Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Trong hình học, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của tam giác. Bài học này sẽ cung cấp cho học sinh một cái nhìn toàn diện về hai loại đường tròn này, bao gồm định nghĩa, tính chất, cách xác định và ứng dụng trong giải toán.

1. Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác

Định nghĩa: Đường tròn ngoại tiếp của một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao điểm của các đường trung trực của tam giác.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: Được ký hiệu là R. Công thức tính R:

• R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC)
• R = abc / (4S) (trong đó S là diện tích tam giác)

Tính chất:

• Tâm đường tròn ngoại tiếp là tâm đối xứng của tam giác.
• Góc ở tâm tạo bởi hai đỉnh của tam giác bằng hai lần góc ở đỉnh đó.

2. Đường tròn nội tiếp của một tam giác

Định nghĩa: Đường tròn nội tiếp của một tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác đó.

Tâm đường tròn nội tiếp: Giao điểm của các đường phân giác của tam giác.

Bán kính đường tròn nội tiếp: Được ký hiệu là r. Công thức tính r:

• r = 2S / (a + b + c)

Tính chất:

• Tâm đường tròn nội tiếp là tâm đối xứng của tam giác.
• Các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp chia các cạnh của tam giác thành hai đoạn thẳng bằng nhau.

3. Mối quan hệ giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Trong một tam giác, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp có mối quan hệ mật thiết với nhau. Chúng có thể được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp.

Công thức Euler: d² = R(R - 2r) (trong đó d là khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp)

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

• BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = 5cm
• R = BC / 2 = 5 / 2 = 2.5cm
• r = (AB + AC - BC) / 2 = (3 + 4 - 5) / 2 = 1cm

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 6cm, CA = 7cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Giải:

• p = (AB + BC + CA) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9cm
• S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - CA)) = √(9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7)) = √(9 * 4 * 3 * 2) = 6√6 cm²
• R = abc / (4S) = (5 * 6 * 7) / (4 * 6√6) = 35 / (4√6) = (35√6) / 24 cm
• r = 2S / (a + b + c) = (2 * 6√6) / (5 + 6 + 7) = 12√6 / 18 = (2√6) / 3 cm

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác. Chúc các em học tốt!