đề thi olympic chuyên toán thcs lần 2 năm 2025 trường chuyên hạ long – quảng ninh

toan9.edu.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi Olympic chuyên môn Toán dành cho học sinh THCS lần thứ 2 năm 2025 trường THPT chuyên Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh. Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn Đề thi Olympic chuyên Toán THCS lần 2 năm 2025 trường chuyên Hạ Long – Quảng Ninh:

+ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O). Kẻ các đường cao BE, CF cắt nhau tại H với E thuộc AC, F thuộc AB. Trung trực của đoạn thẳng HB cắt cạnh BC tại M. Trung trực của đoạn thẳng HC cắt cạnh BC tại N. Đường tròn (M; MB) cắt cạnh AB tại điểm J khác B. Đường tròn (N; NC) cắt cạnh AC tại điểm I khác C. a. Chứng minh rằng các điểm I, J, B, C cùng thuộc một đường tròn. b. Gọi P là giao điểm khác H của (M; MB) và (N; NC). Chứng minh rằng P là giao điểm khác A của AH và (O). c. Lấy Q là giao điểm khác C của đường tròn ngoại tiếp tam giác P F C và AC. Chứng minh rằng Q là trung điểm của AI.

+ Chứng minh rằng nếu bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a, b đều là các số chính phương thì a, b cũng là các số chính phương.

+ Cho 20 điểm phân biệt gồm 10 điểm màu xanh và 10 điểm màu đỏ trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể dùng 10 đoạn thẳng nối mỗi điểm xanh với một điểm đỏ tương ứng sao cho 10 đoạn thẳng này đôi một không có điểm chung.