toan9.edu.vn xin giới thiệu Đề thi giữa kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Cánh diều, một công cụ ôn tập hiệu quả dành cho học sinh. Đề thi được biên soạn theo chương trình học Toán 7, tập trung vào các kiến thức trọng tâm và thường xuyên xuất hiện trong đề thi chính thức.
Đề thi này không chỉ giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi mà còn rèn luyện kỹ năng giải toán, tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
I. Trắc nghiệm
1. C | 2. D | 3. B | 4. B |
5. B | 6. B | 7. B | 8. B |
Câu 1.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm cạnh còn lại. Cách giải:
Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC - BC < AB < AC + BC}\\{ \Rightarrow 8 - 1 < AB < 8 + 1}\\{ \Rightarrow 7 < AB < 9}\\{ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)}\end{array}\)
ChọnC.
Câu 2.
Phương pháp:
Quan sát biểu đồ.
Cách giải:
Theo biểu đồ ta thấy:
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1991 là 6,2%
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1994 là 6,5%
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1995 là 6,3%
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1994 là 6,5% là điểm cao nhất trên biểu đồ nên tại năm 1994 có tốc độ tăng trưởng GPD Việt Nam lớn nhất.
Chọn D.
Câu 3.
Phương pháp:
So sánh độ dài các cạnh rồi dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác để so sánh các góc với nhau. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì góc lớn hơn. Cách giải:
\(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\)
Ta có: \(AB < BC < AC\) \( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
ChọnB.
Câu 4.
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa về đa thức và tính chất tam giác cân. Cách giải:
Xét từng đáp án:
A. Số \(0\) không phải là một đa thức. Sai Vì số 0 là đa thức 0
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng. Đúng: (vẽ một tam giác cân và xác định trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh ta thấy chúng cùng nằm trên một đường thẳng)
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn. Sai Vì chúng nằm trên cùng 1 đường thẳng.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng 0. Sai Vì số 0 được gọi là đa thức không và nó là đa thức không có bậc.
Chọn B
Câu 5.
Phương pháp:
Tìm nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), ta giải phương trình \(P\left( x \right) = 0\)
Cách giải:
Ta có: \(P\left( x \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}15x - 3 = 0\\15x = 3\\\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{5}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{5}\) là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right) = 15x - 3\)
Chọn B.
Câu 6.
Phương pháp:
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
Cách giải:
Biểu thức \(2x\,;\,3y; - 1\) là các đơn thức.
Vậy có \(3\) đơn thức.
Chọn B.
Câu 7.
Phương pháp:
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó
Cách giải:
Ta có: hạng tử \({x^8}\) là có bậc cao nhất
\( \Rightarrow \) Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là: \(8\)
Câu 8.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác và sử dụng tính chất của tam giác cân (tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau).
Cách giải:
Giả sử ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat B = \widehat C.\) (tính chất tam giác cân)
Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{52}^0}}}{2} = {64^0}.\)
Chọn B
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1.
Phương pháp:
Phân tích dữ liệu biểu đồ đoạn thẳng.
Cách giải:
a) Ta có bảng số liệu sau:
Cuối năm | 1959 | 1969 | 1979 | 1989 | 1999 | 2009 | 2019 |
Dân số (tỉ người) | 2,98 | 3,63 | 4,38 | 5,24 | 6 | 6,87 | 7,71 |
b) Số người tăng lên trên thế giới trong thập kỉ 1960 – 1969 là: \(3,63 - 2,98 = 0,65\) (tỉ người)
Tương tự như trên, số người tăng lên trên thế giới trong mỗi thập kỉ 1970 – 1979; 1980 – 1989; 1990 – 1999; 2000 – 2009; 2010 – 2019 lần lượt là: 0,75; 0,86; 0,76; 0,87; 0,84 (tỉ người).
c) Trong các thập kỉ trên, dân số thế giới tăng nhiều nhất trong thập kỉ 2000 – 2009 và tăng ít nhất trong thập kỉ 1960 – 1969.
d) Dựa vào biểu đồ đoạn thẳng ở hình đã cho, ta thấy dân số thế giới sau mỗi thập kỉ đều tăng.
Bài 2.
Phương pháp:
+ Để thu gọn đa thức ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng.
+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
+ Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.
+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.
Cách giải:
a)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 3{x^2} - 2x - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3\end{array}\)
Vậy: \(P\) có bậc là \(4\); Hệ số cao nhất là \(3\); Hệ số tự do là \( - 3\)
\(\begin{array}{l}Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - 3{x^4} + {x^3} + 1,5{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\end{array}\)
Vậy: \(Q\) có bậc là \(3\); Hệ số cao nhất là \(\dfrac{5}{2}\); Hệ số tự do là \(1\)
b)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) + \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 4{x^2} - 2x + 2x - 3 + 1\end{array}\)
\( = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2\)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) - \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3 - \dfrac{5}{2}{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} + 4{x^2} - 2x - 2x - 3 - 1\\ = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4\end{array}\)
c) \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + \left( {3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2} \right) - \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4} \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 3{x^4} - 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}{x^2} + {x^2} + 4x - 2 + 4 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - \left( {5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - 5{x^3} + 7{x^2} - 4x - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{3}{2}x - 4x - 2 + 1\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = - 3{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{{11}}{2}x - 1\end{array}\)
Bài 3.
Phương pháp:
a) Sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.
b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh. Cách giải:
a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.
Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.
Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra \(2AB - BM + CN = 2AB\).
\( \Leftrightarrow - BM + CN = 0 \Leftrightarrow BM = CN\)
b) Gọi I là giao điểm của MN và BC. Vậy BM = CN (đpcm)
Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Do ME // NC nên ta có:
\(\widehat {IME} = \widehat {CNI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEI} = \widehat {NCI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEB} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {MEB} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta MBE\)cân tại M nên MB = ME. Do đó, ME = CN.
Ta chứng minh được \(\Delta MEI = \Delta NCI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (g.c.g)\)
Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.
c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:
MI = IN (cmt), \(\widehat {MIK} = \widehat {NIK} = {90^0}\)
IK là cạnh chung. Do đó \(\Delta MIK = \Delta NIK(c.g.c)\).
Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác ABK và ACK có:
AB = AC(gt),
\(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (do BK là tia phân giác của góc BAC),
AK là cạnh chung,
Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK(c.g.c)\).
Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác BKM và CKN có:
MB = CN, BK = KN, MK = KC,
Do đó \(\Delta BKM = \Delta CKN(c.c.c)\),
Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {KCN}\).
Mà \(\widehat {MBK} = \widehat {ACK} \Rightarrow \widehat {ACK} = \widehat {KCN} = {180^0}:2 = {90^0} \Rightarrow KC \bot AN.\)(đpcm)
Bài 4.
Phương pháp:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
- Trường hợp \(1:\,a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - c;\,\,a + c = - b;\,\,b + c = - a\) thay vảo biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{ - c.\left( { - a} \right).\left( { - b} \right)}}{{abc}} = - 1.\)
- Trường hợp 2: \(a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a} = \dfrac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}} = 1\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c\\c + a = 2b\\b + c = 2a\end{array} \right.\) thay vào biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{2c.2a.2b}}{{abc}} = 8\)
Vậy: \(S = - 1\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c = 0\)
\(S = 8\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c \ne 0\).
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Tam giác ABC có \(BC = 1cm,{\mkern 1mu} AC = 8cm.\) Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài này là một số nguyên \(\left( {cm} \right)\).
A. 6cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 9cm
Câu 2. Cho biểu đồ sau:
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Nam mạnh nhất trong khoảng thời gian từ năm 1990 đến năm 1995 là năm nào? Bao nhiêu % ?
A. Năm 1991 tăng 6,2%
B. Năm 1995 tăng 6,5%
C. Năm 1994 tăng 6,7%
D. Năm 1994 tăng 6,5%
Câu 3. Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\) Số đo góc \(\angle A;{\mkern 1mu} \angle B;{\mkern 1mu} \angle C\) theo thứ tự là:
A. \(\angle B < \angle C < \angle A\)
B. \(\angle C < \angle A < \angle B\)
C. \(\angle A > \angle B > \angle C\)
D. \(\angle C < \angle B < \angle A\)
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số \(0\) không phải là một đa thức.
