Bài viết trình bày các quy tắc tính đạo hàm, giúp việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp trở nên dễ dàng hơn bằng cách quy về tính đạo hàm của các hàm số đơn giản.
I. Kiến thức cần nắm:
1. Quy tắc tính đạo hàm:
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:
• \(({u_1} \pm {u_2} \pm … \pm {u_n})’\) \( = {u_1}’ \pm {u_2}’ \pm … \pm {u_n}’.\)
• \((k.u(x))’ = k.u'(x).\)
• \((uv)’ = u’v + uv’.\)
• \((uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’.\)
• \(({u^n}(x))’ = n{u^{n – 1}}(x).u'(x).\)
• \(\left( {\frac{c}{{u(x)}}} \right)’ = – \frac{{c.u'(x)}}{{{u^2}(x)}}.\)
• \({\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)}’\) \( = \frac{{u'(x)v(x) – v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}.\)
b. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số \(y = f(u(x)) = f(u)\) với \(u = u(x).\) Khi đó: \(y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}.\)
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:
| Đạo hàm | Hàm hợp |
| \[(c)’ = 0\] | |
| \[(x)’ = 1\] | |
| \[({x^\alpha })’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}\] | \[\left( {{u^\alpha }} \right)’ = \alpha {u^{\alpha – 1}}.u’\] |
| \[\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}\] | \[\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\] |
| \[\left( {\sqrt[n]{x}} \right)’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\] | \[\left( {\sqrt[n]{u}} \right)’ = \frac{{u’}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}}\] |
| \[(\sin x)’ = \cos x\] | \[(\sin u)’ = u’.\cos u\] |
| \[(\cos x)’ = – \sin x\] | \[(\cos u)’ = – u’\sin u\] |
| \[(\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\] | \[\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}\] |
| \[(\cot x)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\] | \[\left( {\cot u} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\] |
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1.\)
b. \(y = – {x^3} + 3x + 1.\)
c. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1.\)
d. \(y = – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1.\)
e. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}.\)
f. \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
a. \(y’ = {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x + 1} \right)’}\) \( = 3{x^2} – 6x + 2.\)
b. \(y’ = {\left( { – {x^3} + 3x + 1} \right)’}\) \( = – 3{x^2} + 3.\)
c. \(y’ = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1} \right)’}\) \( = {x^3} – 2x.\)
d. \(y’ = {\left( { – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1} \right)’}\) \( = – 8{x^3} + 3x.\)
e. \(y’ = \) \(\frac{{(2x + 1)'(x – 3) – (x – 3)'(2x + 1)}}{{{{(x – 3)}^2}}}\) \( = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}}.\)
f. \(y’ = \) \(\frac{{({x^2} – 2x + 2)'(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \( = \frac{{(2x – 2)(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \( = \frac{{{x^2} + 2x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}.\)
b. \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right).\)
c. \(y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right).\)
d. \(y = {\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^3}.\)
e. \(y = {(x + 2)^3}{(x + 3)^2}.\)
a. \(y’ = 2({x^7} + x)({x^7} + x)’\) \( = 2({x^7} + x)(7{x^6} + 1).\)
b. Ta có: \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)\) \( = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5\) \( \Rightarrow y’ = – 12{x^3} + 4x.\)
c. Ta có: \(y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right)\) \( = 10{x^4} – {x^3} – 3{x^2}\) \( \Rightarrow y’ = 40{x^3} – 3{x^2} – 6x.\)
d. \(y’ = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)’\) \( = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4 – \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right).\)
e. \(y’ = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}.\)
Ví dụ 3. Giải bất phương trình \(f'(x) \ge 0\), biết:
a. \(f(x) = x\sqrt {4 – {x^2}} .\)
b. \(f(x) = x – 2\sqrt {{x^2} + 12} .\)
c. \(f(x) = \sqrt[4]{{{x^2} + 1}} – \sqrt x .\)
a. Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right].\)
Ta có: \(f'(x) = \sqrt {4 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\) \( = \frac{{4 – 2{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}.\)
Do đó: \(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 .\)
b. Tập xác định: \(D = R.\)
Ta có: \(f'(x) = 1 – \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}\) \( = \frac{{\sqrt {{x^2} + 12} – 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}.\)
Suy ra: \(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \ge 2x\) \((1).\)
• Với \(x < 0\) thì \((1)\) luôn đúng.
• Với \(x \ge 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} + 12 \ge 4{x^2}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)
Vậy bất phương trình \(f'(x) \ge 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(x \le 2.\)
c. Tập xác định: \(D = \left[ {0; + \infty } \right).\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{x}{{2\sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}} – \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
\(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow x\sqrt x \ge \sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\) \( \Leftrightarrow {x^6} \ge {({x^2} + 1)^3}\) \( \Leftrightarrow {x^2} \ge {x^2} + 1\), bất phương trình này vô nghiệm.
[ads]
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .\)
b. \(y = \sqrt[5]{{\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2}}.\)
c. \(y = \sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } .\)
d. \(y = \tan ({\sin ^2}3x) + \sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} .\)
e. \(y = \sqrt[3]{{\sin (\tan x) + \cos (\cot x)}}.\)
a. \(y’ = \frac{{(2{x^2} + 3x + 1)’}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}\) \( = \frac{{4x + 3}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}.\)
b. \(y’ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}\)\((\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)’\) \( = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}\)\((\frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} + 3).\)
c. \(y’ = \frac{{(2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x )’}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}\) \( = \frac{{2\sin (4x – 2) – \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x }}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}\) \( = \frac{{4\sqrt x \sin (4x – 2) – \sin \sqrt x }}{{4\sqrt {2x{{\sin }^2}(2x – 1) + x\cos \sqrt x } }}.\)
d. \(y’ = [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]({\sin ^2}3x)’\) \( + \frac{{[{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3]’}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}\) \( = 3 [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]\sin 6x\) \( + \frac{{6{x^2}{\rm{[}}1 + {{\cot }^2}(1 – 2{x^3}){\rm{]}}\cot (1 – 2{x^3})}}{{\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}.\)
e. \(y’ = \frac{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]’}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}\) \( = \frac{{(1 + {{\tan }^2}x)\cos (\tan x) + (1 + {{\cot }^2}x)\sin (\cot x)}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}.\)
Ví dụ 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 3x + 1\:khi\:x /> 1\\
2x + 2\:khi\:x \le 1{\rm{ }}
\end{array} \right.\)
b. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.\)
a.
• Với \(x /> 1\) \( \Rightarrow f(x) = {x^2} – 3x + 1\) \( \Rightarrow f'(x) = 2x – 3.\)
• Với \(x < 1\) \( \Rightarrow f(x) = 2x + 2\) \( \Rightarrow f'(x) = 2.\)
• Với \(x = 1\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} – 3x + 1} \right)\) \( = – 1 \ne f(1)\) \( \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại \(x = 1\), suy ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
2x – 3\:khi\:x /> 1\\
2\:khi\:x < 1
\end{array} \right.\)
b.
• Với \(x \ne 0\) \( \Rightarrow f(x) = {x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\) \( \Rightarrow f'(x) = 2x\cos \frac{1}{{2x}} – \frac{1}{2}\cos \frac{1}{{2x}}.\)
• Với \(x = 0\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\cos \frac{1}{{2x}} = 0\) \( \Rightarrow f'(0) = 0.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.\)
Ví dụ 6. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc \(x.\)
a. \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
b. \(y = {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) \( + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)\) \( – 2{\sin ^2}x.\)
a. Ta có: \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\) \( + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = 1.\) Suy ra: \( y’ = 0.\)
b. Ta có: \(y = 2 + \frac{1}{2}{\rm{[}}\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)]\) \( – 2{\sin ^2}x\) \( = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}( – \cos 2x – \cos 2x) – 2{\sin ^2}x = 1.\) Suy ra: \(y’ = 0.\)
Ví dụ 7. Tìm \(a,b\) để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – x + 1{\rm{ }}\:khi\:x \le 1\\
– {x^2} + ax + b\:khi\:x /> 1
\end{array} \right.\) có đạo hàm trên \(R.\)
Với \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm.
Do đó hàm số có đạo hàm trên \(R\) khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b – 1.\)
Hàm số liên tục trên \(R\) \( \Leftrightarrow a + b – 1 = 1\) \( \Leftrightarrow a + b = 2.\)
Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = 1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – {x^2} + ax + 1 – a}}{{x – 1}}\) \( = a – 2.\)
Nên hàm số có đạo hàm trên \(R\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 2\\
a – 2 = 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = – 1
\end{array} \right.\)
Ví dụ 8. Tìm \(m\) để các hàm số:
a. \(y = (m – 1){x^3} – 3(m + 2){x^2}\) \( – 6(m + 2)x + 1\) có \(y’ \ge 0\), \(\forall x \in R.\)
b. \(y = \frac{{m{x^3}}}{3} – m{x^2} + (3m – 1)x + 1\) có \(y’ \le 0\), \(\forall x \in R.\)
a. Ta có: \(y’ = 3\left[ {(m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2)} \right].\)
Do đó: \(y’ \ge 0\) \( \Leftrightarrow (m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2) \ge 0\) \((1).\)
• Với \(m = 1\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow – 6x – 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le – 1.\)
• Với \(m \ne 1\) thì \((1)\) đúng với mọi \(x \in R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m – 1 /> 0\\
\Delta ‘ \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m /> 1\\
(m + 1)(4 – m) \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \ge 4.\)
Vậy \(m \ge 4.\)
b. Ta có: \(y’ = m{x^2} – 2mx + 3m – 1.\)
Nên \(y’ \le 0\) \( \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + 3m – 1 \le 0\) \((2).\)
• Với \(m = 0\) thì \((2)\) trở thành: \( – 1 \le 0\) (luôn đúng).
• Với \(m \ne 0\) khi đó \((2)\) đúng với mọi \(x \in R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m < 0\\
\Delta’ \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m(1 – 2m) \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
1 – 2m \ge 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m < 0.\)
Vậy \(m \le 0.\)
Dive into the world of innovation with comprehensive technology news, master skills with our easy-to-follow how-to guides, and explore captivating film & music reviews. Your ultimate A-Z resource for tech and entertainment awaits. Start exploring now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về 'đừng đùa với tình yêu của phái đẹp'!
Khám phá phân dạng - một khái niệm toán học kỳ diệu, ẩn sau vẻ đẹp của tự nhiên và nghệ thuật. Tìm hiểu về tính bất ngờ và ứng dụng của phân dạng trong thế giới xung quanh bạn!
Khám phá khái niệm paradox một cách dễ hiểu. Tìm hiểu những ví dụ thú vị, từ logic đến đời thường, và cách chúng thách thức nhận thức của bạn. Đọc ngay!
Đánh giá chi tiết cuốn sách 'Tên của trò chơi là bắt cóc', khám phá cách tác giả xây dựng những nhân vật phản diện phức tạp và góc nhìn độc đáo về động cơ phạm tội. Đọc ngay để hiểu rõ hơn!
Tìm lời giải chi tiết cho các bài tập toán nâng cao lớp 1 cực khó. Hướng dẫn từng bước giúp bé tự tin chinh phục kiến thức toán học, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề.
