Bài 1. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 1 trong sách bài tập Toán 10 Cánh Diều tập trung vào hai định lý cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong hình học: Định lý cosin và Định lý sin. Hai định lý này cho phép chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác bất kỳ, từ đó giải quyết nhiều bài toán liên quan đến việc tính toán các yếu tố của tam giác.

1. Định lý cosin

Định lý cosin phát biểu rằng: Trong mọi tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
• A, B, C là số đo ba góc tương ứng với ba cạnh đó.

Định lý cosin được sử dụng để:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh còn lại và góc xen giữa chúng.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài ba cạnh của tam giác.

2. Định lý sin

Định lý sin phát biểu rằng: Trong mọi tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
• A, B, C là số đo ba góc tương ứng với ba cạnh đó.
• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Định lý sin được sử dụng để:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.

3. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Để áp dụng định lý cosin và định lý sin một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các giá trị lượng giác cơ bản của các góc đặc biệt từ 0° đến 180°:

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc BAC = 60°. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60°

BC² = 25 + 49 - 70.1/2

BC² = 39

BC = √39 cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 45°, góc C = 60°. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Áp dụng định lý sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinA

Mà góc A = 180° - B - C = 180° - 45° - 60° = 75°

AB/sin60° = 8/sin75°

AB = (8.sin60°)/sin75° ≈ 6.88 cm

5. Kết luận

Bài 1. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Việc nắm vững lý thuyết, công thức và các giá trị lượng giác cơ bản sẽ giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập và làm bài tập.