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng.
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng \(0\)
Câu 5. Nghiệm của đa thức: \(P\left( x \right) = 15x - 3\) là:
A. \(\dfrac{{ - 1}}{5}\)
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(5\)
D. \( - 5\)
Câu 6. Có bao nhiêu đơn thức trong các biểu thức \(2x\,;\,3y\,;\,x - 5y\,;\, - 2x - y; - 1?\)
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
Câu 7. Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là:
A. \(7\)
B. \(8\)
C. \(15\)
D. \(10\)
Câu 8. Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({52^0}\) thì số đo góc ở đáy là:
A. \({54^0}\)
B. \({64^0}\)
C. \({72^0}\)
D. \({90^0}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (2 điểm)
Biểu đồ đoạn thẳng ở hình bên dưới biểu diễn dân số thế giới cuối các năm 1959, 1969, 1979, 1989, 1999, 2009, 2019.
a) Lập bảng số liệu thống kê dân số thế giới cuối các năm 1959, 1969, 1979, 1989, 1999, 2009, 2019 theo mẫu sau:
Cuối năm | 1959 | 1969 | 1979 | 1989 | 1999 | 2009 | 2019 |
Dân số (tỉ người) |
b) Tính số người tăng lên trên thế giới trong mỗi thập kỉ: 1960 – 1969; 1970 – 1979; 1980 – 1989; 1990 – 1999; 2000 – 2009; 2010 – 2019.
c) Trong các thập kỉ trên, dân số thế giới trong thập kỉ nào tăng nhiều nhất? Ít nhất?
d) Dựa vào biểu đồ đoạn thẳng ở hình đã cho, nêu nhận xét về dân số thế giới sau mỗi thập kỉ.
Bài 2. (3 điểm) Cho các đa thức sau:
\(P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\)
\(Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\)
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo thứ tự số mũ của biến giảm dần. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức đã cho.
b) Xác định \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\),\(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\).
c) Xác định đa thức \(R\left( x \right)\)thỏa mãn \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\).
Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
Bài 4. (0,5 điểm) Cho \(a,\,b,\,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}.\)
I. TRẮC NGHIỆM ( 2 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Câu 1. Tam giác ABC có \(BC = 1cm,{\mkern 1mu} AC = 8cm.\) Tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài này là một số nguyên \(\left( {cm} \right)\).
A. 6cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 9cm
Câu 2. Cho biểu đồ sau:
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Nam mạnh nhất trong khoảng thời gian từ năm 1990 đến năm 1995 là năm nào? Bao nhiêu % ?
A. Năm 1991 tăng 6,2%
B. Năm 1995 tăng 6,5%
C. Năm 1994 tăng 6,7%
D. Năm 1994 tăng 6,5%
Câu 3. Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\) Số đo góc \(\angle A;{\mkern 1mu} \angle B;{\mkern 1mu} \angle C\) theo thứ tự là:
A. \(\angle B < \angle C < \angle A\)
B. \(\angle C < \angle A < \angle B\)
C. \(\angle A > \angle B > \angle C\)
D. \(\angle C < \angle B < \angle A\)
Câu 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số \(0\) không phải là một đa thức.
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng.
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng \(0\)
Câu 5. Nghiệm của đa thức: \(P\left( x \right) = 15x - 3\) là:
A. \(\dfrac{{ - 1}}{5}\)
B. \(\dfrac{1}{5}\)
C. \(5\)
D. \( - 5\)
Câu 6. Có bao nhiêu đơn thức trong các biểu thức \(2x\,;\,3y\,;\,x - 5y\,;\, - 2x - y; - 1?\)
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(4\)
D. \(5\)
Câu 7. Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là:
A. \(7\)
B. \(8\)
C. \(15\)
D. \(10\)
Câu 8. Một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({52^0}\) thì số đo góc ở đáy là:
A. \({54^0}\)
B. \({64^0}\)
C. \({72^0}\)
D. \({90^0}\)
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1. (2 điểm)
Biểu đồ đoạn thẳng ở hình bên dưới biểu diễn dân số thế giới cuối các năm 1959, 1969, 1979, 1989, 1999, 2009, 2019.
