toan9.edu.vn xin giới thiệu Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều - Đề số 5, một công cụ luyện thi vô cùng hữu ích dành cho học sinh lớp 12. Đề thi được biên soạn bám sát chương trình học và cấu trúc đề thi chính thức, giúp các em làm quen với dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề.
Đề thi này bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận, tập trung vào các chủ đề quan trọng như tích phân, số phức, hình học không gian và các ứng dụng của đạo hàm. Đáp án chi tiết đi kèm sẽ giúp các em tự đánh giá kết quả và rút kinh nghiệm.
Hàm số \(F(x) = 2{x^9} + 2024\) là nguyên hàm của hàm số
\(f(x) = 18{x^8}\)
\(f(x) = 18{x^8} + 2024\)
\(f(x) = 18{x^8} + C\)
\(f(x) = \frac{{{x^{10}}}}{5} + 2024x\)
Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
\(f(x) = \frac{1}{{\left| x \right|}}\)
\(f(x) = - \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \frac{1}{x} + C\)
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + 2\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 2x + C\)
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\)
\(\int {f(x)dx} = {x^4} + 2x + C\)
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}\) thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} + 2\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}\)
Điều kiện nào sau đây là cần thiết để hàm số f(x) có thể tính tích phân trên đoạn [a;b]?
Hàm số f(x) phải liên tục trên đoạn [a;b].
Hàm số f(x) phải có đạo hàm trên đoạn [a;b].
Hàm số f(x) phải đồng biến trên đoạn [a;b].
Hàm số f(x) phải là hàm số bậc hai trên đoạn [a;b].
Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x), thì tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] được tính như thế nào?
\(F\left( b \right)--F\left( a \right)\)
\(F\left( a \right)--F\left( b \right)\)
\(\frac{{F(b)}}{{F(a)}}\)
\(\frac{{F(a)}}{{F(b)}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 5 = 0. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
\(\overrightarrow {{n_1}} = (2; - 1;2)\)
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 1;5)\)
\(\overrightarrow {{n_3}} = (3;2;5)\)
\(\overrightarrow {{n_4}} = (3;2; - 1)\)
Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;-2), B(2;0;3), C(-2;4;1). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
\(2x - 2y + z + 2 = 0\)
\(x + y - 2z - 6 = 0\)
\(x + y - 2z + 2 = 0\)
\(2x + 2y + z - 2 = 0\)
Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng (Oxz)?
y = 0
x = 0
z = 0
y – 1 = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;5) và nhận vecto \(\overrightarrow u = (2;3;1)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 3 - t\\z = - 1 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 5 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 - 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 4x – 13y – 6z + 40 = 40. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(P) // (Q)
(P) \( \equiv \) (Q)
(P) cắt (Q)
(P) \( \bot \) (Q)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 9\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
I(-2;-7;-6); R = 3
I(-2;7;-6); R = 9
I(-2;7;-6); R = 3
I(2;-7;6); R = 9
Cho hàm số \(y = {e^x}\).
a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số đã cho với trục hoành, đường thẳng x = -1, x = 1 là \(\frac{{{e^2} - 1}}{e}\).
b) Với a = ln4 thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số đã cho với các trục toạ độ và đường thẳng x = a bằng 3.
c) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = {e^x}\), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng \(2\pi \frac{{{e^2} - 1}}{2}\).
d) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {e^x}\) đã cho tại điểm \({x_0} = 0\). Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d với trục hoành, đường thẳng x = -1 và x = 1 là 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0, (Q): x – 2y + 2z – 3 = 0 và điểm A(1;1;-2).
a) Hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.
b) \(d\left( {A,(P)} \right) = 1\).
c) \(d\left( {(P),(Q)} \right) = \frac{2}{3}\).
d) Phương trình mặt phẳng song song cách đều (P) và (Q) là x – 2y + 2z + 2 = 0.
