Bài 5. Phép quay

I. Định nghĩa phép quay

Trong mặt phẳng, phép quay Q(O, θ) quanh điểm O với góc θ (độ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

• OM = OM’
• Góc xOM = xOM’ + θ (với chiều dương của đường tròn lượng giác là ngược chiều kim đồng hồ)

Điểm O được gọi là tâm quay, θ được gọi là góc quay.

II. Tính chất của phép quay

1. Bảo toàn khoảng cách

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nếu M và N là hai điểm bất kỳ, thì M’N’ = MN.

2. Bảo toàn góc

Phép quay bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ. Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M với góc α, thì hai đường thẳng a’ và b’ (ảnh của a và b qua phép quay) cũng cắt nhau tại M’ với góc α.

3. Biến đường tròn thành đường tròn

Phép quay biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

III. Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y) và tâm quay O(0; 0). Ảnh của M qua phép quay Q(O, θ) là điểm M’(x’; y’) được xác định bởi công thức:

Nếu tâm quay là I(a; b), ta thực hiện phép tịnh tiến đưa I về gốc tọa độ, thực hiện phép quay, sau đó thực hiện phép tịnh tiến ngược lại.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(2; 1). Tìm ảnh A’ của A qua phép quay Q(O, 90°).

Giải:

Áp dụng công thức:

Vậy A’(-1; 2).

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(1; 0), C(0; 1). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay Q(O, 45°).

Giải:

Tìm ảnh của từng đỉnh:

• A’(0; 0) (vì A trùng với tâm quay)
• B’(cos45° - 0sin45°; sin45° + 0cos45°) = (√2/2; √2/2)
• C’(-sin45°; cos45°) = (-√2/2; √2/2)

Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác A’B’C’ với A’(0; 0), B’(√2/2; √2/2), C’(-√2/2; √2/2).

V. Bài tập áp dụng

1. Cho điểm M(3; -4). Tìm ảnh M’ của M qua phép quay Q(O, 180°).
2. Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm ảnh d’ của d qua phép quay Q(O, 90°).
3. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tìm ảnh của hình vuông ABCD qua phép quay Q(A, 60°).

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép quay trong hình học. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải các bài toán thực tế. toan9.edu.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán.