Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức - Toán 12 Cánh Diều

Bài học này tập trung vào hai phân bố rời rạc quan trọng trong thống kê: phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức. Việc nắm vững kiến thức về hai phân bố này là nền tảng để hiểu sâu hơn về các khái niệm thống kê khác và ứng dụng chúng vào giải quyết các bài toán thực tế.

I. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một thử nghiệm duy nhất. Thử nghiệm này chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công (ký hiệu là 1) hoặc thất bại (ký hiệu là 0). Xác suất thành công được ký hiệu là p, và xác suất thất bại là 1 - p.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli nếu nó chỉ nhận hai giá trị 0 và 1 với xác suất tương ứng là P(X = 0) = 1 - p và P(X = 1) = p.
• Hàm phân phối xác suất:P(X = x) = p^x(1 - p)^1-x, với x = 0 hoặc 1.
• Các đặc trưng:
  • Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
  • Phương sai: Var(X) = p(1 - p)
• Ví dụ: Tung một đồng xu một lần. Nếu mặt ngửa xuất hiện, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu mặt sấp xuất hiện, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

II. Phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Đây là một mở rộng của phân bố Bernoulli.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố nhị thức nếu nó biểu thị số lần thành công trong n thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là p. Ký hiệu: X ~ B(n, p).
• Hàm phân phối xác suất:P(X = k) = C_n^k p^k (1 - p)^n-k, với k = 0, 1, 2, ..., n. (C_n^k là tổ hợp chập k của n).
• Các đặc trưng:
  • Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
  • Phương sai: Var(X) = np(1 - p)
• Ví dụ: Tung một đồng xu 10 lần. X là số lần xuất hiện mặt ngửa. X tuân theo phân bố nhị thức B(10, 0.5).

III. Mối liên hệ giữa phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Phân bố nhị thức có thể được xem là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến có xác suất thành công là p.

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Một xạ thủ bắn vào bia. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ là 0.8. Xạ thủ bắn 5 phát. Tính xác suất xạ thủ bắn trúng bia đúng 3 phát.

Giải: X là số phát bắn trúng bia. X tuân theo phân bố nhị thức B(5, 0.8). Xác suất cần tính là:

P(X = 3) = C₅³ (0.8)³ (0.2)² = 10 * 0.512 * 0.04 = 0.2048

Bài 2: Một hộp chứa 10 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm lỗi. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp. Tính xác suất lấy được 1 sản phẩm lỗi.

Giải: Bài toán này có thể giải bằng cách sử dụng phân bố nhị thức hoặc tổ hợp. Ta sẽ sử dụng tổ hợp:

Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm là: C₁₀² = 45

Số cách chọn 1 sản phẩm lỗi và 1 sản phẩm không lỗi là: C₃¹ * C₇¹ = 3 * 7 = 21

Xác suất lấy được 1 sản phẩm lỗi là: 21/45 = 7/15

V. Kết luận

Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức là hai công cụ quan trọng trong thống kê, giúp chúng ta mô hình hóa và phân tích các hiện tượng ngẫu nhiên liên quan đến thành công và thất bại. Việc hiểu rõ các khái niệm và ứng dụng của hai phân bố này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.