Giả sử \(\forall a,b \in \mathbb{R}\), a < 0 < b, \(\int\limits_a^b {\left| {{x^7}} \right|dx} = m{a^8} + n{b^8}\) trong đó m, n là các hằng số thực (không phụ thuộc vào a và b). Giá trị của biểu thức P = m − 5n là bao nhiêu?
Đáp án:
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −12t + 36 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường là s mét. Tính giá trị của s.
Đáp án:
Cho điểm A(1;2;−1) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): x – 2y + 2z + 2 = 0. Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và cách A một khoảng 1 có dạng \(\left( \beta \right)\): x – by + cz + d = 0. Khi đó S = 3b – c + d bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng \(({P_m})\): mx + 2y + nz + 1 = 0 và \(({Q_m})\): x – my + nz + 2 = 0 vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\): 4x – y – 6z + 3 = 0. Tính m + n.
Đáp án:
Tính diện tích hình phẳng phần gạch tô màu như hình vẽ bên dưới (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0), B(3;4;−2) và P : x – y + z − 4 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P ), có dạng (Q) : ax + by + cz + 2 = 0. Tính T = a + b + c.
Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc a(t) = 6 – 2t \((m/{s^2})\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ôtô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
Hàm số \(F(x) = 2{x^9} + 2024\) là nguyên hàm của hàm số
\(f(x) = 18{x^8}\)
\(f(x) = 18{x^8} + 2024\)
\(f(x) = 18{x^8} + C\)
\(f(x) = \frac{{{x^{10}}}}{5} + 2024x\)
Đáp án : A
F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x).
\(F'(x) = \left( {2{x^9} + 2024} \right)' = 18{x^8}\).
Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
\(f(x) = \frac{1}{{\left| x \right|}}\)
\(f(x) = - \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = \frac{1}{x} + C\)
Đáp án : C
F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x).
\(F'(x) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).
Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + 2\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 2x + C\)
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\)
\(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\)
\(\int {f(x)dx} = {x^4} + 2x + C\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^3} + 2} \right)} = \frac{{{x^4}}}{4} + 2x + C\).
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}\) thỏa mãn F(1) = 0. Tìm F(x).
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{2{x^2}}} + \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{3}{{{x^2}}} + 2\)
\(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{1}{2}\)
\(F(x) = {x^5} + \frac{1}{{2{x^2}}} - \frac{3}{2}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Sử dụng điều kiện đề bài cho F(1) = 0 để tìm C.
\(F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\left( {5{x^4} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx} = {x^5} + \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
\(F(1) = 0 \Leftrightarrow {1^5} - \frac{1}{{{{2.1}^2}}} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{2}\).
Vậy \(F(x) = {x^5} - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Điều kiện nào sau đây là cần thiết để hàm số f(x) có thể tính tích phân trên đoạn [a;b]?
Hàm số f(x) phải liên tục trên đoạn [a;b].
Hàm số f(x) phải có đạo hàm trên đoạn [a;b].
Hàm số f(x) phải đồng biến trên đoạn [a;b].
Hàm số f(x) phải là hàm số bậc hai trên đoạn [a;b].
Đáp án : A
Dựa vào định nghĩa tích phân.
Hàm số f(x) phải liên tục trên đoạn [a;b].
Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x), thì tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] được tính như thế nào?
\(F\left( b \right)--F\left( a \right)\)
\(F\left( a \right)--F\left( b \right)\)
\(\frac{{F(b)}}{{F(a)}}\)
\(\frac{{F(a)}}{{F(b)}}\)
Đáp án : A
Áp dụng định nghĩa tích phân.
\(\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = F(b) - F(a)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 5 = 0. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
\(\overrightarrow {{n_1}} = (2; - 1;2)\)
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 1;5)\)
\(\overrightarrow {{n_3}} = (3;2;5)\)
\(\overrightarrow {{n_4}} = (3;2; - 1)\)
Đáp án : D
Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (A;B;C)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_4}} = (3;2; - 1)\).
