Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào ba khái niệm quan trọng trong đại số tổ hợp: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Việc hiểu rõ ba khái niệm này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán thực tế và nâng cao kỹ năng tư duy logic.

Định nghĩa: Hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P_n và được tính theo công thức:

P_n = n!

Ví dụ: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 cuốn sách khác nhau lên một kệ sách?

Giải: Số cách sắp xếp là P₃ = 3! = 3 x 2 x 1 = 6

Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được chọn từ n phần tử theo một thứ tự nhất định. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là A_n^k và được tính theo công thức:

A_n^k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = n! / (n-k)!

Ví dụ: Từ một tập hợp gồm 5 người, cần chọn ra 3 người để xếp vào ba vị trí khác nhau (ví dụ: lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó lao động). Có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Số cách chọn là A₅³ = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là C_n^k và được tính theo công thức:

C_n^k = n! / (k! * (n-k)!)

Ví dụ: Trong một lớp học có 10 học sinh, giáo viên cần chọn ra 3 học sinh để tham gia đội văn nghệ. Có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Số cách chọn là C₁₀³ = 10! / (3! * 7!) = (10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120

Sự khác biệt chính giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nằm ở việc có hay không quan tâm đến thứ tự của các phần tử được chọn:

5. Bài tập áp dụng

Bài 1: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5?

Bài 2: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên cần chọn ra 5 cầu thủ để đá phạt. Có bao nhiêu cách chọn?

Bài 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 cuốn sách khác nhau lên một kệ sách?

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.