đề thi olympic 30 tháng 04 năm 2026 toán 11 trường chuyên lê hồng phong – tp hcm

toan9.edu.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 04 lần thứ XXX năm 2026 môn Toán 11 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 04 tháng 04 năm 2026. Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.

Trích dẫn Đề thi Olympic 30 tháng 04 năm 2026 Toán 11 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM:

+ Xét số nguyên n ≥ 3. Ký hiệu 1 = a1 < … < ak = n – 1 là tất cả các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n. Đặt f(n) là ước chung lớn nhất của các số a1^3 – 1, …, ak^3 – 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho f(n) = 2.

+ Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Các tia AO, BO, CO theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại X, Y, Z. Đường thẳng XZ cắt AC tại E; đường thẳng XY cắt AB tại F. Các đường thẳng BE, CF cắt nhau tại Q. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại P. a) Chứng minh rằng các điểm A, O, Q thẳng hàng. b) Giả sử PQ, EF cắt nhau tại T. Chứng minh rằng T là trung điểm của EF.

+ Một chuyên gia ẩm thực cần đưa ra đánh giá về n nhà hàng trong thành phố, trong đó n là một số nguyên dương. Mỗi cặp nhà hàng được vị chuyên gia so sánh với nhau theo hai tiêu chí: độ ngon của món ăn và chất lượng phục vụ. Với một số cặp nhà hàng, vị chuyên gia không thể quyết định nhà hàng nào tốt hơn nhà hàng còn lại trong một tiêu chí nào đó, nhưng điều này không xảy ra đồng thời ở cả hai tiêu chí. Ngoài ra, nếu vị chuyên gia cho rằng nhà hàng A tốt hơn nhà hàng B ở một tiêu chí nào đó, và đồng thời cho rằng nhà hàng B tốt hơn nhà hàng C trong cùng tiêu chí đó, thì ông ta cũng đánh giá rằng nhà hàng A tốt hơn nhà hàng C trong tiêu chí ấy. Chứng minh rằng tồn tại một nhà hàng R sao cho mọi nhà hàng khác đều bị vị chuyên gia đánh giá kém hơn nhà hàng R trong ít nhất một tiêu chí.