Trong không gian Oxyz, cho A(1;1;-2), B(2;0;3), C(-2;4;1). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
\(2x - 2y + z + 2 = 0\)
\(x + y - 2z - 6 = 0\)
\(x + y - 2z + 2 = 0\)
\(2x + 2y + z - 2 = 0\)
Đáp án : A
Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm vecto pháp tuyến.
Mặt phẳng qua A(1;1;-2) và vuông góc với đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow {BC} = ( - 4;4; - 2)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
\( - 4(x - 1) + 4(y - 1) - 2(z + 2) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 4y - 2z - 4 = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y - z + 2 = 0\).
Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng (Oxz)?
y = 0
x = 0
z = 0
y – 1 = 0
Đáp án : A
Tìm vecto pháp tuyến và một điểm mặt phẳng đi qua.
Mặt phẳng (Oxz) nhận \(\overrightarrow j = (0;1;0)\) làm vecto pháp tuyến và đi qua gốc tọa độ O nên có phương trình tổng quát là \(0(x - 0) + 1(y - 0) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y = 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2;-1;5) và nhận vecto \(\overrightarrow u = (2;3;1)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 3 - t\\z = - 1 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 5 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 1 - 3t\\z = 5 - t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Đáp án : C
Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
d đi qua điểm M(2;-1;5) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (2;3;1)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + 3t\\z = 5 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 4x – 13y – 6z + 40 = 40. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(P) // (Q)
(P) \( \equiv \) (Q)
(P) cắt (Q)
(P) \( \bot \) (Q)
Đáp án : C
So sánh tỉ lệ các hệ số và áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto.
Ta có \(\frac{2}{4} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 13}} \ne \frac{4}{{ - 6}}\) và \(2.4 - 3.( - 13) + 4.( - 6) = 23\) nên (P) cắt (Q).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 9\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
I(-2;-7;-6); R = 3
I(-2;7;-6); R = 9
I(-2;7;-6); R = 3
I(2;-7;6); R = 9
Đáp án : C
Mặt cầu phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm I(a;b;c), bán kính R.
Mặt cầu phương trình \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 9\) có tâm I(-2;7;-6), bán kính R = 3.
Cho hàm số \(y = {e^x}\).
a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số đã cho với trục hoành, đường thẳng x = -1, x = 1 là \(\frac{{{e^2} - 1}}{e}\).
b) Với a = ln4 thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số đã cho với các trục toạ độ và đường thẳng x = a bằng 3.
c) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = {e^x}\), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng \(2\pi \frac{{{e^2} - 1}}{2}\).
d) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {e^x}\) đã cho tại điểm \({x_0} = 0\). Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d với trục hoành, đường thẳng x = -1 và x = 1 là 2.
a) Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số đã cho với trục hoành, đường thẳng x = -1, x = 1 là \(\frac{{{e^2} - 1}}{e}\).
b) Với a = ln4 thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hàm số đã cho với các trục toạ độ và đường thẳng x = a bằng 3.
c) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = {e^x}\), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng \(2\pi \frac{{{e^2} - 1}}{2}\).
d) Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {e^x}\) đã cho tại điểm \({x_0} = 0\). Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d với trục hoành, đường thẳng x = -1 và x = 1 là 2.
a, b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
c) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
d) Áp dụng quy tắc lập phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f(x) tại điểm \({x_0}\): \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\).
Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
a)Đúng. \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {{e^x}dx} = {e^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. = {e^1} - {e^{ - 1}} = e - \frac{1}{e} = \frac{{{e^2} - 1}}{e}\).
b) Đúng. \({S_2} = \int\limits_0^{\ln 4} {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_0^{\ln 4} {{e^x}dx} = {e^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{\ln 4}}\\{_0}\end{array}} \right. = {e^{\ln 4}} - {e^0} = 4 - 1 = 3\).
c) Sai. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx} = \pi .\frac{{{e^{2x}}}}{{\ln {e^2}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \pi .\frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{\pi {e^2}}}{2} - \frac{\pi }{2} = \pi \frac{{{e^2} - 1}}{2}\).
d) Đúng. \(f'(x) = \left( {{e^x}} \right)' = {e^x} \Rightarrow f'(0) = {e^0} = 1\); \(f(0) = {e^0} = 1\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 1(x - 0) + 1 \Leftrightarrow y = x + 1\).
Trên đoạn [-1;1] thấy \(x + 1 \ge 0\) nên ta có:
\({S_3} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {x + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x + 1} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 - \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} - ( - 1) = 2\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0, (Q): x – 2y + 2z – 3 = 0 và điểm A(1;1;-2).
a) Hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.
b) \(d\left( {A,(P)} \right) = 1\).
c) \(d\left( {(P),(Q)} \right) = \frac{2}{3}\).
d) Phương trình mặt phẳng song song cách đều (P) và (Q) là x – 2y + 2z + 2 = 0.
a) Hai mặt phẳng (P ) và (Q) song song với nhau.
b) \(d\left( {A,(P)} \right) = 1\).
c) \(d\left( {(P),(Q)} \right) = \frac{2}{3}\).
d) Phương trình mặt phẳng song song cách đều (P) và (Q) là x – 2y + 2z + 2 = 0.
Xác định vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} = (1; - 2;2)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = (1; - 2;2)\).
a)Đúng. Ta có \(\frac{1}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = \frac{2}{2} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 3}}\) nên hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau.
b) Sai. \(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {1.1 - 2.1 + 2.( - 2) - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = 2\).
c) Đúng. B(1;0;0) là một điểm thuộc (P).
Vì (P) // (Q) nên \(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {B,(Q)} \right) = \frac{{\left| {1.1 - 2.0 + 2.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}\).
d) Sai. Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (Q).
Phương trình của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2t\\z = 2t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).
Thay x, y, z của phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (Q), ta có:
\(1 + t - 2.( - 2t) + 2.2t - 3 = 0 \Leftrightarrow 9t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{9}\).
Do đó, giao điểm C của d với (Q) có tọa độ \(C\left( {\frac{{11}}{9}; - \frac{4}{9};\frac{4}{9}} \right)\).
Trung điểm của BC là \(I\left( {\frac{{10}}{9}; - \frac{2}{4};\frac{2}{4}} \right)\).
Mặt phẳng song song cách đều (P) và (Q) đi qua I và có vecto pháp tuyến trùng với vecto pháp tuyến của (P), (Q) nên có phương trình tổng quát:
\(1\left( {x - \frac{{10}}{9}} \right) - 2\left( {y + \frac{2}{9}} \right) + 2\left( {z - \frac{2}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 2 = 0\).
Giả sử \(\forall a,b \in \mathbb{R}\), a < 0 < b, \(\int\limits_a^b {\left| {{x^7}} \right|dx} = m{a^8} + n{b^8}\) trong đó m, n là các hằng số thực (không phụ thuộc vào a và b). Giá trị của biểu thức P = m − 5n là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Xét dấu trên đoạn [a;b] để phá dấu trị tuyệt đối.
\(\int\limits_a^b {\left| {{x^7}} \right|dx} = \int\limits_a^0 {\left| {{x^7}} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {{x^7}} \right|dx} = - \int\limits_a^0 {{x^7}dx} + \int\limits_0^b {{x^7}dx} = - \frac{{{x^8}}}{8}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^0}\\{_a}\end{array}} \right. + \frac{{{x^8}}}{8}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_0}\end{array}} \right. = \frac{{{a^8}}}{8} + \frac{{{b^8}}}{8} = \frac{1}{8}{a^8} + \frac{1}{8}{b^8}\).
