Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về phương trình tích thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung và đưa phương trình lượng giác về dạng tích:
\(A.B.C…. = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0\\
C = 0\\
……
\end{array} \right.\)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \(1 + \sin x + \cos x\) \( + \sin 2x + \cos 2x = 0.\)
b. \(\left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)\) \( = \sin 2x – \sin x.\)
c. \(\cos 2x + 3\sin 2x\) \( + 5\sin x – 3\cos x = 3.\)
d. \(2\sin x\left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 2x\) \( = 1 + 2\cos x.\)
e. \(\sin 2x – \cos 2x\) \( + 3\sin x – \cos x – 1 = 0.\)
f. \(\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\cos x\) \( + 2\cos 2x – \sin x = 0.\)
a. \(PT \Leftrightarrow \sin x + \cos x\) \( + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0.\)
b. \(PT \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)\) \( = \sin x\left( {2\cos x – 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0.\)
c. \(PT \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + 6\sin x\cos x\) \( + 5\sin x – 3\cos x = 3\)
\( \Leftrightarrow 3\cos x\left( {2\sin x – 1} \right)\) \( – \left( {2{{\sin }^2}x – 5\sin x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {3\cos x – \sin x + 2} \right) = 0.\)
d. \(PT \Leftrightarrow 4\sin x{\cos ^2}x + 2\sin x\cos x\) \( = 1 + 2\cos x\) \( \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x\cos x – 1} \right) = 0.\)
e. \(PT \Leftrightarrow 2\sin x\cos x\) \( – \left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 3\sin x\) \( – \cos x – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)\) \( + 2{\sin ^2}x + 3\sin x – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)\) \( + \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\cos x + \sin x + 2} \right) = 0.\)
f. \(PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + \cos 2x\cos x\) \( + 2\cos 2x – \sin x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)\) \( + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x\cos 2x\) \( + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0.\)
Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \(2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.\)
b. \(\tan 2x + \cot x = 8{\cos ^2}x.\)
c. \(2\tan x + \cot x\) \( = \sqrt 3 + \frac{2}{{\sin 2x}}.\)
d. \(\cos 2x + \cos x\left( {2{{\tan }^2}x – 1} \right) = 2.\)
e. \(\frac{1}{{\tan x + \cot 2x}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\cot x – 1}}.\)
f. \(\cot x – 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}}\) \( + {\sin ^2}x – \frac{1}{2}\sin 2x.\)
a. Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.\)
\(PT \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right)\) \( = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = – 1\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\)
Giải và kết hợp với điều kiện thu được: \(x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) hay \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\) \((k∈Z).\)
b. Điều kiện: \(\cos 2x \ne 0\), \(\sin x \ne 0.\)
\(PT \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 8{\cos ^2}x\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}}{{\cos 2x\sin x}}\) \( = 8{\cos ^2}x\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 8\cos x\cos 2x\sin x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin 4x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)
Đáp án: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) hoặc \(x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\) hoặc \(x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\) \((k∈Z).\)
c. Điều kiện: \(\sin x \ne 0\), \(\cos x \ne 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) \( = \sqrt 3 + \frac{1}{{\sin x\cos x}}\) \( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\) \( = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1\)
\( \Leftrightarrow 1 + {\sin ^2}x = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) \( \Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\left( {{\rm{loại}}} \right)\\
\sin x = \sqrt 3 \cos x
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \((k∈Z).\)
d. Điều kiện: \(\cos x \ne 0.\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x + 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} – \cos x = 2\) \( \Leftrightarrow 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} + \cos 2x – 1\) \( = 1 + \cos x\)
\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x\left( {\frac{1}{{\cos x}} – 1} \right)\) \( = 1 + \cos x\) \( \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\) \(\left[ {2{{\left( {1 – \cos x} \right)}^2} – \cos x} \right] = 0.\)
Đáp số: \(x = \pi + k2\pi \), \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \) \((k∈Z).\)
e. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos x.\sin 2x.\sin x\left( {\tan x + \cot 2x} \right) \ne 0\\
\cot x \ne 1
\end{array} \right.\)
\(PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} – 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{\cos x\sin 2x}}{{\cos x}} = \sqrt 2 \sin x\)
\( \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 0.\)
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình là: \(x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)
f. Điều kiện: \(\cos x \ne 0\), \(\sin x \ne 0\), \(\tan x \ne – 1.\)
