Tài Liệu Tóm Tắt Lí Thuyết Giới Hạn Dãy Số Có Đáp Án Pdf

Bài viết trình bày tóm tắt lí thuyết giới hạn dãy số trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là có giới hạn bằng $0$ khi $n$ tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: $\lim {u_n} = 0.$ Hay là: $\lim {u_n} = 0$ khi và chỉ khi với mọi $\varepsilon /> 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_0}$ sao cho: $\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon $, $\forall n /> {n_0}.$

$\lim {u_n} = a$ $ \Leftrightarrow \lim \left( {{u_n} – a} \right) = 0$, tức là: Với mọi $\varepsilon /> 0$ nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên ${n_0}$ sao cho $\left| {{u_n} – a} \right| < \varepsilon $, $\forall n /> {n_0}.$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

2. Một số giới hạn đặc biệt

$\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0$ với $k \in {N^*}.$

Nếu $|q| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0.$

Nếu ${u_n} = c$ (với $c$ là hằng số) thì $\lim {u_n} = \lim c = c.$

II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN

1. Định lí 1: Nếu dãy số $({u_n})$ thỏa mãn $\left| {{u_n}} \right| < {v_n}$ kể từ số hạng nào đó trở đi và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0.$

2. Định lí 2: Cho $\lim {u_n} = a$, $\lim {v_n} = b.$ Ta có:

$\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b.$

$\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = a – b.$

$\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b.$

$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}$ $(b \ne 0).$

Nếu ${u_n} \ge 0$ với mọi $n$ thì $\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a .$

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$ thỏa $|q| < 1.$ Khi đó tổng $S = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_n} + \ldots $ gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và $S = \lim {S_n}$ $ = \lim \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}$ $ = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}.$

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

$\lim {u_n} = + \infty $ $ \Leftrightarrow $ với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.

$\lim {u_n} = – \infty $ $ \Leftrightarrow \lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty .$

2. Một số kết quả đặc biệt

$\lim {n^k} = + \infty $ với mọi $k /> 0.$

$\lim {q^n} = + \infty $ với mọi $q /> 1.$

3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $, $\lim {v_n} = \pm \infty $ thì $\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$ được cho như sau:

$\lim {u_n}$	$\lim {v_n}$	$\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$
$ + \infty $	$ + \infty $	$ + \infty $
$ + \infty $	$ – \infty $	$ – \infty $
$ – \infty $	$ + \infty $	$ – \infty $
$ – \infty $	$ – \infty $	$ + \infty $

Quy tắc 2: Nếu $\lim {u_n} = \pm \infty $ và $\lim {v_n} = L \ne 0$ thì $\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$ được cho như sau:

$\lim {u_n}$	Dấu của $L$	$\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$
$ + \infty $	+	$ + \infty $
$ + \infty $	–	$ – \infty $
$ – \infty $	+	$ – \infty $
$ – \infty $	–	$ + \infty $

Quy tắc 3: Nếu $\lim {u_n} = L \ne 0$, $\lim {v_n} = 0$ và ${v_n} /> 0$ hoặc ${v_n} < 0$ kể từ một số hạng nào đó trở đi thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ được cho như sau:

Dấu của $L$	Dấu của ${v_n}$	$\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$
$ + \infty $	+	$ + \infty $
$ + \infty $	–	$ – \infty $
$ – \infty $	+	$ – \infty $
$ – \infty $	–	$ + \infty $