Bài 2. Định lí côsin và định lí sin

Bài 2. Định lí côsin và định lí sin - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

I. Giới thiệu chung

Trong hình học, định lí côsin và định lí sin là hai công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Chúng cho phép chúng ta tìm mối liên hệ giữa các cạnh và góc của tam giác, từ đó có thể tính toán các yếu tố còn thiếu khi biết một số yếu tố khác.

II. Định lí côsin

1. Phát biểu định lí: Trong mọi tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
• A, B, C là số đo ba góc của tam giác.

2. Ứng dụng của định lí côsin:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài ba cạnh.

III. Định lí sin

1. Phát biểu định lí: Trong mọi tam giác ABC, ta có:

• a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
• A, B, C là số đo ba góc của tam giác.
• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

2. Ứng dụng của định lí sin:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài các cạnh và góc đối diện.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc BAC = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60^o

BC² = 25 + 49 - 70.0.5 = 54

BC = √54 ≈ 7.35cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 45^o, góc C = 60^o. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Ta có góc A = 180^o - (B + C) = 180^o - (45^o + 60^o) = 75^o

Áp dụng định lí sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinA

AB = BC.sinC/sinA = 8.sin60^o/sin75^o ≈ 8.0.866/0.966 ≈ 7.17cm

V. Bài tập luyện tập

1. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm. Tính số đo góc B.
2. Cho tam giác ABC có góc A = 30^o, góc B = 60^o, AB = 4cm. Tính độ dài cạnh BC.
3. Cho tam giác ABC có BC = 5cm, AC = 7cm, góc C = 45^o. Tính độ dài cạnh AB.

VI. Kết luận

Định lí côsin và định lí sin là những công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Việc nắm vững hai định lí này và biết cách áp dụng chúng vào thực tế sẽ giúp các em học sinh giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.