a) Lập bảng số liệu thống kê dân số thế giới cuối các năm 1959, 1969, 1979, 1989, 1999, 2009, 2019 theo mẫu sau:
Cuối năm | 1959 | 1969 | 1979 | 1989 | 1999 | 2009 | 2019 |
Dân số (tỉ người) |
b) Tính số người tăng lên trên thế giới trong mỗi thập kỉ: 1960 – 1969; 1970 – 1979; 1980 – 1989; 1990 – 1999; 2000 – 2009; 2010 – 2019.
c) Trong các thập kỉ trên, dân số thế giới trong thập kỉ nào tăng nhiều nhất? Ít nhất?
d) Dựa vào biểu đồ đoạn thẳng ở hình đã cho, nêu nhận xét về dân số thế giới sau mỗi thập kỉ.
Bài 2. (3 điểm) Cho các đa thức sau:
\(P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\)
\(Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\)
a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo thứ tự số mũ của biến giảm dần. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức đã cho.
b) Xác định \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\),\(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\).
c) Xác định đa thức \(R\left( x \right)\)thỏa mãn \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\).
Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB.
a) Chứng minh rằng: BM = CN
b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt nhau tại K. Chứng minh rằng \(\Delta BKM = \Delta CKN\) từ đó suy ra KC vuông góc với AN.
Bài 4. (0,5 điểm) Cho \(a,\,b,\,c \ne 0\) và thỏa mãn \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}.\) Tính giá trị của biểu thức \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{abc}}.\)
I. Trắc nghiệm
1. C | 2. D | 3. B | 4. B |
5. B | 6. B | 7. B | 8. B |
Câu 1.
Phương pháp:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác để tìm cạnh còn lại. Cách giải:
Áp dụng bất đẳng thức cho tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}{AC - BC < AB < AC + BC}\\{ \Rightarrow 8 - 1 < AB < 8 + 1}\\{ \Rightarrow 7 < AB < 9}\\{ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)}\end{array}\)
ChọnC.
Câu 2.
Phương pháp:
Quan sát biểu đồ.
Cách giải:
Theo biểu đồ ta thấy:
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1991 là 6,2%
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1994 là 6,5%
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1995 là 6,3%
Tốc độ tăng trưởng GDP Việt Năm năm 1994 là 6,5% là điểm cao nhất trên biểu đồ nên tại năm 1994 có tốc độ tăng trưởng GPD Việt Nam lớn nhất.
Chọn D.
Câu 3.
Phương pháp:
So sánh độ dài các cạnh rồi dựa vào mối quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác để so sánh các góc với nhau. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì góc lớn hơn. Cách giải:
\(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,{\mkern 1mu} BC = 8cm,{\mkern 1mu} AC = 10cm.\)
Ta có: \(AB < BC < AC\) \( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)
ChọnB.
Câu 4.
Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa về đa thức và tính chất tam giác cân. Cách giải:
Xét từng đáp án:
A. Số \(0\) không phải là một đa thức. Sai Vì số 0 là đa thức 0
B. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường thẳng. Đúng: (vẽ một tam giác cân và xác định trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều 3 đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh ta thấy chúng cùng nằm trên một đường thẳng)
C. Nếu \(\Delta ABC\) cân thì trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh cùng nằm trên một đường tròn. Sai Vì chúng nằm trên cùng 1 đường thẳng.
D. Số \(0\) được gọi là một đa thức không và có bậc bằng 0. Sai Vì số 0 được gọi là đa thức không và nó là đa thức không có bậc.
Chọn B
Câu 5.
Phương pháp:
Tìm nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\), ta giải phương trình \(P\left( x \right) = 0\)
Cách giải:
Ta có: \(P\left( x \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}15x - 3 = 0\\15x = 3\\\,\,\,\,\,x = \dfrac{1}{5}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{5}\) là nghiệm của đa thức \(P\left( x \right) = 15x - 3\)
Chọn B.