\(PT \Leftrightarrow \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x}}\) \( = \frac{{\cos x\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}\) \( + {\sin ^2}x – \sin x\cos x\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos x – \sin x} \right)\) \(\left( {\frac{1}{{\sin x}} – \cos x + \sin x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x = 0\\
{\sin ^2}x – \sin x\cos x – 1 = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
2{\tan ^2}x – \tan x + 1 = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \((k∈Z).\)
Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x\) \( = 2\left( {{{\sin }^5}x + {{\cos }^5}x} \right).\)
b. \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) \( = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right).\)
c. \({\sin ^8}x + {\cos ^8}x\) \( = 2\left( {{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x} \right) + \frac{5}{4}\cos 2x.\)
a. \(PT \Leftrightarrow {\sin ^3}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)\) \( = {\cos ^3}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^3}x – {{\cos }^3}x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = 0
\end{array} \right.\)
b. \(PT \Leftrightarrow {\sin ^6}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)\) \( – {\cos ^6}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^6}x – {{\cos }^6}x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = \pm 1
\end{array} \right.\)
c. \(PT \Leftrightarrow {\sin ^8}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)\) \( + {\cos ^8}x\left( {1 – 2{{\cos }^2}x} \right)\) \( – \frac{5}{4}\cos 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\cos }^8}x – {{\sin }^8}x + \frac{5}{4}} \right) = 0.\)
Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \(3 – \tan x\left( {\tan x + 2\sin x} \right)\) \( + 6\cos x = 0.\)
b. \(3\tan 3x + \cot 2x\) \( = 2\tan x + \frac{2}{{\sin 4x}}.\)
c. \(\sin 2x\left( {\cos x + 3} \right)\) \( – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 3\sqrt 3 \cos 2x\) \( + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)\) \( – 3\sqrt 3 = 0.\)
d. \(8\sqrt 2 {\cos ^6}x + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x\) \( – 6\sqrt 2 {\cos ^4}x – 1 = 0.\)
e. \(3\left( {\cot x – \cos x} \right)\) \( – 5\left( {\tan x – \sin x} \right) = 2.\)
a. Điều kiện: \(\cos x \ne 0.\)
\( \Leftrightarrow 3 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\left( {\frac{{\sin x + 2\sin x\cos x}}{{\cos x}}} \right)\) \( + 6\cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)\) \( + 6{\cos ^3}x = 0\)
\( \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)\) \( – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {3{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) = 0.\)
Đáp số: \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)
b. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos 3x \ne 0\\
\cos x \ne 0\\
\sin 4x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\), \(x \ne k\frac{\pi }{4}.\)
\(PT \Leftrightarrow 2\left( {\tan 3x – \tan x} \right)\) \( + \left( {\tan 3x + \cot 2x} \right) = \frac{2}{{\sin 4x}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2\sin 2x}}{{\cos 3x\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\cos 3x\sin 2x}}\) \( = \frac{2}{{\sin 4x}}\)
\( \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + 2\cos 2x\cos x\) \( = 2\cos 3x\) \( \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + \cos 3x + \cos x\) \( = 2\cos 3x\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x\sin x\left( {4\cos x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{4}.\)
c. \(PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + 6\sin x\cos x\) \( – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 6\sqrt 3 {\cos ^2}x\) \( + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)\) \( + 6\cos x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)\) \( + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)\)\(\left( {2{{\cos }^2}x + 6\cos x – 8} \right) = 0.\)
d. \(PT \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\cos ^3}x\left( {4{{\cos }^3}x – 3\cos x} \right)\) \( + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {2\cos x\cos 3x} \right)\) \( + 2{\sin ^2}x\left( {2\sin x\sin 3x} \right) = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)\) \( + \left( {1 – \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right) = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x + \cos 2x\cos 4x} \right)\) \( = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos 2x{\cos ^2}2x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi \) \((k∈Z).\)
e. Điều kiện: \(\sin x \ne 0\), \(\cos x \ne 0.\)
\(PT \Leftrightarrow 3\left( {\cot x – \cos x + 1} \right)\) \( – 5\left( {\tan x – \sin x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{\cos x – \sin x\cos x + \sin x}}{{\sin x}}} \right)\) \( – 5\left( {\frac{{\sin x – \sin x\cos x + \cos x}}{{\cos x}}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x\cos x + \sin x = 0\\
\frac{3}{{\sin x}} = \frac{5}{{\cos x}}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{t^2} – 2t – 1 = 0\\
\tan x = \frac{5}{3}
\end{array} \right.\) với \({t = \sin x + \cos x}\) \({ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)}.\)
Đối chiếu với điều kiện thu được: \(x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \), \(x = \arctan \frac{3}{5} + k\pi \) \((k∈Z).\)
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
