrightarrow {{\rm{JA}}} + \overrightarrow {{\rm{JB}}} + \overrightarrow {{\rm{JC}}} = \vec 0\)
Ta có:
\(|4\overrightarrow {{\rm{MA}}} + \overrightarrow {{\rm{MB}}} + \overrightarrow {{\rm{MC}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - \overrightarrow {{\rm{MB}}} - \overrightarrow {{\rm{MC}}} |\)
\( \Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{MA}}} - 2\overrightarrow {{\rm{MI}}} | \Leftrightarrow |6\overrightarrow {{\rm{MJ}}} | = |2\overrightarrow {{\rm{IA}}} | \Leftrightarrow {\rm{MJ}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}} = \) const
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \({\rm{J}}\) bán kính \({\rm{R}} = \frac{1}{3}{\rm{IA}}\).
Câu 3 (VD):
Cách giải:
Parabol (P) \(y = a{x^2} + bx + c\) giao với Oy tại điểm có tọa độ \((0;c)\), do đó \(c = - 1\)
(P) có hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b = - 2a\)
Điểm \(I(1; - 2)\) thuộc (P) nên \(a{.1^2} + b.1 - 1 = - 2\) hay \(a + b = - 1\)
Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\b = - 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\a = 1\end{array} \right.\)
Vậy parabol cần tìm là \(y = {x^2} - 2x - 1\)
* Vẽ parabol
Đỉnh \(I(1; - 2)\)
Trục đối xứng \(x = 1\)
Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(2;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng
Lấy điểm C(-1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.
Đề thi học kì 1 Toán 10 chương trình Chân trời sáng tạo - Đề số 10 là một bài kiểm tra quan trọng, đánh giá mức độ nắm vững kiến thức và kỹ năng của học sinh sau một học kỳ học tập. Đề thi này bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, tập trung vào các chủ đề chính như tập số thực, bất phương trình, hệ bất phương trình, hàm số bậc nhất và bậc hai, và các ứng dụng của chúng.
Cấu trúc đề thi thường bao gồm:
Các dạng bài tập thường gặp trong đề thi:
Để giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0 (với a ≠ 0), ta thực hiện các bước sau:
Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho hàm số có nghĩa. Ví dụ, với hàm số y = 1/x, tập xác định là tất cả các số thực trừ 0 (x ≠ 0).
Để ôn luyện và nâng cao kiến thức, các em có thể tham khảo:
Chúc các em học sinh đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi học kì 1!
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