Suy ra \(m = \frac{1}{8}\), \(n = \frac{1}{8} \Rightarrow m - 5n = \frac{1}{8} - 5.\frac{1}{8} = - \frac{1}{2} = - 0.5\).
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −12t + 36 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường là s mét. Tính giá trị của s.
Đáp án:
Đáp án:
Tìm \({t_0}\) sao cho \(v({t_0}) = 0\). Tính \(\int\limits_0^{{t_0}} {v(t)dt} \).
Ô tô dừng hẳn thì v(t) = 0. Thời gian để ô tô dừng hẳn kể từ lúc đạp phanh là:
\(v(t) = 0 \Leftrightarrow - 12t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 3\) (s).
Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây đó đến khi dừng hẳn là:
\(s = \int\limits_0^3 {v(t)dt} = \int\limits_0^3 {\left( { - 12t + 36} \right)dt} = 54\) (m).
Cho điểm A(1;2;−1) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): x – 2y + 2z + 2 = 0. Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và cách A một khoảng 1 có dạng \(\left( \beta \right)\): x – by + cz + d = 0. Khi đó S = 3b – c + d bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
\(\left( \beta \right)\) // \(\left( \alpha \right)\) nên phương trình của \(\left( \beta \right)\) có dạng: x – 2y + 2z + d = 0 \((d \ne 2)\).
Theo đề bài: \(d\left( {M,(\beta )} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2.2 + 2.( - 1) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = 2\end{array} \right.\) .
Vì \(d \ne 2\) nên d = 8 thỏa mãn.
Suy ra \(\left( \beta \right)\): x – 2y + 2z + 8 = 0.
Mà \(\left( \beta \right)\) có dạng x – 2y + 2z + d = 0 nên ta có b = 2, c = 2, d = 8.
Vậy S = 3.2 – 2 + 8 = 12.
Gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng \(({P_m})\): mx + 2y + nz + 1 = 0 và \(({Q_m})\): x – my + nz + 2 = 0 vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\): 4x – y – 6z + 3 = 0. Tính m + n.
Đáp án:
Đáp án:
Vì giao tuyến của \(({P_m})\) và \(({Q_m})\) vuông góc với \((\alpha )\) nên hai mặt phẳng đó cũng vuông góc với \((\alpha )\).
Áp dụng biểu thức tích vô hướng cho các vecto vuông góc để tính m, n.
Gọi vecto pháp tuyến của các mặt phẳng \(({P_m})\), \(({Q_m})\) và \((\alpha )\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_P}} \), \(\overrightarrow {{n_Q}} \) và \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \). Ta có:
\(\overrightarrow {{n_P}} = (m;2;n)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = (1; - m;n)\), \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = (4; - 1; - 6)\)
Vì giao tuyến của \(({P_m})\) và \(({Q_m})\) vuông góc với \((\alpha )\) nên hai mặt phẳng đó cũng vuông góc với \((\alpha )\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\\\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 2.9 - 1) + n( - 6) = 0\\4 + ( - 1).( - m) + ( - 6).n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m - 6n = 2\\m - 6n = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 3\).
Tính diện tích hình phẳng phần gạch tô màu như hình vẽ bên dưới (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
Chia hình phẳng tô màu thành hai phần.
- Phần giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^3}\), trục hoành, đường thẳng x = 0 và x = 1.
- Phần giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^2} - 4x + 4\), trục hoành, đường thẳng x = 1 và x = 2.
\(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3}} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 4x + 4} \right|dx} = \int\limits_0^1 {{x^3}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)dx} = \frac{7}{{12}} \approx 0,58\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;0), B(3;4;−2) và P : x – y + z − 4 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P ), có dạng (Q) : ax + by + cz + 2 = 0. Tính T = a + b + c.
Tìm vecto pháp tuyến của (Q) bằng cách tính tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và vecto pháp tuyến của (P).
