Bài 2. Phép đồng dạng

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các hình tương đồng. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng trong chương trình Toán 11, sách Cánh diều, Chuyên đề I. Phép biến hình phẳng.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng nếu nó bảo toàn tỷ lệ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu M' = f(M) và N' = f(N) thì:

M'N' / MN = k (với k là một hằng số dương, gọi là tỉ số đồng dạng)

Phép đồng dạng có thể bao gồm phép vị tự và phép affine.

2. Tính chất của phép đồng dạng

• Bảo toàn collinearity: Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì ba điểm A', B', C' cũng thẳng hàng.
• Bảo toàn tỷ lệ khoảng cách: Như đã đề cập trong định nghĩa.
• Bảo toàn góc: Góc giữa hai đường thẳng được bảo toàn qua phép đồng dạng.
• Biến đường tròn thành đường tròn: Phép đồng dạng biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Phân loại phép đồng dạng

Có hai loại phép đồng dạng chính:

3.1. Phép vị tự

Phép vị tự là một phép đồng dạng đặc biệt, trong đó tất cả các điểm đều di chuyển dọc theo một đường thẳng đi qua một điểm cố định (gọi là tâm vị tự) với cùng một tỷ lệ.

Một phép vị tự được xác định bởi:

• Tâm vị tự O
• Tỷ số k

Công thức của phép vị tự:

V_O(k)(M) = M' sao cho OM' = k.OM và M, O, M' thẳng hàng.

3.2. Phép affine

Phép affine là một phép biến hình bảo toàn collinearity và tỷ lệ khoảng cách. Tuy nhiên, không giống như phép vị tự, phép affine không nhất thiết phải có một tâm vị tự.

4. Cách xác định phép đồng dạng

Để xác định một phép đồng dạng, ta cần xác định:

• Ảnh của ít nhất ba điểm không thẳng hàng.
• Tỷ số đồng dạng k.

5. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Vẽ bản đồ: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các bản đồ thu nhỏ hoặc phóng to của một khu vực.
• Thiết kế đồ họa: Phép đồng dạng được sử dụng để thay đổi kích thước của các đối tượng trong thiết kế đồ họa.
• Kiến trúc: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các mô hình thu nhỏ của các tòa nhà hoặc công trình kiến trúc.
• Nghiên cứu hình học: Phép đồng dạng là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các hình tương đồng và các tính chất của chúng.

6. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho tam giác ABC và phép vị tự tâm O, tỷ số k = 2. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự đó.

Giải: Gọi A', B', C' lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tâm O, tỷ số k = 2. Khi đó, ta có:

• OA' = 2OA
• OB' = 2OB
• OC' = 2OC

Và A, O, A'; B, O, B'; C, O, C' thẳng hàng. Tam giác A'B'C' là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O, tỷ số k = 2.

7. Kết luận

Bài học về phép đồng dạng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về một phép biến hình quan trọng trong hình học. Hy vọng rằng, thông qua bài viết này, bạn đã nắm vững định nghĩa, tính chất, cách xác định và ứng dụng của phép đồng dạng. Hãy luyện tập thêm các bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.