Câu 6.
Phương pháp:
Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.
Cách giải:
Biểu thức \(2x\,;\,3y; - 1\) là các đơn thức.
Vậy có \(3\) đơn thức.
Chọn B.
Câu 7.
Phương pháp:
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó
Cách giải:
Ta có: hạng tử \({x^8}\) là có bậc cao nhất
\( \Rightarrow \) Bậc của đa thức \(10{x^7} + {x^8} - 2x\) là: \(8\)
Câu 8.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất tổng ba góc của một tam giác và sử dụng tính chất của tam giác cân (tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau).
Cách giải:
Giả sử ta có \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat B = \widehat C.\) (tính chất tam giác cân)
Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{52}^0}}}{2} = {64^0}.\)
Chọn B
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1.
Phương pháp:
Phân tích dữ liệu biểu đồ đoạn thẳng.
Cách giải:
a) Ta có bảng số liệu sau:
Cuối năm | 1959 | 1969 | 1979 | 1989 | 1999 | 2009 | 2019 |
Dân số (tỉ người) | 2,98 | 3,63 | 4,38 | 5,24 | 6 | 6,87 | 7,71 |
b) Số người tăng lên trên thế giới trong thập kỉ 1960 – 1969 là: \(3,63 - 2,98 = 0,65\) (tỉ người)
Tương tự như trên, số người tăng lên trên thế giới trong mỗi thập kỉ 1970 – 1979; 1980 – 1989; 1990 – 1999; 2000 – 2009; 2010 – 2019 lần lượt là: 0,75; 0,86; 0,76; 0,87; 0,84 (tỉ người).
c) Trong các thập kỉ trên, dân số thế giới tăng nhiều nhất trong thập kỉ 2000 – 2009 và tăng ít nhất trong thập kỉ 1960 – 1969.
d) Dựa vào biểu đồ đoạn thẳng ở hình đã cho, ta thấy dân số thế giới sau mỗi thập kỉ đều tăng.
Bài 2.
Phương pháp:
+ Để thu gọn đa thức ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng.
+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
+ Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.
+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.
Cách giải:
a)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = - 2x + \dfrac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{1}{2}{x^2} - 3{x^2} - 2x - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3\end{array}\)
Vậy: \(P\) có bậc là \(4\); Hệ số cao nhất là \(3\); Hệ số tự do là \( - 3\)
\(\begin{array}{l}Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - 3{x^4} + {x^3} + 1,5{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\end{array}\)
Vậy: \(Q\) có bậc là \(3\); Hệ số cao nhất là \(\dfrac{5}{2}\); Hệ số tự do là \(1\)
b)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) + \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 4{x^2} - 2x + 2x - 3 + 1\end{array}\)
\( = 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2\)
\(\begin{array}{l}P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) - \left( {\dfrac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^2} - 2x - 3 - \dfrac{5}{2}{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{5}{2}{x^2} + 4{x^2} - 2x - 2x - 3 - 1\\ = 3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4\end{array}\)
c) \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + \left( {3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - 2} \right) - \left( {3{x^4} - \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2} - 4x - 4} \right) + {x^2} = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 3{x^4} - 3{x^4} + \dfrac{5}{2}{x^3} + \dfrac{5}{2}{x^3} - \dfrac{{13}}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}{x^2} + {x^2} + 4x - 2 + 4 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2 = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - \left( {5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \dfrac{3}{2}x + 1 - 5{x^3} + 7{x^2} - 4x - 2\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{3}{2}x - 4x - 2 + 1\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = - 3{x^3} + 7{x^2} - \dfrac{{11}}{2}x - 1\end{array}\)
Bài 3.
Phương pháp:
a) Sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.
b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh. Cách giải:
a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.
Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.
Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra \(2AB - BM + CN = 2AB\).
\( \Leftrightarrow - BM + CN = 0 \Leftrightarrow BM = CN\)
b) Gọi I là giao điểm của MN và BC. Vậy BM = CN (đpcm)
Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Do ME // NC nên ta có:
\(\widehat {IME} = \widehat {CNI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEI} = \widehat {NCI}\)(hai góc so le trong)
\(\widehat {MEB} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) nên \(\widehat {MEB} = \widehat {ABC} \Rightarrow \Delta MBE\)cân tại M nên MB = ME. Do đó, ME = CN.
Ta chứng minh được \(\Delta MEI = \Delta NCI{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (g.c.g)\)
Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.
c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:
MI = IN (cmt), \(\widehat {MIK} = \widehat {NIK} = {90^0}\)
IK là cạnh chung. Do đó \(\Delta MIK = \Delta NIK(c.g.c)\).
Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác ABK và ACK có:
AB = AC(gt),
\(\widehat {BAK} = \widehat {CAK}\) (do BK là tia phân giác của góc BAC),
AK là cạnh chung,
Do đó \(\Delta ABK = \Delta ACK(c.g.c)\).
Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).
Xét hai tam giác BKM và CKN có:
MB = CN, BK = KN, MK = KC,
Do đó \(\Delta BKM = \Delta CKN(c.c.c)\),
Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {KCN}\).
Mà \(\widehat {MBK} = \widehat {ACK} \Rightarrow \widehat {ACK} = \widehat {KCN} = {180^0}:2 = {90^0} \Rightarrow KC \bot AN.\)(đpcm)
Bài 4.
Phương pháp:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
- Trường hợp \(1:\,a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = - c;\,\,a + c = - b;\,\,b + c = - a\) thay vảo biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{ - c.\left( { - a} \right).\left( { - b} \right)}}{{abc}} = - 1.\)
- Trường hợp 2: \(a,\,b,\,c \ne 0\) và \(a + b + c \ne 0.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a} = \dfrac{{a + b - c + c + a - b + b + c - a}}{{c + b + a}} = 1\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2c\\c + a = 2b\\b + c = 2a\end{array} \right.\) thay vào biểu thức \(S\) ta được:
\(S = \dfrac{{2c.2a.2b}}{{abc}} = 8\)
Vậy: \(S = - 1\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c = 0\)
\(S = 8\) khi \(\dfrac{{a + b - c}}{c} = \dfrac{{c + a - b}}{b} = \dfrac{{b + c - a}}{a}\) và \(a,\,b,\,c \ne 0;\) \(a + b + c \ne 0\).
Đề thi giữa kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Cánh diều là một bài kiểm tra quan trọng giúp đánh giá mức độ nắm vững kiến thức của học sinh sau một nửa học kỳ. Đề thi bao gồm các dạng bài tập khác nhau, từ trắc nghiệm đến tự luận, tập trung vào các chủ đề chính như số hữu tỉ, biểu thức đại số, phương trình bậc nhất một ẩn, bất đẳng thức và các ứng dụng thực tế của toán học.
Thông thường, đề thi giữa kì 2 Toán 7 - Cánh diều có cấu trúc như sau:
Để giải phương trình bậc nhất một ẩn, ta thực hiện các bước sau:
Để giải bất đẳng thức bậc nhất một ẩn, ta thực hiện các bước sau:
Để đạt kết quả tốt trong kỳ thi giữa kì 2 Toán 7, học sinh cần luyện tập thường xuyên và ôn tập đầy đủ các kiến thức đã học. Các em có thể tìm kiếm các đề thi thử, bài tập trắc nghiệm và các tài liệu ôn tập khác trên mạng internet hoặc tại các nhà sách.
Trước khi làm bài thi, các em nên đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu của từng câu hỏi và phân bổ thời gian hợp lý cho từng phần. Trong quá trình làm bài, các em nên trình bày lời giải một cách rõ ràng, mạch lạc và kiểm tra lại kết quả trước khi nộp bài.
Ngoài sách giáo khoa, các em có thể tham khảo thêm các tài liệu sau:
Đề thi giữa kì 2 Toán 7 - Đề số 5 - Cánh diều là một cơ hội tốt để các em học sinh kiểm tra và đánh giá năng lực của mình. Hy vọng rằng với những hướng dẫn và lời khuyên trên, các em sẽ tự tin và đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi sắp tới.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