(Q) nhận \(\overrightarrow {AB} = (3 - 1;4 - 2; - 2 - 0) = (2;2; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_P}} = (1; - 1;1)\) làm cặp vecto chỉ phương.
Vecto pháp tuyến của (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (0; - 2; - 2)\).
Phương trình tổng quát của (Q) là:
\(0(x - 1) - 2(y - 2) - 2(z - 0) = 0 \Leftrightarrow - 2y - 2z + 4 = 0 \Leftrightarrow - y - z + 2 = 0\).
Vậy a + b + c = 0 + (-1) + (-1) = -2.
Một ôtô đang dừng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc a(t) = 6 – 2t \((m/{s^2})\), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động. Hỏi quãng đường ôtô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?
Từ hàm a(t), tìm v(t) và s(t) dựa vào nguyên hàm.
Tìm \({t_0}\) để \(v({t_0})\) lớn nhất và tính \(s({t_0})\).
\(v(t) = \int {a(t)dt} = \int {\left( {6 - 2t} \right)dt} = 6t - {t^2} + C\).
Vì ở thời điểm t = 0 thì ô tô dang dừng nên ta có \(v(0) = 0 \Leftrightarrow 6.0 - {0^2} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\).
Suy ra \(v(t) = 6t - {t^2}\).
\(s(t) = \int {v(t)dt} = \int {\left( {6t - {t^2}} \right)dt} = 3{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3} + C'\).
Vì ở thời điểm t = 0 thì ô tô dang dừng nên ta có \(s(0) = 0 \Leftrightarrow {3.0^2} - \frac{{{0^3}}}{3} + C' = 0 \Leftrightarrow C' = 0\).
Suy ra \(s(t) = 3{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}\).
Xét hàm \(v(t) = 6t - {t^2}\), ta có \(v'(t) = a(t) = 6 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra vận tốc ô tô lớn nhất khi t = 3.
Khi đó, quãng đường ô tô chuyển động được là \(s(3) = {3.3^2} - \frac{{{3^3}}}{3} = 18\) (m).
Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều - Đề số 5 là một bài kiểm tra quan trọng giúp đánh giá mức độ nắm vững kiến thức và kỹ năng của học sinh sau một nửa học kỳ. Đề thi này không chỉ kiểm tra khả năng tính toán mà còn đánh giá khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế.
Đề thi thường bao gồm hai phần chính: phần trắc nghiệm và phần tự luận. Phần trắc nghiệm thường chiếm khoảng 40-50% tổng số điểm, tập trung vào các kiến thức cơ bản và các công thức quan trọng. Phần tự luận chiếm khoảng 50-60% tổng số điểm, yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết và rõ ràng.
Nội dung đề thi thường bao gồm các chủ đề sau:
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về đề thi và cách giải các bài toán, toan9.edu.vn cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho từng câu hỏi. Hướng dẫn giải bao gồm các bước giải cụ thể, các công thức và định lý được sử dụng, và các lưu ý quan trọng.
Câu 1: (Trắc nghiệm) Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm đạo hàm của hàm số.
Giải: y' = 3x2 - 6x
Câu 2: (Tự luận) Tính tích phân ∫01 x2 dx.
Giải: ∫01 x2 dx = [x3/3]01 = 1/3 - 0 = 1/3
Luyện tập thường xuyên là yếu tố quan trọng để đạt kết quả tốt trong kỳ thi. Học sinh nên giải nhiều đề thi khác nhau để làm quen với các dạng bài và rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Ngoài ra, học sinh cũng nên tham khảo các tài liệu học tập và các bài giảng trực tuyến để nắm vững kiến thức.
toan9.edu.vn cung cấp một loạt các tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12, bao gồm:
Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều - Đề số 5 là một cơ hội tốt để học sinh đánh giá năng lực của mình và chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi sắp tới. Với sự hỗ trợ của toan9.edu.vn, các em sẽ tự tin hơn trong việc chinh phục môn Toán.
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
