Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3. Dấu của tam thức bậc hai - SBT Toán 10 - Cánh diều

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán 10, đặc biệt là trong phần Hàm số và đồ thị. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của hàm số và nhiều ứng dụng thực tế khác.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Điều kiện xác định dấu của tam thức bậc hai

Để xác định dấu của tam thức bậc hai, chúng ta cần xét đến hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

• Nếu a > 0:
• Nếu Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:
• f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
• f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
• Nếu Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = -b/2a. Khi đó:
• f(x) > 0 khi x ≠ x₀
• f(x) = 0 khi x = x₀
• Nếu Δ < 0: Tam thức bậc hai không có nghiệm thực. Khi đó:
• f(x) > 0 với mọi x
• Nếu a < 0:
• Nếu Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:
• f(x) < 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
• f(x) > 0 khi x₁ < x < x₂
• Nếu Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = -b/2a. Khi đó:
• f(x) < 0 khi x ≠ x₀
• f(x) = 0 khi x = x₀
• Nếu Δ < 0: Tam thức bậc hai không có nghiệm thực. Khi đó:
• f(x) < 0 với mọi x

3. Ví dụ minh họa

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² - 5x + 2. Ta có a = 2, b = -5, c = 2. Δ = (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 > 0. Vậy tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1/2 và x₂ = 2. Do a = 2 > 0 nên:

• f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2
• f(x) < 0 khi 1/2 < x < 2

4. Bài tập áp dụng

Hãy xác định dấu của các tam thức bậc hai sau:

1. f(x) = x² - 4x + 3
2. f(x) = -x² + 2x - 1
3. f(x) = 3x² + x + 1

5. Ứng dụng của việc xác định dấu tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong việc giải bất phương trình bậc hai. Ví dụ, để giải bất phương trình 2x² - 5x + 2 > 0, ta đã xác định được rằng f(x) > 0 khi x < 1/2 hoặc x > 2. Do đó, nghiệm của bất phương trình là x < 1/2 hoặc x > 2.

6. Kết luận

Bài học về dấu của tam thức bậc hai cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản và phương pháp giải bài tập quan trọng. Việc nắm vững nội dung này sẽ giúp chúng ta tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị trong chương trình Toán 10.