Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, giúp học sinh hiểu rõ hơn về hình học phân tích và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thực tế.

I. Khái niệm cơ bản về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách đến một điểm cố định (tâm đường tròn) bằng một độ dài không đổi (bán kính). Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm I(a, b) và bán kính R là:

(x - a)² + (y - b)² = R²

Trong đó:

• (x, y) là tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường tròn
• (a, b) là tọa độ của tâm đường tròn
• R là bán kính của đường tròn

II. Các dạng phương trình của đường tròn

Ngoài phương trình tổng quát, đường tròn còn có các dạng phương trình khác:

1. Phương trình chính tắc: Khi tâm đường tròn trùng với gốc tọa độ O(0, 0), phương trình trở thành: x² + y² = R²
2. Phương trình đường tròn dạng tổng quát: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (với a² + b² - c > 0)

III. Điều kiện để phương trình là phương trình của một đường tròn

Để phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn, điều kiện cần và đủ là:

a² + b² - c > 0

Khi đó, tâm của đường tròn là I(a, b) và bán kính là R = √(a² + b² - c)

IV. Bài tập minh họa và phương pháp giải

Bài tập 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0

Giải:

Ta có: a = 2, b = -3, c = -3

a² + b² - c = 2² + (-3)² - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0

Vậy phương trình trên là phương trình của một đường tròn có tâm I(2, -3) và bán kính R = √16 = 4

Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1, 2) và bán kính R = 5

Giải:

Áp dụng phương trình tổng quát của đường tròn, ta có:

(x - (-1))² + (y - 2)² = 5²

(x + 1)² + (y - 2)² = 25

Khai triển phương trình, ta được:

x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 25

x² + y² + 2x - 4y - 20 = 0

V. Ứng dụng của đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

• Thiết kế bánh răng: Đường tròn được sử dụng để thiết kế các bánh răng trong máy móc.
• Xây dựng cầu: Hình dạng của các vòm cầu thường dựa trên đường tròn.
• Định vị và dẫn đường: Trong hệ thống định vị toàn cầu (GPS), đường tròn được sử dụng để xác định vị trí của các đối tượng.

VI. Luyện tập thêm

Để nắm vững kiến thức về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, bạn nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản và các phương pháp giải bài tập. Chúc bạn học tốt!